云南省2019届高三数学第一次高中毕业生复习统一检测试题文（含解析）.docx

云南省2019届高三数学第一次高中毕业生复习统一检测试题 文（含解析）一、选择题：本大共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则的真子集共有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【分析】先求得两个集合的交集，然后计算出真子集的个数.【详解】依题意，其真子集为，只有一个真子集，故选B.【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算，考查真子集的个数，属于基础题.2.已知为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算，对题目所给表达式进行化简.【详解】依题意，原式，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.3.某学校为了了解高一年级、高二年级、高三年级这三个年级的学生对学校有关课外活动内容与时间安排的意见，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A. 抽签法B. 随机数法C. 分层抽样法D. 系统抽样法【答案】C【解析】【分析】根据抽样方法适用的情形，结合题意，选出正确选项.【详解】由于研究对象是三个年级学生的意见，故应按分层抽样法来抽取，故选C.【点睛】本小题主要考查抽样方法的选择，考查分层抽样的适用情况，属于基础题.4.已知点，若向量，则向量（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得，然后利用向量的减法运算求得.【详解】依题意，故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量的减法运算，考查平面向量的坐标运算，属于基础题.5.执行如图所示的程序框图，则输出的值等于（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】运行程序，计算的值，当时退出循环，求得输出的值.【详解】运行程序，判断否，判断否，判断否，以此类推，判断是，输出.故选C.【点睛】本小题主要考查计算循环结构程序框图输出的结果，属于基础题.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1（单位mm），粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：）为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三视图得到几何体是由一个圆柱和一个长方体构成，由此计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是由一个圆柱和一个长方体构成，故体积为，故选A.【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查圆柱和长方体体积的计算，属于基础题.7.为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A. 向左平行移动个单位B. 向右平行移动个单位C. 向左平行移动个单位D. 向右平行移动个单位【答案】D【解析】【分析】利用计算出项右平移的单位.【详解】依题意向右平移个单位，得到的图像.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，主要是平移变换，属于基础题.8.已知，都为锐角，若，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用求得，由此求得的表达式，利用诱导公式化简，并利用齐次方程计算出的值.【详解】由于，所以，所以 .故选B.【点睛】本小题主要考查余弦函数的零点，考查诱导公式、二倍角公式以及齐次方程，属于中档题.9.已知是抛物线：上的任意一点，以为圆心的圆与直线相切且经过点，设斜率为1的直线与抛物线交于，两点，则线段的中点的纵坐标为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的定义求得抛物线的方程，设出斜率为的直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，消去，然后利用韦达定理求得中点的纵坐标.【详解】由于为圆心的圆与直线相切且经过点，根据抛物线的定义可知为抛物线的焦点，故，所以抛物线方程为.设斜率为的直线的方程为，则，代入抛物线方程得，即，所以，.即中点的纵坐标为，故选A.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.10.已知函数，若，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过分析后将代入函数第二段表达式，解方程求得的值，进而求得的值.【详解】由于，而，故，所以.故.故选B.【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查指数函数的值域，考查对数运算，属于基础题.11.双曲线的焦点是，若双曲线上存在点，使是有一个内角为的等腰三角形，则的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据是有一个内角为的等腰三角形，求得点的坐标，代入双曲线方程，化简后求得离心率.【详解】不妨设在第一象限，由于是有一个内角为的等腰三角形，故，代入双曲线方程得，化简得，解得，故.所以选C.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查等腰三角形的知识，属于基础题.12.已知是自然对数的底数，不等于1的两正数，满足，若，则的最小值为（ ）A. -1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对数的运算公式，化简，求得的值，由此求得的关系式，化简，并利用导数求得最小值.【详解】依题意 ，即，由于，故上式解得，即.所以.构造函数（为不等于的正数）.，故函数在上递减，在上递增，所以最小值为.故选D.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用导数求表达式的最小值的方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题。13.设向量，若则_【答案】【解析】【分析】根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】由于，故，解得.【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，考查运算求解能，属于基础题.14.若，满足约束条件，则目标函数的最大值等于_【答案】2【解析】【分析】画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.15.