复变函数第四版课后习题答案.pdf

证明：可设iz x y=+，然后代入逐项验证。 5对任何，是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对那些 值才成立？ z 2 |zz= 2 2 2 z 解：设，则要使成立有 iz x y=+ 2 |zz= 222 2 ixyxyx?+=+ y0，即。由此可得为实数。 2222, xyxy xy?=+=z 6 当时，求的最大值，其中 n 为正整数， a 为复数。 1| z|az n+ 解：由于|a|a|z|az nn +1，且当 n a ez arg i =时，有 ( ) |a|ea|a|eea|z aa n n a n +=+=+ ? ? ? ? ? ? ? ? =+|11 argiargi arg i 故为所求。 |1a+ 8 将下列复数化成三角表示式和指数表示式。 （1）i ； （2 ）- 1 ； （3）1 +3i ； （4）()0isincos1+?； （5） i1 2 i +? ； （6 ）( ) () 3 2 isin3cos3 isin5cos5 ? ? ? + 解： （1） 2 i e 2 isin 2 cosi=+=； （2 ） i eisincos1=+=? （3） 3 i 2 e 3 isin 3 cos2 2 3 i 2 1 23i1=? ? ? ? ? ? += ? ? ? ? ? ? ? ? +=+； （4） 2 1 cosisin2 sini2 sincos 2 sinsinicos 222222 ? ? ? ?+=+=+ ? ? )( 0,e 2 2 sin 2 isin 2 cos 2 2 sin 2 i =? ? ? ? ? ? + ? = ? ? ? ? ； （5）() ? ? ? ? ? ? ? ? ?=?=?= +?2 1 i 2 1 2i1i12 i 2 1 i1 2 i ? ? ? ? ? ? ?= 4 isin 4 cos2 = 4 i e2 ? （6 ） () () ( )( ) 2 23 i5i3i1 0i9i1 9 3 cos5 isin5 e/ee / ee cos3 isin3 ? ? ? ? + = ? ? = 3 证明：可设iz x y=+，然后代入逐项验证。 5对任何，是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对那些 值才成立？ z 2 |zz= 2 2 2 z 解：设，则要使成立有 iz x y=+ 2 |zz= 222 2 ixyxyx?+=+ y0，即。由此可得为实数。 2222, xyxy xy?=+=z 6 当时，求的最大值，其中 n 为正整数， a 为复数。 1| z|az n+ 解：由于|a|a|z|az nn +1，且当 n a ez arg i =时，有 ( ) |a|ea|a|eea|z aa n n a n +=+=+ ? ? ? ? ? ? ? ? =+|11 argiargi arg i 故为所求。 |1a+ 8 将下列复数化成三角表示式和指数表示式。 （1）i ； （2 ）- 1 ； （3）1 +3i ； （4）()0isincos1+?； （5） i1 2 i +? ； （6 ）( ) () 3 2 isin3cos3 isin5cos5 ? ? ? + 解： （1） 2 i e 2 isin 2 cosi=+=； （2 ） i eisincos1=+=? （3） 3 i 2 e 3 isin 3 cos2 2 3 i 2 1 23i1=? ? ? ? ? ? += ? ? ? ? ? ? ? ? +=+； （4） 2 1 cosisin2 sini2 sincos 2 sinsinicos 222222 ? ? ? ?+=+=+ ? ? )( 0,e 2 2 sin 2 isin 2 cos 2 2 sin 2 i =? ? ? ? ? ? + ? = ? ? ? ? ； （5）() ? ? ? ? ? ? ? ? ?=?=?= +?2 1 i 2 1 2i1i12 i 2 1 i1 2 i ? ? ? ? ? ? ?= 4 isin 4 cos2 = 4 i e2 ? （6 ） () () ( )( ) 2 23 i5i3i1 0i9i1 9 3 cos5 isin5 e/ee / ee cos3 isin3 ? ? ? ? + = ? ? = 3 证明：可设iz x y=+，然后代入逐项验证。 5对任何，是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对那些 值才成立？ z 2 |zz= 2 2 2 z 解：设，则要使成立有 iz x y=+ 2 |zz= 222 2 ixyxyx?+=+ y0，即。由此可得为实数。 2222, xyxy xy?=+=z 6 当时，求的最大值，其中 n 为正整数， a 为复数。 1| z|az n+ 解：由于|a|a|z|az nn +1，且当 n a ez arg i =时，有 ( ) |a|ea|a|eea|z aa n n a n +=+=+ ? ? ? ? ? ? ? ? =+|11 argiargi arg i 故为所求。 |1a+ 8 将下列复数化成三角表示式和指数表示式。 （1）i ； （2 ）- 1 ； （3）1 +3i ； （4）()0isincos1+?； （5） i1 2 i +? ； （6 ）( ) () 3 2 isin3cos3 isin5cos5 ? ? ? + 解： （1） 2 i e 2 isin 2 cosi=+=； （2 ） i eisincos1=+=? （3） 3 i 2 e 3 isin 3 cos2 2 3 i 2 1 23i1=? ? ? ? ? ? += ? ? ? ? ? ? ? ? +=+； （4） 2 1 cosisin2 sini2 sincos 2 sinsinicos 222222 ? ? ? ?+=+=+ ? ? )( 0,e 2 2 sin 2 isin 2 cos 2 2 sin 2 i =? ? ? ? ? ? + ? = ? ? ? ? ； （5）() ? ? ? ? ? ? ? ? ?=?=?= +?2 1 i 2 1 2i1i12 i 2 1 i1 2 i ? ? ? ? ? ? ?= 4 isin 4 cos2 = 4 i e2 ? （6 ） () () ( )( ) 2 23 i5i3i1 0i9i1 9 3 cos5 isin5 e/ee / ee cos3 isin3 ? ? ? ? + = ? ? = 3 证明：可设iz x y=+，然后代入逐项验证。 5对任何，是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对那些 值才成立？ z 2 |zz= 2 2 2 z 解：设，则要使成立有 iz x y=+ 2 |zz= 222 2 ixyxyx?+=+ y0，即。由此可得为实数。 2222, xyxy xy?=+=z 6 当时，求的最大值，其中 n 为正整数， a 为复数。 1| z|az n+ 解：由于|a|a|z|az nn +1，且当 n a ez arg i =时，有 ( ) |a|ea|a|eea|z aa n n a n +=+=+ ? ? ? ? ? ? ? ? =+|11 argiargi arg i 故为所求。 |1a+ 8 将下列复数化成三角表示式和指数表示式。 （1）i ； （2 ）- 1 ； （3）1 +3i ； （4）()0isincos1+?； （5） i1 2 i +? ； （6 ）( ) () 3 2 isin3cos3 isin5cos5 ? ? ? + 解： （1） 2 i e 2 isin 2 cosi=+=； （2 ） i eisincos1=+=? （3） 3 i 2 e 3 isin 3 cos2 2 3 i 2 1 23i1=? ? ? ? ? ? += ? ? ? ? ? ? ? ? +=+； （4） 2 1 cosisin2 sini2 sincos 2 sinsinicos 222222 ? ? ? ?+=+=+ ? ? )( 0,e 2 2 sin 2 isin 2 cos 2 2 sin 2 i =? ? ? ? ? ? + ? = ? ? ? ? ； （5）() ? ? ? ? ? ? ? ? ?=?=?= +?2 1 i 2 1 2i1i12 i 2 1 i1 2 i ? ? ? ? ? ? ?= 4 isin 4 cos2 = 4 i e2 ? （6 ） () () ( )( ) 2 23 i5i3i1 0i9i1 9 3 cos5 isin5 e/ee / ee cos3 isin3 ? ? ? ? + = ? ? = 3 证明：可设iz x y=+，然后代入逐项验证。 5对任何，是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对那些 值才成立？ z 2 |zz= 2 2 2 z 解：设，则要使成立有 iz x y=+ 2 |zz= 222 2 ixyxyx?+=+ y0，即。由此可得为实数。 2222, xyxy xy?=+=z 6 当时，求的最大值，其中 n 为正整数， a 为复数。 1| z|az n+ 解：由于|a|a|z|az nn +1，且当 n a ez arg i =时，有 ( ) |a|ea|a|eea|z aa n n a n +=+=+ ? ? ? ? ? ? ? ? =+|11 argiargi arg i 故为所求。 |1a+ 8 将下列复数化成三角表示式和指数表示式。 （1）i ； （2 ）- 1 ； （3）1 +3i ； （4）()0isincos1+?； （5） i1 2 i +? ； （6 ）( ) () 3 2 isin3cos3 isin5cos5 ? ? ? + 解： （1） 2 i e 2 isin 2 cosi=+=； （2 ） i eisincos1=+=? （3） 3 i 2 e 3 isin 3 cos2 2 3 i 2 1 23i1=? ? ? ? ? ? += ? ? ? ? ? ? ? ? +=+； （4） 2 1 cosisin2 sini2 sincos 2 sinsinicos 222222 ? ? ? ?+=+=+ ? ? )( 0,e 2 2 sin 2 isin 2 cos 2 2 sin 2 i =? ? ? ? ? ? + ? = ? ? ? ? ； （5）() ? ? ? ? ? ? ? ? ?