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考研数学一公式 朱泽斌 整理 考研考研数学一公式数学一公式 1. 特殊函数特殊函数 （1） /2/2 00 133 1 24 2 2 cosdsind 134 2 25 3 nn n nn n nn Ix xx x nn n nn = , 为偶 , 为奇 （2） 22 00 sin()sin()dsin()sin()dcos()cos()dcos()cos()d 0 xxxxxxxxxxxx = = （3） 2 0 sin()cos()dsin()cos()d0xxxxxx = （4） 00 (sin )d(sin )d 2 xfxxfxx= （5） /2/2 00 (sin )d(cos )dfxxfxx= （6） 1 0 ( )e d (1)( ) (1)! (1/ 2) x xx + = += += = 或 0 !0 1 ( )e d(1)0 2 1/ 2 mx mm mxxmmm m + = = 的整数 的半整数 2. 不等式不等式 （1） 22 22 22 ababaa ab ab + + （2） 12 12 n n n aaa a aa n + （3） 111 d n n x nx + （4） ( )d( ) d bb aa f xxf xx （5）柯西不等式 () 2 22 ( ) ( )d( )d( )d bbb aaa f x g xxfxxgxx 3. 等价无穷小等价无穷小 （1） sin tan arcsin arctan ln(1) e1 x xxxxx x+ （2） 2 1 cos/ 2xx （3） 2 1cos/ 2xx （4）(1)1 ln(1)1 1 ln(1) xxxx + + 4. 麦克劳林展开麦克劳林展开 （1） 23 e1() 2!3! n xn xxx xo x n = + （2） 35 2121 ( 1) sin() 3!5!(21)! n nn xx xxxo x n + =+ + （3） 35 2121 ( 1) arctan() 3521 n nn xx xxxo x n + =+ + （4） 24 22 ( 1) cos1() 2!4!(2 )! n nn xx xxo x n = + （5） 23 1 1() 1 nn xxxxo x x = + （6） 231 ( 1) ln(1)() 23 n nn xx xxxo x n +=+ （7） 23 (1)(1)(2) (1)1 2!3! (1)(1) () ! a nn a aa aa xaxxx a aan xo x n += + + + 1 / 11 考研数学一公式 朱泽斌 整理 5. 求导公式求导公式 2 1 (tan ) cos x x = 2 1 (cot ) sin x x = (sec )sec tanxxx= (csc )csc cotxxx= 2 1 (arcsin ) 1 x x = 2 1 (arccos ) 1 x x = 2 1 (arctan ) 1 x x = + 2 1 (arccot ) 1 x x = + ( ) (sin )sin 2 n n xx =+ ( ) (cos )cos 2 n n xx =+ ( )( )() 0 () n nkkn k n k uvC uv = = ( ) 1 1()! () n n n an axbaxb + = + 6. 弧弧微分 微分 222 d1 ( )d ( ) ( )dSfxxxtytt=+=+ 7. 弧长弧长 2 1 2 2222 1 ( )d ( ) ( )d( ) ( )d b a t t lfxx xtyttrr =+ =+=+ 8. 曲率曲率 K 23/2223/2 “( ) ( )“( ) ( ) 1 (1 ) ( ) ( ) yxt y tyt x t K yxtyt = + 9. 连续可偏导 可微 连续可偏导 10. 区域区域 D 上的上的无条件极值无条件极值 令 0 0 0 0 x y fxx fyy = = 令 00 (,) xx Afxy= 00 (,) xy Bfxy= 00 (,) yy Cfxy= 2 0 0 0 0 A ACBA 极小值 是极值点 极大值 不是极值点 11. 条件极值条件极值 （拉格朗日乘数法）（拉格朗日乘数法） u = f(x,y,z)，约束方程 (x,y,z)和 (x,y,z)， 设 F = f + + ，则 0 0 0 0 0 0 0 0 xxxx yyyy zzzz Ff Ff xx Ffyy Fzz F =+= =+= = =+= = = 如果( , )x yD是闭区域，则先在开区域内用 无条件极值，再在边界上用条件极值。 12. ( )( )( )F xf xfx 原函数导数 偶奇偶 奇偶奇 周期周期周期 13. 