正弦定理和余弦定理的应用.doc

第二节应用举例题型一 测量距离问题ABC【母题 】如图所示，设、两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离是m,.求、两点间的距离（精确到m）.分析 所求的边的对角是已知的，又已知三角形的一边，根据三角形内角和定理可计算出的对角，根据正弦定理，可以计算出边.解答 根据正弦定理，得(m)点拨 本题是测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决。解题锦囊 本题型的解题关键在于明确：（1）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决。（2）测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题。衍生题衍生1 如图所示，客轮以速度由至再到匀速航行，货轮从的中点出发，以速度沿直线匀速航行，将货物送达客轮，已知，且海里。若两船同时启航出发，则两船相遇之处距点 海里。（结果精确到小数点后1位）ABCDABCDE解析 两船相遇点在上，可设为，设，则故 得 ，答案 点拨 本题考查了测量距离问题。衍生2如图所示，两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间距离的方法。ABCDAAA分析 可以先计算出河的这一岸的一点到对岸两点的距离，再测出的大小，借助余弦定理可以计算出两点间距离。解答 法一：测量者可以在河岸边选定两点、，测得并且在、两点分别测得在和中，应用正弦定理得计算出和后，再在中，应用余弦定理计算出两点间的距离。 法二：本题也可以在河的这一岸选定、，测出取 中点,因此要求,构造,需要求出、及所以要测出再分别在、中用余弦定理就可求出、求解过程如下：在中，在中，在中， 点拨 求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题法一选择的是和.衍生3 如图，隔河看两目标、，但不能到达，在岸边选取相距千米的两点，并测得ABBCD (、在同一平面内)求两目标、之间的距离。分析 要求出、之间的距离,可在(或中去找关系,但不管在哪个三角形中,、这些量都是未知的,需要在三角形中找出合适的关系,求出它们的值,剩下的只需解三角形了。解答 在中，在中，由正弦定理，可得 由余弦定理，可得（千米），即两目标、之间的距离为千米。点拨 若首先解求出,再求,最后解,则其计算量就比上述解法要大，因此当问题有多种解决途径时，我们应该用价值的观念来审视每种解法，从而探索到最优解法。在中，若已知两角及任一边，一般用正弦定理求解，但要注意实际问题是否为一些特殊三角形，如正三角形、直角三角形、等腰三角形等.题型二 测量高度问题【母题 】如果要测量某铁塔的高度，但不能到达铁塔的底部，在只能使用简单的测量工具的前提下，你能设计出哪些测量方法？并提供每种方法的计算公式。分析 要测量铁塔的高度，只能在铁塔底部所在的平面上选取两点，量出两点间的距离，再测量有关角，从而构造三角形求解。解答 测量方法1、如右图所示，BAOAAP在地面上引一条基线,这条基线和塔底在同一水平面上，且不过点，测出的长，及对塔顶的仰角，则可求出铁塔的高。在中， 在中，在中，由余弦定理得，测量方法2、AOBP在地面上引一条基线,这条基线和塔底在同一水平面上，并使三点在一条直线上，测出的长和对塔顶的仰角，则可求出铁塔的高。计算方法如下：如右图所示， 在中，由正弦定理得，在中，测量方法3、APOBAPOB在地面上引一条基线,这条基线和塔底在同一水平面上，且延长后不过塔底，测出的长，用经纬仪测出角和对塔顶的仰角的大小，则可求出铁塔的高。计算方法如下：如右图所示，在中，由正弦定理得 在中，点拨 本题是个开放性的题目，灵活构造三角形解题是一大特点。解题锦囊 本题型的解题思路：（1）测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题。（2）对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可。衍生题衍生1 如图，是水平面上的两个点，相距800m,在点测得山顶的仰角为 ，,又在点测得，其中是点在水平面上的垂足，则山高 为 .（精确到1m）ABCD2501100400解析 在中，,由正弦定理，得（m）在中,(m)山高约为480（m）.答案 480点拨 测量高度问题常利用解一个直角三角形和一个斜三角形来解决，解斜三角形一般用正弦定理。衍生2 某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，求塔高。ABFDCE分析 依题意画图，某人在处，为塔高，他沿前进，米，此时，从到沿途测塔的仰角，只有到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为，为定值，最小时，仰角最大。