=?=?= +?2 1 i 2 1 2i1i12 i 2 1 i1 2 i ? ? ? ? ? ? ?= 4 isin 4 cos2 = 4 i e2 ? （6 ） () () ( )( ) 2 23 i5i3i1 0i9i1 9 3 cos5 isin5 e/ee / ee cos3 isin3 ? ? ? ? + = ? ? = 3 2 1 指出下列各题中点 z 的存在范围，并作图。 （1）| 5； （2 ）| z ? = 61|i2|+z； （3）R e(2 ) 1z += ?； （4）()3iR e=z； （5）|i|i|?=+zz； （6 ）4|1|3|=+zz （7）I m( ) 2z； （8 ）1 2 3 ? ? z z ； （9）0 argzz41 ?z； （3）1R e0z y O x 不包含实轴的上半平面，是无界的、开的单连通区域。 （2 ）41 ?z x y 5 O 1 圆的外部（不包括圆周），是无界的、开的多连通区域。 1 6)1( 22 =+?yz （3）01R e ?，当 zf即点),(zUz时， 则。 3 0 设 0)(zf 0 lim () z z fzA=，证明 ()fz在的某一去心邻域内是有界的。 证 取 0 z 1=， 则 存 在0， 当 0 0 |z z?，当 zf即点),(zUz时， 则。 3 0 设 0)(zf 0 lim () z z fzA=，证明 ()fz在的某一去心邻域内是有界的。 证 取 0 z 1=， 则 存 在0， 当 0 0 |z z? ?，故 ( )f z ? ? ? 在C及其内部解析。由 C auchy基本定理知： 2 ( )( ) 0 CC fzf dd zz R = ? ? ? vv 。 3 4 根据柯西积分公式与习题3 3 的结果，证明 2 22 111() ( ) ()( ) 2 i2 i () () CC zRzz f fzfdd z RzzRz ? =+= ? ? ? vv ， 其中C为|z R=|. 证明 由柯西积分公式有： 1( ) () 2 i C f fzd z = ? v ；而由 3 3题结果知 2 ( ) 0 C zf d z R = ? v ，故 将这两式相减即得。 3 5 如果令 ii e,eRz r ? =，验证 222 /i . () () () () R2cos() ddd zRzzzR rr ? = ?+ 并由 3 4题的结果，证明 22i 2 22 0 1() ( e) () 22cos( ) Rr fR fzd RR rr ? ? = ?+ . 取其实部，得 22 2 22 0 1()( cos, sin) (, )( cos, sin) 22cos( ) Rr uRR uxyurrd RR rr ? ? ? = ?+ 这个积分称为泊松（ P oisson）积分。通过这个公式，一个调和函数在一个圆内得值可用它在圆周上的 值来表示。 证明 2 iRR RR e ? =?=，故 22 / . () ()() () () () ddd Rz Rzzz zz = ? ? 又 i i diRed id R e ? = ? ， 22 () ()2cos()zzRR rr ?=?+，故 - 9 - 2 00 0 1 ( )(e) 2 i fzfz Rd =+ 只取其实部有： 2 0000 0 1 ( , )(cos,sin) 2 ux yux ry rd ? =+ ； 2 ）由 1）知 00 2 000000 22 000 00 11 (cos,sin)2( , )( , ) rr ux ry rrd drux y rdr ux y rr ? += 。 3 3 如果()ifz u v=+在区域D内处处解析，C为D内的正向圆周：|z R=， 它的内部完全含于D。 设z为C内一点，并令 2/ z Rz=? ?，试证 2 ( )( ) 0 CC fzf dd zz R = ? ? ? vv 。 证明 因z为C内一点， 22 | | / |/ | R z Rz RzRR z =? ?，故 ( )f z ? ? ? 在C及其内部解析。由 C auchy基本定理知： 2 ( )( ) 0 CC fzf dd zz R = ? ? ? vv 。 3 4 根据柯西积分公式与习题3 3 的结果，证明 2 22 111() ( ) ()( ) 2 i2 i () () CC zRzz f fzfdd z RzzRz ? =+= ? ? ? vv ， 其中C为|z R=|. 证明 由柯西积分公式有： 1( ) () 2 i C f fzd z = ? v ；而由 3 3题结果知 2 ( ) 0 C zf d z R = ? v ，故 将这两式相减即得。 3 5 如果令 ii e,eRz r ? =，验证 222 /i . () () () () R2cos() ddd zRzzzR rr ? = ?+ 并由 3 4题的结果，证明 22i 2 22 0 1() ( e) () 22cos( ) Rr fR fzd RR rr ? ? = ?+ . 取其实部，得 22 2 22 0 1()( cos, sin) (, )( cos, sin) 22cos( ) Rr uRR uxyurrd RR rr ? ? ? = ?