概率论习题选讲.doc

概率统计习题 习题一一填空题（1）设为三事件，试用的运算表示下列事件：中不多于两个发生：中至少有两个发生：或（2）设为二事件，试用的运算非别表示下列事件及其对立事件：都发生：其对立事件为（2）设为二事件，则注（4）设10件产品中有4件不合格，从中任取两件，已知两件中有两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格的概率为。注：两件均不合格，：一件合格，两件中有一件是不合格品即；两件中有一件是不合格品，另一件也是不合格即，故（5）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数，写出该试验的样本空间。10，11，（6）假设，若与互不相容，则，若与相互独立，则2甲乙丙三人各射一次靶，记“甲中靶”；“乙中靶”；“丙中靶”则用上述三事件的运算非别表示下列事件（1） 甲未中靶：；（2） 甲中靶而乙未中靶（3） 三人中只有丙未中靶：（4） 三人中恰好一人中靶：（5） 三人中至少一人中靶（6） 三人中至少一人未中靶（7） 三人中恰好两人中靶：（8） 三人中至少两人中靶（9） 三人中均未中靶：（10） 三人中至多一人中靶（11） 三人中至多两人中靶3 20个运动队，任意分成甲乙两组（每组10队）进行比赛，已知其中有两个队是一级队，求这两个一级队：（1） 被分在不同组的概率，；（2）被分在同一组的概率。 或：因故4 从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率。 5 在长度为得线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。 且，又6 在区间内任取两个数，求这两个数的积小于的概率。7 电路由电池组与两个并联的电池组串联而成，设电池组损坏的概率分别为，求电路发生断电的概率是多少？（为相互独立工作的电池组） 设分别表示电池组损坏，电路发生断电可表示为，故7 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为，活到25年以上的概率为，问现在25岁的这种动物，它能活到25年以上的概率为多少？ 8 某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为，40年内发生特大洪水的概率为，求已过去了30年发生特大洪水的地区在未来10年内发生特大洪水的概。 发生特大洪水的时刻。10 发报台分别以概率0.6，0.4发出信号“.”与“_”,由于通讯系统受到干扰,当发出信号“.”收 报台收报台未必收到信号“.”,而是分别以概率0.8与0.2收到信号“.”与“_”, 当发出信号“_”时 ,收报台分别以概率0.9与0.1收到信号“_”与“.”,求收报台收到信号“.”, 发报台确实发出信号“.”的概率,以及收到信号“_”, 发报台确实发出信号“_”的概率.发出信号“.” 发出信号“_” 收到信号“.”; 收到信号“_”由题设:于是:由贝叶斯公式有:又由:于是:由贝叶斯公式有:11 设袋中有个黑球，个白球，现随机地从中取出一球，分别就（1）抽取后放回，（2）抽取后不放回，求出第次取出的一个球是黑球的概率。（1）（2）12 甲乙丙车间生产同一种螺钉，每个车间产量分别占产量的25，35，40，若每个车间成品中的次品率分别占产量的5，4，2，（1） 全部产品中任意抽出一螺钉，试问它是次品的概率是多少？（2） 全部产品中任意抽出恰好是次品 ，试问这个次品是甲车间生产的概率是多少（1）分别为任意抽出一螺钉是由甲、乙、丙车间生产的。抽出的一个是次品（3） 由贝叶斯公式有:13 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，求直到第次才取出次红球的概率。 14 灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，求3个使用1000小时后，最多只有一只坏了的概率。 记P=P灯泡使用在1000小时以上完好 X: 3个使用1000小时后坏了的只数。则X15 某人有两盒火柴，每盒中各有根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他发现一盒已经用完时，试求另一盒还有根的概率。 注：可看作重贝努力试验，每次试验中取了第一盒（即用完的那一盒）中一根火柴的概率为，取了第二盒中一根火柴的概率也为，设所求事件为，则相当于“第一盒（即用完的那一盒）中取了根火柴，第二盒（即用完的那一盒）中取了根火柴，”的事件，故习题二1 填空题（1）设随机变量X的分布律为）则（2）设随机变量X的分布律为）则（3）一均匀骰子在重复掷10次后，X表示点3出现的次数，则X服从：参数为的二项分布，分布律为）（4）设随机变量X的概率密度为，Y表示对X的三次重复观察中事件出现的次数，则（5）已知X,则2 报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元，报馆每天给报童1000份报，并规定不得把卖不出的报纸退回，设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示。 报童赔钱=0.15X100 3 设在15只同类型的零件中有两只次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。4 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为，失败的概率为，（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律。（2）将试验进行到出现次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。（1）第X次成功，前X-1次全失败。（2）第Y次成功，前Y-1次成功r-1次。5 设随机变量X的分布函数，试求（1）6 有一繁忙汽车站，每天有大量汽车通过，设每两汽车在一天的某时段内出事故的概率为0.0001，在某天该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？（利用泊松定理计算）7 在t时间间隔内收到紧急呼救的次数X服从参数为的泊松分布，（1）中午12点至下午3时没有收到紧急呼救的概率。