2015年全国高中数学联赛试题答案.pdf

2015 年全国高中数学联合竞赛加试全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）卷） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明：说明： 1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分参考本评分标准适当划分档次评分, 10 分为一个档次，不要增加其他中间档次分为一个档次，不要增加其他中间档次. 一、 （本题满分一、 （本题满分 4040 分）分）设 12 ,(2) n a aa n 是实数，证明：可以选取 12 ,1, 1 n ，使得 22 2 111 (1) nnn iiii iii aana = + 证法一证法一：我们证明： 2 2 2 2 111 1 2 (1) n nnn iiji niii j aaana = =+ + ， 即对1, 2 n i = ，取1 i =；对1, 2 n in =+ ，取1 i = 符合要求 （这里， x 表示实数x的整数部分 ） 10 分 事实上，的左边为 22 22 11 11 22 nn nn ijij nnii jj aaaa = =+=+ + 22 2 1 1 2 22 n n ij ni j aa = =+ =+ 2 22 1 1 2 22 22 n n ij ni j nn ana = =+ + （柯西不等式） 30 分 2 22 1 1 2 1 22 22 n n ij ni j nn aa = =+ + =+ （利用 1 22 nn n + = ） 2 22 1 1 2 (1) n n ij ni j nana = =+ + （利用 xx） 2 1 (1) n i i na = + ， 所以得证，从而本题得证 40 分 证证法二法二：首先，由于问题中 12 , n a aa的对称性，可设 12n aaa此 外，若将 12 , n a aa中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 2 1 n i i a = 不 减，而右边的 2 1 n i i a = 不变，并且这一手续不影响1 i = 的选取，因此我们可进一 步设 12 0 n aaa 10 分 引理：设 12 0 n aaa，则 1 1 1 0( 1) n i i i aa = 事实上，由于 1( 1, 2,1) ii aain + =，故当n是偶数时， 1 12341 1 ( 1)()()()0 n i inn i aaaaaaa = =+ ， 1 123211 1 ( 1)()() n i innn i aaaaaaaa = = 当n是奇数时， 1 123421 1 ( 1)()()()0 n i innn i aaaaaaaa = =+ ， 1 12311 1 ( 1)()() n i inn i aaaaaaa = = 引理得证 30 分 回到原题，由柯西不等式及上面引理可知 22 122 1 111 ( 1) nnn i iii iii aanaa = + 2 1 (1) n i i na = + ， 这就证明了结论 40 分 二、 （本题满分二、 （本题满分 4040 分）分）设 12 , n SA AA=，其中 12 , n A AA是n个互不相 同 的 有 限 集 合 （2n ） ， 满 足 对 任 意, ij A AS， 均 有 ij AAS 若 1 min | 2 i i n kA =证明：存在 1 n i i xA = ，使得x属于 12 , n A AA中的至少 n k 个集 合（这里X表示有限集合X的元素个数） 证明证明：不妨设 1 |Ak=设在 12 , n A AA中与 1 A不相交的集合有s个，重新 记为 12 , s B BB，设包含 1 A的集合有t个，重新记为 12 , t C CC由已知条件， 1 () i BAS，即 112 (), it BAC CC，这样我们得到一个映射 1212 :, st fB BBC CC， 1 () ii f BBA= 显然f是单映射，于是st 10 分 设 112 , k Aa aa=在 12 , n A AA中除去 1212 , st B BB C CC后，在剩 下的nst 个集合中， 设包含 i a的集合有 i x个 （1ik ） ， 由于剩下的nst 个 集合中每个集合与 1 A的交非空，即包含某个 i a，从而 12k xxxnst+ 20 分 不妨设 1 1 max i i k xx =，则由上式知 1 nst x k ，即在剩下的nst 个集合中， 包含 1 a的集合至少有 nst k 个又由于 1i AC（1,it= ） ，故 12 , t C CC都 包含 1 a，因此包含 1 a的集合个数至少为 (1)nstnsktnst t kkk + + + =（利用2k ） n k （利用ts） 40 分 三、 （本题满分三、 （本题满分 5050 分）分） 如图，ABC内接于圆O，P为 BC上一点，点K在线段AP上，使得BK平分ABC过 KPC、 、三点的圆与边AC交于点D，连接BD交圆 于点E，连接PE并延长与边AB交于点F证明： 2ABCFCB= F E D K O BC A P 证法一证法一：设CF与圆 交于点L（异于C） ，连接PBPC、BL、KL 注意此时C、D、L、K、E、P六点均在圆 上，结合A、B、P、C四 点共圆，可知 180FEBDEPDCPABPFBP= = = ， 