积分公式积分公式 （1）d ln x x a axC a =+ （2） tan1 d coscos x xC xx =+ （易推） （3） 11 d sintansin xC xxx = + （易推） （4） 2 d arctan 1 x xC x =+ + （5） 2 d arcsin 1 x xC x =+ （6） 22 22 d ln x xxaC xa =+ （7） 22 d arcsin xx C a ax =+ （8） 22 d1 arctan xx C aaax =+ + （9） 22 d1 ln 2 xxa C axaxa =+ + （可用平方差公式推出） （10） 2 2222 darcsin 22 axx axxaxC a =+ （11）tan dln cosx xxC= + （易推） 2 / 11 考研数学一公式 朱泽斌 整理 （12）cot dln sinx xxC=+ （易推） （13）sec dln sectanx xxxC=+ （14）csc dln csccotx xxxC=+ 14. 换元法换元法 （1）( )( )e dde( ) xx fxf xxf x+= （2）(1)e dd( e ) xx xxx+= （3） d 2d() x x x = （4）(1ln )dd( ln )xxxx+= 15. 微分方程微分方程 （1）一阶非线性 d ( )( ) d y P x yQ x x += ( )d( )d ( )ede P xxP xx yQ xxC =+ （2）缺 y 型( , “)0f x y y=，令 y = p，( , ,)0f x p p= 缺 x 型( , “)0f x y y=令 y = p， d ( , ,)0 d p f y p p y = （3）二阶齐次 2 “00ypyqypq+=+= 12 1 1212 1212 12 ,ee ,()e ,e(cossin) xx x x yCC yCxC iyCxCx =+ =+ =+=+ （4）二阶非齐次型 2 120 “( )e 0, x n ypyqyP x pqy += += （ 是常数） 2 12 12 12 , *( )e , *( )e , *( )e x n x n x n yx Qx yxQx yQx = = = （Qn(x)是与 Pn(x)同阶的多项式） 把 y*代回原方程解出 Qn(x)，则 y = y0 + y* 若 12 =， 2 ( )“( ) nn x QxP x= 若 12 =，( )“ (2)( )( ) nnn xQxp xQxP x+= （5）二阶非齐次型 2 120 “e ( )cos( )sin 0, x mn ypyqyP xxP xx pqy +=+ += 12 12 , *e( )cos( )sin , *e( )cos( )sin x mn x mn iyxQxxQ xx iyQxxQ xx +=+ +=+ 或 和 （Qm(x)、Qn(x)是与 Pm(x)、Pn(x)同阶的多项式） 把 y*代回原方程解出 Qm(x)和 Qn(x)， 则 y = y0 + y* （6）欧拉方程 ( )1(1) 110 ( ) nnnn n x yaxya xya yf x += 令etx =，则 ( ) 2 ddd 1(1) ddd dd “1 dd d d nn x yny ttt x yy tt xyy t = = = （7）伯努利方程 d ( )( ) d n y P x yQ x y x += 令 1 n zy =，代入得 d (1) ( )(1) ( ) d z n P x zn Q x x += 化为一阶非线性方程 16. 等比数列（级数）等比数列（级数） 1 1 1 1 n n q aq q q = = = = = ） 闭合曲面积分（高斯公式） d dd dd dd V PQR P y zQ x zR x yV xyz +=+ （闭合曲面向外） 30. 方向导数方向导数 000 0 coscoscos MMM M ffff lxyz =+ 31. 通量通量 d , cos,cos,cos d cosdcosdcos d d dd dd d P Q RS PSQSRS P y zQ x zR x y = =+ =+ AS 32. 环量环量 d , cos,cos,cos d cosdcosdcos d ddd LL L L P Q Rl PlQlRl P xQ yR z = =+ =+ Al 33. 基本公式基本公式 （1）|A*| = |A| n 1 （2）AA* = A*A = |A|E （3） * 1 = A A A 34. 三种初等矩阵三种初等矩阵 （1）行（列）对调 ( , )i j =E 1 01( ) 1 1 10( ) 1 i j ( , )1i j= E 1( , ) ( , )i ji j =EE （2）行（列）倍增 ( ) i c =E 1 ( ) 1 ci ( ) i cc=E 1 1 ( )( ) ii c c =EE （3）行（列）相加 ( ) ij k =E 1 1( ) 1 1 ( ) ki j 左乘 (j)行乘 k 加到(i)行 左乘 (i)列乘 k 加到(j)列 ( )1 ij k=E 1( ) () ijij kk =EE 35. 