+ 这个积分称为泊松（ P oisson）积分。通过这个公式，一个调和函数在一个圆内得值可用它在圆周上的 值来表示。 证明 2 iRR RR e ? =?=，故 22 / . () ()() () () () ddd Rz Rzzz zz = ? ? 又 i i diRed id R e ? = ? ， 22 () ()2cos()zzRR rr ?=?+，故 - 9 - 2 00 0 1 ( )(e) 2 i fzfz Rd =+ 只取其实部有： 2 0000 0 1 ( , )(cos,sin) 2 ux yux ry rd ? =+ ； 2 ）由 1）知 00 2 000000 22 000 00 11 (cos,sin)2( , )( , ) rr ux ry rrd drux y rdr ux y rr ? += 。 3 3 如果()ifz u v=+在区域D内处处解析，C为D内的正向圆周：|z R=， 它的内部完全含于D。 设z为C内一点，并令 2/ z Rz=? ?，试证 2 ( )( ) 0 CC fzf dd zz R = ? ? ? vv 。 证明 因z为C内一点， 22 | | / |/ | R z Rz RzRR z =? ?，故 ( )f z ? ? ? 在C及其内部解析。由 C auchy基本定理知： 2 ( )( ) 0 CC fzf dd zz R = ? ? ? vv 。 3 4 根据柯西积分公式与习题3 3 的结果，证明 2 22 111() ( ) ()( ) 2 i2 i () () CC zRzz f fzfdd z RzzRz ? =+= ? ? ? vv ， 其中C为|z R=|. 证明 由柯西积分公式有： 1( ) () 2 i C f fzd z = ? v ；而由 3 3题结果知 2 ( ) 0 C zf d z R = ? v ，故 将这两式相减即得。 3 5 如果令 ii e,eRz r ? =，验证 222 /i . () () () () R2cos() ddd zRzzzR rr ? = ?+ 并由 3 4题的结果，证明 22i 2 22 0 1() ( e) () 22cos( ) Rr fR fzd RR rr ? ? = ?+ . 取其实部，得 22 2 22 0 1()( cos, sin) (, )( cos, sin) 22cos( ) Rr uRR uxyurrd RR rr ? ? ? = ?+ 这个积分称为泊松（ P oisson）积分。通过这个公式，一个调和函数在一个圆内得值可用它在圆周上的 值来表示。 证明 2 iRR RR e ? =?=，故 22 / . () ()() () () () ddd Rz Rzzz zz = ? ? 又 i i diRed id R e ? = ? ， 22 () ()2cos()zzRR rr ?=?+，故 2 ）与 1）采用同样的方法，并利用 11 (2 ln n n n )； 3）因 ( 6 + 5 i) 6 1 88 n n n ? = ? ? ? ? ? ，而 1 6 1 8 n n = ? ? ? ? 收敛，故 1 ( 6 + 5 i) 8 n n n = 绝对收敛； 4）因，而cosi chn =n ch lim0 2 n n n ，故 2 cosi 2 n n n = 发散。 4下列说法是否正确？为什么？ （1）每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； （2 ）每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； （3）每一个在连续的函数一定可以在的邻域内展开成 T aylor级数。 0 z 0 z 解（1）不对。如在收敛圆 = 0n n z1。 故() C fzdz 0 。 2 ） 1 1 0 21111 (2 )(2 )( 1 ), | | (1 )( 1 ) n n n z z zz zzz zzz + = ?+? 1z=+?=+? ? ? + ? ? 故() C fzdz 2 i。 3 ） 1 23231 1 1 111 ( 1 ), | |1 (1 )( 1 ) n n n z n z zzzzz ? ? = =? + 。故() C fz dz 0 。 1 1 4 ） 12 00 11( 1 )( 1 ) 2 , | |2 (1 ) (2 )( 1 )( 1 ) nn n nn nnzz z zz zzzzzz = ? ? =?=? ? + ? 故() C fzdz 2 i。 2 0 试求积分的值， 其中为单位圆| 2 () n n C z dz = ? v C1z =内的任何一条不经过 原点的简单闭曲线。 解 2 2 111 , 0 |1 1 n n zz zzz = ? =+ 故() C fzdz 2 i。 2 0 试求积分的值， 其中为单位圆| 2 () n n C z dz = ? v C1z =内的任何一条不经过 原点的简单闭曲线。 解 2 2 111 , 0 |1 1 n n zz zzz = ? =+ 故() C fzdz 2 i。 2 0 试求积分的值， 其中为单位圆| 2 () n n C z dz = ? v C1z