已知中内角对的边分别为，平分交于点，则面积的最小值为_【答案】【解析】【分析】利用列方程，求得的关系式，然后利用基本不等式求得的最小值，进而求得面积的最小值.【详解】由于，故，化简得，故，故三角形面积.【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查基本不等式的运用，属于中档题.16.已知，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，,平面平面，则球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】设的中点为，证明是球的球心，由此求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】设中点为，设中点为，作出图像如下图所示，由于，,平面平面,所以,平面，故.由于，所以，.所以，故点到的距离相等，所以为球心，且球的半径为，故表面积为.【点睛】本小题主要考查几何体外接球球心的位置的求法，考查球的表面积公式，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.数列中，.（1）求，的值；（2）已知数列的通项公式是，中的一个，设数列的前项和为，的前项和为，若，求的取值范围【答案】（1），（2），且是正整数【解析】【分析】（1）根据已知条件，分别令和，求得的值.（2）根据判断出数列的通项公式为，利用裂项求和法求得的值，利用累加法求得的值，根据列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】（1），（2）由数列的通项公式是，中的一个，和得数列的通项公式是由可得，即由，得，解得或是正整数，所求的取值范围为，且是正整数【点睛】本小题主要考查递推数列求通项公式，考查裂项求和法，考查累加法，属于中档题.18.为降低汽车尾气排放量，某工厂设计制造了、两种不同型号的节排器，规定性能质量评分在的为优质品现从该厂生产的、两种型号的节排器中，分别随机抽取500件产品进行性能质量评分，并将评分分别分成以下六个组；，绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）设500件型产品性能质量评分的中位数为，直接写出所在的分组区间；（2）请完成下面的列联表（单位：件）（把有关结果直接填入下面的表格中）； 型节排器型节排器总计优质品非优质品总计5005001000（3）根据（2）中的列联表，能否有的把握认为、两种不同型号的节排器性能质量有差异？附：，其中.0.100.0100.0012.7066.63510.828【答案】（1）（2）见解析（3）有的把握认为两种不同型号的节排器性能质量有差异.【解析】【分析】（1）中位数左边和右边的频率各占一半，由此判断出中位数所在区间是.（2）根据题目所给数据填写好联表.（2）计算的值，由此判断出有的把握认为两种不同型号的节排器性能质量有差异.【详解】解：（1）；（2）列联表如下：A型节排器B型节排器总计优质品180140320非优质品320360680总计5005001000（3）由于所以有的把握认为两种不同型号的节排器性能质量有差异.【点睛】本小题主要考查由频率分布直方图判断中位数的位置，考查列联表及独立性检验，属于基础题.19.在四棱锥中，四边形为菱形，且，分别为棱的中点（1）求证：平面；（2）若平面，求点到平面的距离【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）设的中点为，连接，通过证明四边形是平行四边形，证得，由此证得平面.（2）利用等体积法，通过列方程，解方程求得到平面的距离.【详解】（1）证明：设的中点为，连接分别是的中点，且由已知得且且四边形是平行四边形平面，平面平面（2）解：设点到平面的距离为由平面得点到平面的距离也为连接，平面，由题设得，在中，由已知得，由，得点到平面的距离为【点睛】本小题主要考查线线平行的证明，考查利用等体积法求点到面的距离，属于中档题.20.已知椭圆的中心在原点，左焦点、右焦点都在轴上，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为，在轴上方使成立的点只有一个（1）求椭圆的方程；（2）过点的两直线分别与椭圆交于点和点，且，求证：【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）根据已知条件判断出是短轴的端点，根据三角形面积、以及列方程组，解方程组求得椭圆的方程.（2）先证得直线的斜率为或不存在时，等式成立.当直线的斜率存在且不为时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，根据弦长公式计算出的长，进而证得等式成立.【详解】（1）解：根据已知设椭圆的方程为，在轴上方使成立的点只有一个，在轴上方使成立的点是椭圆的短轴的端点当点是短轴的端点时，由已知得解得椭圆的方程为（2）证明：若直线的斜率为0或不存在时，且或且，此时，若直线的斜率存在且不为0时，设由，得设，则，于是同理可得：综上所述：【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长公式，综合性较强，属于中档题.21.已知是自然对数的底数，函数与的定义域都是（1）求函数在点处的切线方程；（2）求证：函数只有一个零点，且【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）利用导数求得斜率，求得切点的坐标，由此求得切线方程.（2）首先根据零点存在性定理判断出在区间上存在零点.然后利用的导数，证得在上是减函数，由此证得函数在区间上只有一个零点.【详解】（1）解：切线的斜率，函数在点处的切线方程为（2）证明：，存在零点，且当时，当时，由在上是减函数，若，则函数只有一个零点，且.【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查利用导数研究函数的零点，考查零点的存在性定理，综合性较强，属于中档题.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知常数是实数，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出的普通方程与的直角坐标方程；（2）设曲线与相交于，两点，求的最小值【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为（2）8【解析】【分析】（1）将的参数方程消去，得到的普通方程.对的极坐标方程两边乘以，由此求得的直角坐标方程.（2）联立的直角坐标方程，写出韦达定理，然后根据弦长公式求得的表达式，进而求得的最小值.【详解】（1）的普通方程为的直角坐标方程为（2）设，则由得，当时，的最小值等于8【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查弦长公式，属于中档题.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时