因此FBEFPB，故 2 FBFE FP= 10 分 又由圆幂定理知，FE FPFL FC=，所以 2 FBFL FC=， 从而FBLFCB 20 分 因此 FLBFBCAPCKPCFLK= = = = ， 即BKL、 、三点共线 30 分 再根据FBLFCB得， 1 2 FCBFBLFBEABC= = =， 即2ABCFCB= 50 分 证法二证法二：设CF与圆交于点L（异于C） 对圆 内接广义六边形DCLKPE应用帕斯卡定理可知，DC 与KP的交点A、CL与PE的交点F、LK与ED的交 点 B 共线，因此 B 是 AF 与ED的交点，即BB = 所 以B、K、L共线 30 分 根据A、B、P、C四点共圆及L、K、P、C四 点共圆，得 ABCAPCFLKFCBLBC= = = +， 又由BK平分ABC知， 1 2 LBCABC=，从而2ABCFCB= 50 分 四四、 （本题满分、 （本题满分 5 50 0 分）分）求具有下述性质的所有正整数k：对任意正整数n， (1)1 2 kn+ 不整除 ()! ! kn n 解解：对正整数m，设 2( ) m表示正整数m的标准分解中素因子 2 的方幂，则 熟知 L F E D K O B(B) C A P L F E D K O B C A P 2( !) ( )mmS m=， 这里( )S m表示正整数m在二进制表示下的数码之和 由 于 (1)1 2 kn+ 不 整 除 ()! ! kn n 等 价 于 2 ()! (1) ! kn kn n ， 即 22 ()!)( !)knknnn， 进而由知，本题等价于求所有正整数k，使得 ()( )S knS n对任意正整数n成立 10 分 我们证明，所有符合条件的k为2 (0,1, 2,) a a = 一方面，由于(2)( ) a SnS n=对任意正整数n成立，故2ak =符合条件 20 分 另一方面，若k不是 2 的方幂，设2akq=，0a ，q是大于 1 的奇数 下面构造一个正整数n，使得()( )S knS n = ， 因此上述选取的m满足要求 综合上述的两个方面可知，所求的k为2 (0,1, 2,) a a = 50 分 2015 年全国高中数学全国高中数学联合竞赛一联合竞赛一试试（A 卷）卷） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明：说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设填空题只设 8 分和分和 0 分两档；其他各题的分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分， 解答题中第参考本评分标准适当划分档次评分， 解答题中第 9 小题小题 4 分为一个档次， 第分为一个档次， 第 10、 11 小题小题 5 分为一个档次，不要增加其他中间档次分为一个档次，不要增加其他中间档次 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分 1. 设, a b为不相等的实数，若二次函数 2 ( )f xxaxb满足( )( )f af b，则(2)f 的值为 答案答案：4 解解：由已知条件及二次函数图像的轴对称性，可得 22 aba ，即20ab，所以 (2)424fab 2. 若实数满足costan，则 4 1 cos sin 的值为 答案答案：2 解解：由条件知， 2 cossin，反复利用此结论，并注意到 22 cossin1，得 22 42 1cossin cossin sinsin 2 (1sin )(1cos) 2 2sincos2 3. 已知复数数列 n z满足 11 1,1i (1, 2,) nn zzznn ，其中i为虚数单位， n z 表示 n z的共轭复数，则 2015 z的值为 答案答案：20151007i 解解：由已知得，对一切正整数n，有 21 11 i1i11 i2i nnnn zznznnz ， 于是 20151 1007220151007iizz 4. 在矩形ABCD中，2,1ABAD，边DC上（包含点D、C）的动点P与CB延 长线上（包含点B）的动点Q满足DPBQ ，则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ 的 最小值为 答案答案： 3 4 解解：不妨设(0,0),(2,0),(0,1)ABD设P的坐标为( ,1)t（其中02t ） ，则由 DPBQ 得Q的坐标为(2,) t，故(,1),(2,1) PAtPQtt，因此 2 2 133 () (2)(1) (1)1 244 PA PQtttttt 当 1 2 t 时， min 3 4 PA PQ 5. 在正方体中随机取 3 条棱，它们两两异面的概率为 答案答案： 2 55 解解：设正方体为ABCDEFGH，它共有 12 条棱，从中任意取出 3 条棱的方法共有 3 12 220C种 下面考虑使 3 条棱两两异面的取法数 由于正方体的棱共确定 3 个互不平行的方向 （即 AB、AD、AE的方向） ，具有相同方向的 4 条棱两两共面，因此取出的 3 条棱必属于 3 个 不同的方向可先取定AB方向的棱，这有 4 种取法不妨设取的棱就是AB，则AD方向 只能取棱EH或棱FG，共 2 种可能当AD方向取棱是EH或FG时，AE方向取棱分别 只能是CG或DH 由上可知，3 条棱两两异面的取法数为428 ，故所求概率为 82 22055 6. 