《现代数字信号处理》杨绿溪 第2-3章习题答案.pdf

现代数字信号处理习题答案 第二章第二章 离散随机信号分析基础离散随机信号分析基础 2.1 设x是均值为mx，方差为的随机变量， 2 x , 1,2,., i xiN=是x的N个独立观测值。 (a) 若定义样本均值 1 1 , N xi i m N = = x 则样本方差估计 2 x= 2 1 1 ( N ix i xm N = )是否是无偏的？即 22 xx E=？ (b) 若 x 是高斯随机变量，试求样本方差估计的方差 2 ( x E 22 ) x E。 解：解： (a) 1 11 N xixx = i E mE xNmm NN = = , x m是无偏的。记xmx=。 由于各样本 i x是独立同分布的，故有： 2 22 111 22 2222 222 1111 ()()() 1(1)(1)(1) NNN xiixj iij j i xxxx N EExxExmxm NNNN NNNNN N NNNNN = x = =+= 因此，它是有偏的，但渐进无偏。 或者， 222 11 22 1 2222 1 11 ()()() 1 ()2() ()() 1211 NN xiixx ii N ixixxx i N xxxx i EExxExmxm NN ExmExmxmExm N N NNNN = = = = =+ =+= (b) () 2 22 xx EE= ? 2 22 1 x x N E N 2 422 2 1(1) 2 4 xxxx NN E NN =+ ? 2 4224 2 11(1) 2 xxxx NNN E NNN =+ = 2 44 2 (1) I xx N N （ ）E 关键是求 4 xE=?，首先得： ()()()() 22 22 4 22 1111 11 NNNN xijij ijij xxxxxxx NN = = x 对于高斯随机变量， ()() 2 2 ij Exxxx () () ()() 2 2 2 2 222 2 2 22222 424 22 2 11 2 (1)(1)1 2 2 ijij xxijij xxx 4 xijxxijx ExxExxExxxx NN E x xE x xE x xE x NN NN NNNNN N =+ =+ =+=+ - 1 - 现代数字信号处理习题答案 当 i=j 时，上式 2 22 44 22 (1)1(1) 23 4 xxx NNN NNN =+= 当 ij 时，上式 22 44 222 (1)223 4 xxx NN NNN N =+= + 所以有， ()() 2 2 4 2 11 1 NN xi ij Exx N = = j xx () 22 44 222 222 44 32 1(1)23 31 3(1)(1)(23)1 xx xx NN NN N NNN NNNNN NN N =+ + = + 代入（I）式得： () ()() 2 2 2 2244 222 1211 4 xxxx NNN EE NNN x = N ，估计的方差，所以样本方差估计是渐进无偏的。 0 2.2 设( )x n是零均值平稳随机过程，自相关为。构造随机过程( ) x r k( )y n为：， 其中 )()()(nfnxny+= ( )f n是已知的确定性序列。试求( )y n的均值和自相关。 ( ) y m n( , ) y r k l 解：解：( )( )( )( ) y mnE x nf nf n=+= ()() * ,( )( )( )( )( )( )( ) yx rk lE y k y lEx kfkx lflrklf k fl =+=+ ( ) 2.3 设离散时间随机过程( )x n是如下产生：， 其中是方差为 = += p k nwknxkanx 1 )()()()( )w n 2 w 的白噪声过程。另一个过程 z(n)是( )x n与噪声之和：( )( )( )z nx nv n=+, 是白差为( )v n 2 v 的 白噪声，且与不相关。试求：(a)( )w n( )x n的功率谱；(b)的功率谱。 ( )z n 解：解：(a) ( ) ( ) ( )( )() ( ) *22 2 1 1 11 , =1/ 1 1 xww p p k jk k k H zP zH z Hz a k z a k e = = = (b) ( )( ) 2 zx P zPz v =+ 2.4 设给定一个线性移不变系统，其系统函数为 1 11 ( )(1)/(1) 23 H zzz 1 = ，它受零均值的指数 相关噪声 x(n)的激励产生随机过程( )( )( )y nx nh n=。