要求出塔高必须先求，而要求BE须先求或（）.解答 在中，由正弦定理，得在中，在中， （米）.故所求的塔高为米.点拨 在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念。仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角。当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角。衍生3 在某一山顶观测山下两村庄、，测得的俯角为，的俯角为，观测、两村庄的视角为，已知、在同一海平面上且相距1000米，求山的高度.(精确到1米)分析 画出立体图形的直观图，由余弦定理列出方程，解方程可求得山高.解答 设山顶为，山高 ，由题意，得 ABCD在中， ，在中， 在中，由余弦定理知故山高约为643米.点拨 把问题抽象概括为在空间解三角形问题，画出直观图是解题的关键，设出未知量可把已知量转移到同一个三角形中，由正、余弦定理列出方程可解决问题.ABCDE2衍生4 如图，在某点处测得建筑物的顶端的仰角为，沿方向前进m，至点处测得顶端的仰角为，再继续前进m至点，测得顶端的仰角为，求的大小和建筑物的高。分析 本题可以从不同角度去分析，如正弦定理、方程思想、二倍角公式等，将会得到不同的解题方法，从而使思维更开阔，也能从中最佳的解题方法，本题用正弦定理解决更简单适用。解答 解法一：（用正弦定理求解）：由已知可得在和中，m, m,得在中（m）.答： 所求角为建筑物高度为m.解法二：（设方程来求解）：设在中，在中，解得在中，答： 所求角为建筑物高度为m.解法三：（用倍角公式求解）：设建筑物高为由题意，得m,m.在中， 在中， ，得 (m).答： 所求角为建筑物高度为m.点拨 这是一道测量高度的问题，在实际生活中是常见问题，平时注意观察和思考解决办法，知识才能累积起来。题型三 测量角度问题【母题 】一艘海轮从出发，沿北偏东的方向航行n mile后到达海岛，然后从出发，沿北偏东的方向航行n mile后到达海岛，如果下次航行直接从出发到达，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少？（角度精确到，距离精确到nmile）分析 根据题意画出图形，选准三角形，利用正、余弦定理求解。东G西北南AB解答 在中，根据余弦定理，根据正弦定理，所以,.答 ：此船应该沿的方向航行，需要航行的距离是n mile.点拨 本题易出现由,得或的错误结果。忽视了本题的实际意义。解题锦囊 解决测量角度问题的关键：首先应明确方位角的含义，然后分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题时也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点。衍生题衍生1 如图，平面内三个力，作用于同一个点且处于平衡状态，已知的大小分别为,， 与的夹角为，求的大小及与的夹角。分析 根据物理知识并结合向量加法的三角形法则及解三角形的知识求解。CAOBDF解答 设三个力作用于点,与 的合力为 ，由共点力平衡，得 ,令在， 即又由正弦定理，得的大小为 与的夹角为点拨 用正弦定理、余弦定理及向量等知识可以解决物理中的矢量合成与分解等问题，这说明数学是物理及其他自然科学的辅助工具，在学习过程中，要加强学科间的联系，学以致用。衍生2 一海轮以海里每时的速度向正东航行，它在点测得灯塔在船北偏东，小时后到达地， 测得灯塔在船的北偏东，求（1）船在点时与灯塔的距离；(2)已知以点为圆心，海里为半径的圆形水域内有暗礁，那么这船继续向正东航行有无触礁的危险？ABDP分析 根据题意，作出相应图形，问题归结为已知两角和一角对边的问题，故可考虑正弦定理求解。解答（1）如图，在中，依题意，,.（海里）由正弦定理得，解得（2）过作，为垂足，在中，故船在点时与灯塔相距海里，继续向正东航行有触礁的危险。点拨 测量角度问题的情境属于“根据需要，对某些物体定位”，测量数据越准确，定位精度越高.尽可能利用直角三角形.衍生3 外国船只除特许者外，不得进入离我海岸线海里以内的区域，设和是我们的两个观测站，与之间的距离为海里，海岸线是经过、的直线。一外国船只在点处，测得，问：满足什么简单的三角函数不等式时，就应当向未经过特许的外国船只发出警告？分析 本题实质是找出满足的三角函数式表示，再由题意列出与的不等式即可。ABDP解答 法一 如图所示，作，垂足为，在中，,.由正弦定理得由面积关系得 ,由,知当满足时，就应向此未经特许的外国船只发出警告。法二 在中，在中，.故当，即时，就应发出警告.点拨 本题最后得到的结果是一个不等关系，但在得到这一不等式的过程中，首先要考虑如何建立以为自变量，以为因变量的函数关系式.