（1）中午12点至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。（1）参数为在3小时内收到k次呼救的概率为：（1）参数为 8 一台仪器在10000工作时内平均发生10次故障，试求在100作时内故障不多于两次的概率。，（每个工作时内发生故障的概率）X：100作时内发生故障的次数，9 设X现对X进行3次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率。 Y表示对X进行3次独立观察，观察值大于3的次数，则Y，10 设随机变量X求：（1）常数c,(2)X的分布函数，（3）X落在区间的概率。（1） 因（2） 当时 当时，当X时：（3）11 服务时间X服从指数分布，其概率密度为，某顾客等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开的次数，求Y的分布律，并求.等待1次离开的概率为：Y12 X（1）求（2）求使得（1）由得，又13 寿命X服从的正态分布，若要求，最大为多少？ 故最大为31.25。14 随机变量X的分布律为： X-2-1013求的分布律。Y的所有可能取值为0，1，4，9，有概率的可加性，有：41019 X-2-1013得的分布律为014915 设X的概率密度，（2）求的概率密度， 故的概率密度(2)因，则，当时，习题三1.离散随机变量相互独立同分布，求的概率. . 即使两个离散随机变量相互独立同分布, 一般不会以概率1相等.（2）设二维随机变量的概率密度，则（3）和是相互独立同分布的随机变量，且求的概率分布., （2）由已知易得 2.在一只箱子中有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样，我们定义随机变量, 如下： 试分别就（1）、（2）两种情况，写出和的联合分布律并问随机变量和是否相互独立？ （1）放回时，（2）不放回抽样， 放回抽样时，两次抽样相互独立；不放回抽样，不相互独立3 设随机变量的联合密度试求（1）常数；（2）（1）因4.随机变量在矩形域上服从均匀分布，求二维联合概率密度及边缘概率密度.随机变量及是否独立？解 按题意具有联合概率密度, ,及是独立的.事实上,若服从区域上的均匀分布，则只有当为矩形区域：时，与分别服从上的均匀分布，且与独立，反之亦然.5 一仪器由二个部件构成，以和分别表示二个部件的寿命（单位：千小时），已知和的联合分布函数（1）与是否独立？（2）两个部件的寿命都超过100小时的概率（1）和的分布函数分别为由于，故独立。6 （1）求第二题中和的边缘分布，（2）与是否独立？（1）由知，放回与不放回的情形都是：X01 Y01放回，与独立；不放回，与不独立；7 随机变量的分布函数为=.求：（1）的概率密度；（2）边缘概率密度.（3）随机变量及是否独立？解 由分布函数的性质有=0=1从而对任意的；有，于是，有， 独立。8 设二维随机变量的概率密度函数为= 求边缘概率密度.解 对任意， 当或时,对任意，可知边缘概率密度为：9.某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为，设各周的需要量是相互独立的，试求两周需要量的概率密度. 表第周的需求量，各相互独立。设两周的需求量为，则要而故故10.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从分布，随机的选取4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率. 设为选取的第只电子管的寿命，则令则，而 因此11.设随机变量相互独立同分布，都在区间1,3上服从均匀分布，记事件.且求常数习 题 四1填空：（1）设随机变量服从参数为的泊松分布，且求（2）设随机变量独立同分布，期望为，方差，令，则（3）设随机变量独立，在0.6上服从均匀分布，服从，服从参数为的泊松分布，记，则2 产品次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机的抽取10件产品进行检验，若发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，求E(X),(设各产品是否次品是相互独立的)设：Y: 取10件进行检验的次品数,则而故5一工厂生产的某种设备的寿命(以年计)服从指数分布，概率密度为工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备获毛利100元，调换一台设备厂方需化费300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望. 售出设备一年内调换，表示调换费用。则：=（元）6设的分布律如下表: 123-10.20.10.00.300.10.00.30.410.10.10.10.30.40.20.41（1）求，（2）设，求（3）设求（1）的边缘分布见上表，故：（2）（3）7随机变量服从几何分布，其分布律为其中是常数.求 = = = 其中“”表示对的形式导数.， 11 设随机变量服从指数分布：其中求.解 12设随机变量服从瑞利分布，其概率密度为其中是常数.求 ，13设独立同分布随机变量，期望为，方差，令，（1）验证（2）验证（3）验证（1）=（3） 习题五3对敌人的防御阵地进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量,其数学期望是2,方差是1.69,求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率.第次轰炸命中目标的次数为,则独立同分布,且,命中的总次数,(近似),4设保险公司的老年人寿保险一年有万人参加，每人每年交元，若老人死亡，公司付给家属元，设老人年死亡率为，试求保险公司在这次保险中亏本的概率 设老人死亡数为，公司亏本当且仅当即，于是，亏本的概率：5某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望(未知），方差.为了估计，随机地取只这种器件，在时刻投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿命为作为的估计.为了使问至少为多少？