秩 秩 （1）()( )( )rrr+ABAB （2） ()( ) ()min ( ), ( ) ()( ) rr rrr rr ABA ABAB ABB （3） 如果 P、 Q 可逆，( )()()()rrrr=APAAQPAQ （4）对于 Amn、Bns，且 AB = 0，则( )( )rrn+AB （5）( )( )rrr =+ A AB B 6 / 11 考研数学一公式 朱泽斌 整理 （6）( )( )rrr + A AB B （7） T ( )1,r=A A 充要 ，使0 （8） * () 1()1 0()1 nrn rn rn = = AA正定 47. 矩阵相似、合同、等价的关系矩阵相似、合同、等价的关系 都可对角化 矩阵相似 相同 都实对称 矩阵合同 的正负个数一样 同型 矩阵等价 秩相同 相似 合同 等价 48. 分布分布 （1）离散型分布 二项分布 X B(n, p) (1) kkn k n P XkC pp = k = 0, 1, 2, EXnp= (1)DXnpp= 几何分布 X G(p) 1 (1)kP Xkpp = k = 1, 2, 3, 1 EX p = 2 1p DX p = 泊松分布 X ()或 X P() e ! k P Xk k = k = 0, 1, 2, EX= DX= （2）连续型分布 均匀分 布 X U(a, b) 1 ( ) 0 axb f xba 0，且 A、B 独立， 则 AB （5）若 P(A) 0，P(B) 0，且 AB = ， 则 A、B 不独立 （6）二维随机变量的独立性 ( , )( )( ) ( , )( )( ) ijij XY XY ppp F x yFx Fy f x yfx fy = = = 54. 互斥互斥 ()( )( )P ABP AP B+=+ 55. 正态分布正态分布 （1） 2 ( ,)(0,1) X XNN （2） 22 1212 22 1122 (, ) (, ) (,),(,) X YN XNYN （3） 2 22 111 (,) (,) iii nnn iiiiii iii XN ZC XNCC = = 56. 方差 方差 （1） 2 22 var() () DXXE XEX EXEX = = （2） 2 DXE XC 0) （4）XY = 1，则 X、Y 负相关，此时 PY = aX + b = 1，(a 0) （5）X、Y 独立 X、Y 不相关 （6）当(X, Y) N(1, 2, 12, 22, ) 时， X、Y 独立 X、Y 不相关 = 0 9 / 11 考研数学一公式 朱泽斌 整理 59. 数学期望、方差数学期望、方差、协方差、协方差公式公式 （1）E(CX) = CEX （2）E(X + Y) = EX + EX （3） （独立）E(XY) = EXEY （4）D(X + C) = DX （5）D(aX + bY) = a2DX + b2DY + 2abcov(X, Y) （6） （独立）D(X + Y) = DX + DY （7）cov(aX, bY) = abcov(X, Y) （8）cov(X1 + X2, Y) = cov(X1, Y) + cov(X2, Y) 60. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 2 DX P XEX 2 1 DX P XEX 61. 切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律 X1, X2, , Xn独立（不一定同分布） 存在方差，方差有界 11 11 nn ii ii P XEX nn = 或 1 1 n i i P XEX n = 62. 独立同分布的大数定律（辛钦大数定律）独立同分布的大数定律（辛钦大数定律） X1, X2, , Xn独立同分布 存在数学期望 EXi = 1 1 n i i P X n = 或 P X 63. Levy-Lindberg 中心极限定理中心极限定理 X1, X2, , Xn独立同分布（分布函数不确定） 存在数学期望 EXi = ，方差 DXi = 2 2 1 (,) n i i XN nn = 近似 或 1 lim(0,1) n i i n Xn N n = 64. Laplace 中心极限定理中心极限定理 Xn B(n, p) (,(1) n XB np npp 近似 或 lim(0,1) (1) n n Xnp B npp 65. 三个统计量三个统计量 （1）样本平均值 1 1 n i i XX n = = （2）样本方差 22 1 1 () 1 n i i SXX n = = （3）样本 k 阶原点矩 1 1 n k ki i AX n = = 66. 公式 公式 （1） 22 ES= （2）X与 S2独立 （3）若 X N(, 2)，取样本 X1, X2, , Xn 2 ( ,)XN n 或(0,1) / X N n （4）若 X N(, 2)，取样本 X1, X2, , Xn (1) / X t n Sn （5）若 X N(, 2)，取样本 X1, X2, , Xn 22 2 1 1 () ( ) n i i Xn = （6）若 X N(, 2)，取样本 X1, X2, , Xn 22 2 1 1 () (1) n i i XXn = 或 2 2 2 (1) (1) nS n 67. 参数估计参数估计点估计点估计