题型四 探求三角形的面积 【母题 】一在中，已知，求的面积。分析 在解三角形时，有些较复杂的问题常常需要将三角形的有关知识与正弦定理、余弦定理结合使用，本题中根据条件利用两定理求出边和角。解答 方法一： 设三边、的长分别为、，由得,.又.由正弦定理得,又由,所求三角形的面积为.方法二 : 同方法一可得.又由余弦定理,得,得由已知得,.由得,而（舍去），故.故所求面积.点拨 本题主要考察正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的基础知识，同时考察三角公式恒等变形的技能和运算能力。解题锦囊 求三角形面积是解三角形过程中的一种常见的重要题型， 本题型常用的解题方法主要有：（1）；（2）另外还有用向量表示的公式：|，其中向量（，），（，）分别是三角形两边所表示向量的坐标。由于三角形的面积公式有多种形式，在解题的过程中应根据题目所给条件选择恰当的面积公式，这要求对每一个公式的使用条件非常熟悉，并会变形应用公式。衍生题衍生1 已知三角形的三个顶点为、，求的面积.分析 的三个顶点的坐标已知，用向量面积公式解此题较简捷。解答 、，由|，可得.点拨 简洁明了是新教材引入向量之后由繁变简的一个典范，在学习过程中应注意应用。衍生2 已知圆内接四边形的边长分别是，求四边形的面积.分析 先将所求面积转化为用某个角的三角函数表示，再利用对角互补及余弦定理求出该角即可.解答 如图，连结，则四边形的面积ABCD2464,.在中,由余弦定理得,在中, 由余弦定理得,.又,.点拨 在有公共边的两个三角形中分别应用余弦定理，也是解三角形常用到的方法，同时要注意“圆内接四边形对角互补”这一条件.衍生3 在中，角、对边的边长分别是、，已知.(1)若的面积等于，求,;（2）若，求的面积.分析 由三角形面积公式和余弦定理得关于、的方程组求解（1）；将变形，左边可变为，再展开整理，右边用二倍角 公式来求解（2）.解答 （1）由余弦定理，得又的面积等于，,得.联立方程组 ，解得（2）,由已知得即当时，. 当时，得，由正弦定理得，联立方程组，解得的面积点拨 本题（1）主要用了边关系待定系数法；（2）用到了角关系的待定系数和边关系待定系数法，注意两个小题条件独立，解（2）时不能用（1）的结论。衍生4 已知、是中的对边，是的面积.若，则= 解析 法一 而,于是或又当时，当时，故的长度为或法二 或或答案 或点拨 可利用及，其中两种面积公式求解.衍生5 在中，角、的对边分别为、，的外接圆半径，且满足.(1) 求角和边的大小；（2）求的面积的最大值.分析 根据三角函数式即可求（1），利用面积公式和基本不等式求（2）解答（1）有已知，整理得,即 ,.又,.,. （2）由余弦定理，得,即 ，（当且仅当时取等号），即 （当且仅当时取等号）.的面积的最大值为.点拨 在求面积最值时利用了基本不等式，注意基本不等式的使用条件。题型五 正、余弦定理的实际应用【母题 】某观测站在城的南偏西的方向，由城出发的一条公路，走向是南偏东，在处测得公路上处有一人，距为千米，正沿公路向城走去，走了千米后到达处，此时间的距离为千米，问：这人还要走多少千米才能到达城？分析 本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多少路可到达城，也就是要求的长.在中,已知千米,只需再求出一个量即可.解答 如图，令在中,ABCD北东213120A由余弦定理得,.而,在中 , ,（千米 ）.这个人再走千米就可到达城.点拨 正确画出图形，综合运用正弦定理与余弦定理解题.解题锦囊 本题型的一般解题思路：（1）读懂题意，理解问题的实际背景，并根据题意正确画出示意图；（2）明确已知和所求，理清量与量之间的关系，将实际问题抽象成数学模型；（3）选择正、余弦定理求数学模型的解；（4）将数学模型的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求.衍生题衍生1 台风中心从地以每小时km的速度向东北方向移动，离台风中心km内的地区为危险区，城市在正东km处，求城市从进入危险区到脱离危险区持续的时间.分析 分别求出进入、脱离危险区的时间，相减后即得所求，也可求出台风中心距离城市小于或等于千米的路径的长度，再除以台风中心移动速度.解答 方法一 设h后，台风中心距离城市km，则,即，解得或，即台风影响城市的持续时间为h.方法二 如图所示，过作于 则,又,.故台风影响城市的持续时间为h.点拨 解决本题的关键是抓住“离台风中心km内的地区为危险区”这一条件.衍生2 如图，某住宅小区的平面呈扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，小区里有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为.已知某人从沿走