2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1.1.2指数与指数幂的运算学案（含解析）新人教版.docx

2.1.1指数与指数幂的运算(第二课时)学习目标理解分数指数幂的概念;掌握分数指数幂和根式之间的互化;掌握分数指数幂的运算性质;培养学生观察分析和抽象的能力,以及渗透“转化”的数学思想.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?问题2:考古学家根据上式可以知道,当生物体死亡了6000年,10000年,100000年后,它体内碳14的含量P分别为(12)60005730,(12)100005730,(12)1000005730.那么这些数(12)60005730,(12)100005730,(12)1000005730的意义究竟是什么呢?它和我们初中所学的指数有什么区别?二、自主探索,尝试解决问题3:观察以下式子,你能总结出什么规律?(a0)5a10=3(a2)5=a2=a105;a8=(a4)2=a4=a82;4a12=4(a3)4=a3=a124;a10=(a5)2=a5=a102.问题4:利用问题3中的规律,你能表示下列式子吗?453,375,5a7,nxm(x0,m,nN*,且n1).问题5:你能用方根的意义来解释问题4中的式子吗?问题6:你能把问题3,4中得到的结论推广到一般的情形吗?规定:正数的正分数指数幂的意义是amn=nam(a0,m,nN*,且n1).三、信息交流,揭示规律问题7:负整数指数幂的意义是怎样规定的?问题8:你能得出负分数指数幂的意义吗?规定:正数的负分数指数幂的意义是a-mn=1amn=1nam(a0,m,nN*,且n1).问题9:你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义呢?问题10:综合上述问题7,8,9,如何规定分数指数幂的意义?分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是amn=nam(a0,m,nN*,且n1),正数的负分数指数幂的意义是a-mn=1amn=1nam(a0,m,nN*,且n1),零的正分数指数幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.问题11:分数指数幂的意义中,为什么规定a0,去掉这个规定会产生什么样的后果?问题12:既然指数的概念已从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,(1)aras=(a0,r,sR);(2)(ar)s=(a0,r,sR);(3)(ab)r=(a0,b0,rR).问题13:若a0,是一个无理数,则a该如何理解?实数指数幂有意义,且有相同的运算性质,即:aras=ar+s(a0,r,sR);(ar)s=ars(a0,r,sR);(ab)r=arbr(a0,b0,rR).四、运用规律,解决问题【例1】(课本P51,例2)求值:823;25-12;(12)-5;(1681)-34.【例2】用分数指数幂的形式表示下列各式.a3a;a23a2;a3a(a0).【例3】计算下列各式(式中字母都是正数):(1)(2a23b12)(-6a12b13)(-3a16b56);(2)(m14n-38)8.【例4】计算下列各式:(1)(325-125)425;(2)a2a3a2(a0).五、变式演练,深化提高1.计算:(1)(235)0+2-2(214)-12-(0.01)0.5;(2)(0.0001)-14+(27)23-(4964)-12+(19)-1.5;(3)481923;(4)2331.5612.2.化简下列各式:(1)3a72a-33a-83a153a-3a-1;(2)a43-8a13b4b23+23ab+a23(1-23ba)3a;(3)(a-32b2)-1(ab-3)12(b12)713;(4)1+a-121+a-a+a-12a-1;(5)(a3b2)-3b-4a-1.六、反思小结,观点提炼(先让学生独自回忆,然后师生共同总结.)1.2.3.七、作业精选,巩固提高课本P59习题2.1A组第2,3,4题.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:P=(12)5730.问题2:初中所学的指数是整数,而这里的指数是分数形式.二、自主探索,尝试解决问题3:5a10=a105,a8=a82,4a12=a124,a10=a102的结果中a的指数2,4,3,5分别写成了105,82,124,102,形式上变了,本质没变.根据4个式子的最后结果可以总结:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式).问题4:453=534,375=753,5a7=a75,nxm=xmn.问题5:53的4次方根是534,75的立方根是753,a7的5次方根是a75,xm的n次方根是xmn.结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.三、信息交流,揭示规律问题7:负整数指数幂的意义是a-n=1an(a0),nN*.问题9:零的分数指数幂的意义是零的正分数指数幂等于零,零的负分数指数幂没有意义,例如0-2=102=10.问题11:若没有a0这个条件会怎样呢?如(-1)13=3-1=-1,(-1)26=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零.问题12:ar+sarsarbr四、运用规律,解决问题【例1】解:823=(23)23=2323=22=4;25-12=(52)-12=52(-12)=5-1=15;(12)-5=(2-1)-5=25=32;(1681)-34=(23)4(-34)=(23)-3=278.【例2】解:a3a=a3a12=a3+12=a72;a23a2=a2a23=a2+23=a83;a3a=(aa13)12=(a43)12=a23.【例3】解:(1)(2a23b12)(-6a12b13)(-3a16b56)=2(-6)(-3)a23+12-16b12+13-56=4ab0=4a;(2)(m14n-38)8=(m14)8(n-38)8=m2n-3=m2n3.【例4】解:(1)(325-125)425=(523-532)512=523-12-532-12=516-5=65-5;(2)a2a3a2=a2a12a23=a2-12-23=a56=6a5.五、变式演练