已知 x(n)的自相关序列为 k x kr) 2 1 ()(=， 试求： (a) ( )y n的功率谱； (b) ( ) y P z( )y n的自相关序列； ( ) y r k (c) ( )x n和( )y n之间的互相关； (d) 互功率谱，它是互相关的 z 变换。 ( ) xy rk( ) xy Pz( ) xy rk 解：解：(a) x(n)的功率谱为： ( )( )( ) 11 2211 111 00 222 1131 ( )11 114 (1)(1 kk kkk xx kkk Pzr k zzz zzz = =+ =+ = 1 2 )z ( )( )( )() * 1 11 22 11 111111 223333 1 (1) (1)3131 4 (1)(1) (1) (1)4 (1)(1) yx PzPz H z Hz zz zzzzzz = = 1 - 2 - 现代数字信号处理习题答案 (b) 由于( ) ( ) 2 1 3 1 11 33 13 9 4 8 (1)(1) y Pz zz = ， 所以， ( ) 271 ( ) 323 k y rk = (c) 可以先求出，然后( )( )( ) yxx rkh krk=( )() * xyyx rkrk=，但计算太复杂（略去） 。 不妨先计算： ( ) xy Pz ( ) ( ) ( ) 1 1 3 1111 1111111 3323223 (1)3131 4 (1)(1) (1)4 (1)(1)(1)(1) y xy Pz zAB Pz H zzzzzzzz =+ z 可列出： ，解得： /23/4 /30 AB AB = += 9/10 3/10 A B = = 故：( ) 11 111 232 913919 10 (1)10 (1)10 (1)103 xy zz Pz zzz =+= z 因此取其逆 z 变换得：( )( )() 919 31 10 210 k k xy rku kuk = (d) 已算出( ) 1 11 23 31 4 (1)(1) xy Pz zz = 2.5 求如下自相关序列所对应的宽平稳随机过程的功率谱： (a) ( )2 ( )(1)(1) x r kkjkjk=+ (b) ( )( )2(0.5) k x r kk=+ (c) ( )2 ( )cos(/4) x r kkk=+ (d) 10;10 ( ) 0; x kk r k ，而对 k=2,3, N 的0 k =，则 0 ( ) jk x r kAe = 解：解：(a) 对。 实际上是针对白噪声的情况。若要证明之，不妨设 x R的一组特征矢量是 12 , N v vv?。再任取一个 N 维矢量 1 122NN aa va va v=+?。则有： 1 1221 122 xxNNNN R aR a va va va va va va=+=+=? 说明任意的 N 维矢量a都是其特征矢量。所以可以取 12 100, 010, 001 TT N vvv=? T ?为其一组正交归一化的特征 矢量。则有： 1 N H xii i RvvI = =，说明除(0) x r=以外，其它的( )0 x r k=。 (b) 对。 这是一个复谐波的情况，若要证明之，先可得： 12 ( , HT xN Rv vvv vv=?是其第一个特征矢量)。又由 x R的 Toeplitz 特性，主对角线上的元 素 相 等 ， 即， 各的 模 相 等 。 又 次 对 角 线 上 的 元 素 也 相 等 ， 如 ，即和是等比关系，而两者的模又相等，所以比率只能为 222 12 1 N vvv=? i v 11 ( ijij v vvv ij + =) 1i v +i v 0 j e ，即 0 (1) 1, jj NT vee =? 0 ，所以得 0 ( ) jk x r kAe =。 2.8 考虑随机过程( )cos()( )x nAnw n=+，其中是均值为零、方差为的高斯白噪声， 试针对如下情况，求 ( )w n 2 w ( )x n的自相关序列和功率谱： (a) 是均值为零、方差为的高斯随机变量，A 2 A 和是常量。 (b) 是在区间, 上均匀分布的随机变量，和A是常量。 (c) 是在区间 00 , +上均匀分布的随机变量，和是常量。 A 解：解：(a) () ,( )( )cos()( )cos()( ) x rk lE x k x lEAkw kAlw l =+ 2 22 cos()cos()( )( ) cos()cos()() Aw E AklE w k w l klkl =+ =+ 它与 k, l 都有关系，不是宽平稳，故没有功率谱。 (b) ( ) () 222 00 11 cos( ), ()() 24 j2 0xwx rkAkkP eA w =+=+ (c) () ( ) ,( )( )cos()cos() x rk lE x k x lAkAlfd =+ - 4 - 现代数字信号处理习题答案 ()()()() 0 0 00 2 22 1 cos ()2cos() 4 sinsinsin2sin 44 Aklkld AA klklklkl + =+= =+ =+ 2, 结果显然与 k, l 都有关系，不是宽平稳，故没有功率谱。 2.9 确定如下的自相关阵是否合法？若不合法，为什么？ (a) (b) (c) = 411 141 114 1 R = 22 22 2 R + = 11 11 3 j j R (d) (e) = 321 242 123 4 R = 21 4 12 5 j jjj j R 解：解：(a) 不合法，R1不是共轭对称的。 (b) 合法。因为若( )( )01 xx rr= 则( ) x rk就是周期序列。 ( )( )( )det120,det20,det30,RRR=，符合Rx的半正定性。 (c)不合法。因为( )( )01 xx rr） 。若 Szego 定理中的( )g 函 数取为函数，则有： ( )ln () 12 lnlnln1 limln 2 j M x M P ed M + = ? 因此： () 12 lnlnln 1 1 lim detlimexpln 2 M j M M xx MM ReP ed + = ? 。 2.25 在有些应用中，数据采集过程可能出现缺损，使得有数据丢失，或出现应丢弃的野值。设给定 了 WSS 过程( )x n的 N 个样本，但其中一个样本 0 ()x n丢失了。若用矢量表示给定的样本值，即x 00 (0), (1),(1), (1)() T xxx nx nx N=+x? (a) 对矢量的自相关矩阵x H x E=Rxx， 如下的话是否正确： 1) x R是 Toeplitz 的; 2) x R是埃米 特阵；3) x R是半正定的。 (b) 给定的自相关阵，是否可求出x 0 ()x n没有丢失时矢量(0), (1),() T xxx N=x?的自相关阵？ 若可以，如何求？若不可以，请解释原因。 解：解：(a) 根据计算公式 H x E=Rxx，显然这时的 x R仍是 1）哈密顿对称的，2）半正定的。但它 将 不 再 是Toeplitz矩 阵 。 例 如 若(0), (1), (2), (3), (4) T xxxxx=x丢 失 了x(3), 变 为 - 9 - 现代数字信号处理习题答案 (0), (1), (2), (4) T xxxx=x，则有： * * * (0)(1)(2)(4) (1)(0)(1)(3) (2)(1)(0)(2) ( )(3)(2)(0) xxxx xxxx x xxxx xxxx rrrr rrrr rrrr r xrrr = R，不是 Toeplitz 矩阵。 (b) 由于新的 x R是原自相关阵的第列后面到对角线的一个右上角的 0 n 0 Nn方块向上移一行， 而到 第行对角线截止的左下方的一个大小的方块向左移一列, 如下图。显然所有的自相关序列值都 在矩阵中，只是排列位置有变化，所以可由丢失数据的自相关阵获得原自相关阵，使它变成 Toeplitz 矩阵。 0 n 0 n 2.26 宽平稳过程( )x n的功率谱是 2524cos () 26 10cos j x P e = ，试求( )x n的白化滤波器，即输入是 ( )x n时该滤波器的输出是单位方差白噪声。 解：解： () 25 1212 2655 jj j x jj ee P e ee = ( ) ()() ()() ()() ()() ( )()( )() 11 233 1 44 1 11 11 55 2 0 343411 25 12124 265551 51 511 11 x zzz zz Pz zzzzz H z HQ z Q zz = = z z 故， ( )( ) () () 1 3 4 0 1 1 5 1 4 5 1 z Q zH z z = x(n)的白化滤波器是： ( ) () () 1 1 5 1 3 0 4 1 15 41 z H zz = 2.27 什么是正交变换，正交变换的矩阵有什么特点？ 解：解：yUx=，若U是线性算子，且,Ux Uxx x=,，则称U为正交变换。其特点参考 2.6 节课 件的第 10 页：正交变换的几个优点。 2.28 为什么说 KL 变换是最优变换？它有什么优缺点？ 解：解：从统计的意义上来说，KL 变换使原信号x的各分量之间完全去相关，故称最优变换。其优缺点 见教科书 2.6.2.4 节。 2.29 试从随机矢量表示的最小均方误差截断的角度来解释 KL 变换。 