在平面直角坐标系xOy中，点集 ( ,)36360Kx yxyxy所对 应的平面区域的面积为 答案答案：24 解解：设 1 ( ,)360 Kx yxy先考虑 1 K 在第一象限中的部分，此时有36xy，故这些点对 应于图中的OCD及其内部由对称性知， 1 K对应的 区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD及其内部 同理，设 2 ( ,) 360 Kx yxy，则 2 K对 应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部 由点集K的定义知，K所对应的平面区域是被 1 K、 2 K中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S 由于直线CD的方程为36xy，直线GH的方程为36xy，故它们的交点P的 坐标为 33 , 22 由对称性知， 13 88424 22 CPG SS 7. 设为正实数，若存在,(2 )a bab，使得sinsin2ab，则的取值 范围是 答案答案： 9513 , 424 解解：由sinsin2ab知，sinsin1ab，而, 2ab，故题目条 件等价于：存在整数, ()k l kl，使得 222 22 kl 当4时，区间, 2的长度不小于4，故必存在, k l满足式 当04时，注意到, 2(0, 8 )，故仅需考虑如下几种情况： (i) 5 2 22 ，此时 1 2 且 5 4 ，无解； (ii) 59 2 22 ，此时有 95 42 ； (iii) 913 2 22 ，此时有13 9 42 ，得134 4 综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4亦满足条件，可知 9513 , 424 8. 对四位数(19, 0, ,9)abcdab c d，若,ab bc cd，则称abcd为P类 数；若,ab bc cd，则称abcd为Q类数用( )N P与( )N Q分别表示P类数与Q类 数的个数，则( )( )N PN Q的值为 答案答案：285 解解：分别记P类数、Q类数的全体为A、B，再将个位数为零的P类数全体记为 0 A， 个位数不等于零的P类数全体记为 1 A 对任一四位数 1 abcdA，将其对应到四位数dcba，注意到,1ab bc cd，故 dcbaB 反之， 每个dcbaB唯一对应于 1 A中的元素abcd 这建立了 1 A与B之间的一一 对应，因此有 010 ( )( )N PN QABAABA 下面计算 0 A：对任一四位数 0 0abcA，b可取0, 1,9，对其中每个b， 由9ba 及9 bc知，a和c分别有9b种取法，从而 99 22 0 01 9 10 19 (9)285 6 bk Abk 因此，( )( )285N PN Q 二、解答题：本大题共3小题，满分56分解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 9.（本题满分 16 分）若实数,a b c满足242 , 424 abcabc ，求c的最小值 解解：将2 , 2 , 2 abc 分别记为,x y z，则,0x y z 由条件知， 222 ,xyz xyz，故 2222224 ()2zyxzyzy zy 8 分 因此，结合平均值不等式可得， 4 2 2 111 2 24 yy zy yyy 3 3 2 11 13 322 44 y y y 12 分 当 2 1 2y y ，即 3 1 2 y时，z的最小值为 33 2 4 （此时相应的x值为 3 2 4 ，符合要求） 由于 2 logcz，故c的最小值为 3 22 35 log2log 3 43 16 分 10. （本题满分 20 分）设 1234 ,a a a a是 4 个有理数，使得 31 1424,2,1, 3 28 ij a aij ， 求 1234 aaaa的值. 解：解： 由条件可知，()14 ij a aij 是 6 个互不相同的数， 且其中没有两个为相反数， 由 此 知 ， 1234 ,a a a a的 绝 对 值 互 不 相 等 ， 不 妨 设 1234 aaaa， 则 ()14 ij a aij 中最小的与次小的两个数分别是 12 a a及 13 a a，最大与次大的两个 数分别是 34 aa及 24 aa，从而必须有 12 13 24 34 1 , 8 1, 3, 24, a a a a a a a a 10 分 于是 2341 112 113 ,24 8 aaaa aaa .故 2 23141 2 1 13 ,242, 82 a a a aa a ， 15 分 结合 1 a，只可能 1 1 4 a . 由此易知 1234 11 ,4,6 42 aaaa或者 1234 11 ,4,6 42 aaaa经 检验知这两组解均满足问题的条件 故 1234 aaaa 9 4 . 20 分 11. （本题满分 20 分）在平面直角坐标系xOy中， 1 F、 2 F分别是椭圆 2 2 1 2 x y 的左、 右焦点设不经过焦点 1 F的直线l与椭圆交于两个不同的点A、B，焦点 2 F到直线l的距离 为d如果直线 1 AF、l、 1 BF的斜率依次成等差数列，求d的取值范围 解解：由条件知，点 1 F、 2 F的坐标分别为( 1, 0)和(1, 0) 设直线l的方程为ykxm，点A、B的坐标分别为 11 ( ,)xy和 22 (,)xy，则 12 ,xx满 足方程 2 2 ()1 2 x kxm，即 22