一轮复习专题：数列中的存在性问题.doc

苏州分公司金阊校区数学组XueDa Personalized Education Development Center专题：数列中的存在性问题学大苏分教研中心 周坤1、 单存在性变量解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n）的方程，然后n的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。例1、已知数列的前项和为=，在数列中，=8，=0，问是否存在常数使得对任意，恒为常数，若存在求出常数和,若不存在说明理由. 解析：假设存在常数使得对任意，恒为常数，=，当=1时，则=8，当2时，=，当=1适合，=，又=0， =，数列是首项为8，公比为的等比数列，=，则=，又对任意，恒为常数，=0，解得=2，=11，存在常数=2使得对任意，恒为常数=11.二、双存在型变量 解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进行检验。例2、【2010南通一模】设等差数列的前项和为且（1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）设等差数列的公差为d. 由已知得 2分即解得4分.故.6分（2） 由（1）知.要使成等差数列，必须，即，8分.（3） 整理得， 11分因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当时，；当时，；当时，.故存在正整数t，使得成等差数列. 15分例3、设数列的前项和，数列满足.（）若成等比数列，试求的值；（）是否存在，使得数列中存在某项满足成等差数列？若存在，请指出符合题意的的个数；若不存在，请说明理由.解：（）因为，所以当时，3分又当时，适合上式，所以（）4分 所以，则，由，得，解得（舍）或，所以7分（）假设存在，使得成等差数列，即，则，化简得12分所以当时，分别存在适合题意，即存在这样，且符合题意的共有9个 14分例4、【2010徐州三模】 已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，令，数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式及数列的前n项和为；（2）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为是等差数列，由，又因为，所以，2分由所以6分(2)由(1)知， 所以， 若成等比数列，则，即8分解法一：由，可得，所以， 12分从而：，又，且，所以，此时故可知：当且仅当， 使数列中的成等比数列。16分解法二：因为，故，即，12分从而：，（以下同上）3、 三个存在型变量-连续的解题思路：这类问题的形式一般是，“是否存在连续的三项，恰好成等差数列（或等比数列）”。可以先假设存在，然后构造一个关于单存在性变量的方程，即转化为一个方程有正整数根的问题，我们可以按照处理零点问题的方法（“解方程”或者“画图像”）求解。例5、【扬州2010一模】已知数列，.求证：数列为等比数列；数列中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；设，其中为常数，且，求AB.解：=，为常数数列为等比数列-4分取数列的连续三项， ，即，数列中不存在连续三项构成等比数列； -9分当时，此时；当时，为偶数；而为奇数，此时；当时，此时；-12分当时，发现符合要求，下面证明唯一性（即只有符合要求）。由得，设，则是上的减函数， 的解只有一个从而当且仅当时，即，此时；当时，发现符合要求，下面同理可证明唯一性（即只有符合要求）。从而当且仅当时，即，此时；综上，当，或时，；当时，当时，。 -16分4、 三个存在型变量-不同的解题思路：这类问题的形式一般是，“是否存在不同的三项，恰好成等差数列（或等比数列）”，不难看出，三个存在型变量均出现在下标，这就等于给定了两个隐含条件，其一，三个变量均为正整数，其二，三个变量互不相等。另外，一旦我们主动去分析数列的单调性，那么我们就可以不妨设出这三个变量的一个大小顺序。具体的，该类问题可以分成三类。其一，等差中找等比（无理有理找矛盾）例6、【扬州2010三模】已知数列满足：（为常数），数列中，。求；证明：数列为等差数列；求证：数列中存在三项构成等比数列时，为有理数。解：由已知，得，。 4分，又，数列是首项为，公差为的等差数列。9分证明：由知， 10分若三个不同的项成等比数列，、为非负整数，且，则，得， 12分若，则，得=，这与矛盾。 14分若，则，、为非负整数，是有理数。16分例7、等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列(1)解：由已知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明：由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则即(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20，pr.这与pr相矛盾所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列其二，等比中找等差（化简成整式，通过等式两边同除公比的最小次方，进而等式两边，一边为公比的倍数，另一边不是公比的倍数，矛盾）；例8、【无锡市2010年秋学期高三期末考试】 由部分自然数构成如图的数表，用表示第行第个数（），使，每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的之和。设第行中各数之和为。 （1）求； （2）用表示； （3）试问：数列中是否存在不同的三项，（）恰好成等差数列？若存在，求出，的关系；若不存在，请说明理由。 （1）2分 （2）=；6分 （3），8分所以是以为首项，2为公比的等比数列，9分则11分若数列中存在不同的三项恰好成等差数列，不妨设，显然是递增数列，则12分即2，化简得：（*）14分由于，且，知1，2，所以（*）式左边为偶数，右边为奇数， 故数列中不存在不同的三项恰好成等差数列。16分例9、【2010届江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学】已知数列an的通项公式为an = (nN*).求数列an的最大项；设bn = ，试确定实常数p，使得bn为等比数列；设，问：数列an中是否存在三项，使数列，是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由.解 由题意an = 2 + ,随着n的增大而减小,所以an中的最大项为a1 = 4.4分bn = = = ，若bn为等比数列，则b bnbn+2= 0(nN* )所以 (2 + p)3n+1 + ( 2 p)2 2 + p)3n + (2 p)(2 + p)3n+2 + (2 p) = 0(nN*)，化简得(4 p2)(23n+1 3n+2 3n ) = 0即 (4 p2)3n4 = 0,解得p = 2. 7分反之,当p = 2时,bn = 3n,bn是等比数列;当p = 2时,bn = 1,bn也是等比数列.所以,当且仅当p = 2时bn为等比数列. 10分因为，若存在三项，使数列，是等差数列，则，所以=，12分化简得（*），因为，所以，所以，（*）左边，右边，所以（*）式不可能成立，故数列an中不存在三项，使数列，是等差数列. 16分例10、【无锡市2011一模】已知数列的首项，（1）求证：数列为等比数列；（2） 记，若，求最大的正整数（3）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列，且成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由解：（1），2分且， 3分数列为等比数列4分（2）由（1）可求得， 5分，7分若，则，9分（3）假设存在，则， 10分，12分化简得：，13分，当且仅当时等号成立15分又互不相等，不存在16分其三，我们知道，既成等差又成等比的数列一定是非零的常数数列，利用这个性质，一旦我们通过分析或者化简得到三个存在性变量（或者他们经过相同变换得到的三个数）既成等差又成等比，那么即可说明三者相等，而题干说了“互不相等”，从而找出矛盾，说明不存在。例11、【2012上海一联】设等比数列的前项和为，已知(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列(如：在与之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为；在与之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为，以此类推)，设第个等差数列的和是. 是否存在一个关于的多项式，使得对任意恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由；(3)对于(2)中的数列，这个数列中是否存在不