解：解：见教科书 2.6.2.3 节，从最小均方误差截断，可以导出 KL 变换。 2.30 为什么说 DCT 是准最优变换？它与 KL 变换之间有什么关系？ 解：解：当信号是一阶马尔可夫过程，且其相关系数接近 1 时，信号的 DCT 变换就近似于 KL 变换。 - 10 - 现代数字信号处理习题答案 所以称它为准最优变换。若信号不满足这些条件，它与 KL 变换的性能还是有差距的。 2.31 与 KL 变换相比，DCT 在实现方面有什么优势？ 解：解：优势表现在： （1）它的变换基是固定的，不需要设计，计算简单； （2）它有快速算法； （3）它 是实数运算。 2.32 试判断下列句子是否正确： 1） 从一个随机信号确定了 KL 变换的基矢量后，就可作用于其它任何宽平稳随机信号实现去相关。 2） 在信号的编码应用中，DCT 之所以比 DFT 用得更多是因为 DCT 可以达到准最优的去相关，而 DFT 不能对数据去相关。 3） 用 FFT 算法可以快速实现 DCT。 解：解： (1) 错。不同的信号有不同的 KL 变换基； (2) 错。DFT 也有对数据的去相关的效果，只是性能比 DCT 差些罢了； (3) 对。DCT 有基于 FFT 的快速算法和基于其变换矩阵分解的快速算法。 2.33 令是 观 测 样 本 ， 且), 1(Nixi?= i x是 弱 平 稳 过 程 ， 均 值 为 i E x=。 如 果 i x), 1(Ni?=是独立的，试证明： (1) 样本均值： = = N i i x N x 1 1 ； (2) 样本方差： = = N i i xx N s 1 22 )( 1 1 分别是无偏的，且： NxE/)( 22 =，这里是 2 i x的方差。 解：解：(1) 1 11 N i i E xE xN NN = = =，故它是无偏的， 且 () 2 2 22 22 1 11 () N i i E xExN NNN = = (2) () () 2 22 11 11 () 11 NN ii ii E sExxExx NN = = ()()() () ()()()() 22 1 22 1 22 22 1 1 2 1 1 2 1 111 2 11 N ii i N ii i N i Exxxx N ExExxEx N N N NNNNN = = = =+ 2 =+ =+= 所以样本方差是无偏的。 2.34 令观测样本由： (1,) ii xswiN=+=? 给定，其中 i w是一个零均值的高斯白噪声，其方差为 1。假定的先验概率密度为 s )2/exp( 2 1 )( 2 = s f 试对二次和均匀代价函数分别求的 Bayes 估计。 s Bayes 解：解： (1) 对二次函数，s 的贝叶斯估计是最小均方估计，也就是条件均值。即()MSssf s x=ds 其中 12 T N xxxx=?，由于()()( )()( )( ),/ s f s xf x sf xf x s fsf x=，故先要求 - 11 - 现代数字信号处理习题答案 ()f x s。由于给定 s 时，x的发生概率就是w的发生概率，各是统计独立的。因此有， i w () () 2 1 1 exp 22 N N i i xs f x s = = ，代入到()f s x的计算公式，有： () ()( ) ()( ) () () 2 2 1 1 2 2 1 11 expexp 2222 11 exp 22 N N i i s N N s i i xss f x s fs f s x f x s fs ds xssds = + = = + () () 2 2 1 2 2 1 expexp 22 1 exp 22 N i i N i i xss xs sd = = = + s () () ( ) 22 11 22 11 11 expexp21 22 11 expexp21 22 NN ii ii NN ii ii xx sNs xx sNsds = = + = + 上式中，积分 () () () 2 1 22 2 1 11 2 11 1 exp21 2 111 exp12 2111 1111 exp1exp 2121 N i i N iNN i ii ii NN ii ii x sNsds x Nssxxds NNN N Nsxx NN = = = = + =+ + + + =+ + 2 1 1 1 N i i dsxx N = = + 令， ()() 2 2 1 2 1 111 expexp1 212 211 exp 121 N i i N i i N xNsx N N x NN = = + ds =+ + + = + 代入(I)式，即得： ()