2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第6讲正弦定理和余弦定理教案理新人教A版.docx

第6讲正弦定理和余弦定理基础知识整合1正弦定理2R，其中2R为ABC外接圆的直径变式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.abcsinAsinBsinC.2余弦定理a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC.变式：cosA；cosB；cosC.sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA.3在ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况4三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)(2)SbcsinAacsinBabsinC.(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)1三角形内角和定理在ABC中，ABC；变形：.2三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sinC；(2)cos(AB)cosC；(3)sincos；(4)cossin.3三角形中的射影定理在ABC中，abcosCccosB；bacosCccosA；cbcosAacosB.1(2019北京西城模拟)已知ABC中，a1，b，B45，则A等于()A150B90 C60D30答案D解析由正弦定理，得，得sinA.又ab，AB45.A30.故选D.2(2019广东广雅中学模拟)已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcosCc(13cosB)，则sinCsinA()A23B43 C31D32答案C解析由正弦定理得3sinBcosCsinC3sinCcosB,3sin(BC)sinC，因为ABC，所以BCA，所以3sinAsinC，所以sinCsinA31，选C.3在ABC中，如果sinA2sinCcosB，那么这个三角形是()A锐角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形答案C解析sinAsin(BC)sin(BC)sinBcosCcosBsinC，而sinA2sinCcosB，2sinCcosBsinBcosCcosBsinC，即sinCcosBsinBcosC，sinBcosCcosBsinC0sin(BC)，又B，C是ABC的内角，BC.故ABC是等腰三角形4(2019南昌模拟)在ABC中，已知C，b4，ABC的面积为2，则c()A2 B. C2D2答案D解析由SabsinC2a2，解得a2，由余弦定理得c2a2b22abcosC12，故c2.5(2019兰州市实战考试)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2ac，c2a，则cosC()A.B C.D答案B解析由题意得，b2ac2a2，ba，所以cosC，故选B.6(2018浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，A60，则sinB_，c_.答案3解析本小题考查正弦定理、余弦定理由得sinBsinA，由a2b2c22bccosA，得c22c30，解得c3(负值舍去)核心考向突破考向一利用正、余弦定理解三角形例1(1)(2018全国卷)在ABC中，cos，BC1，AC5，则AB()A4 B. C. D2答案A解析因为cosC2cos21221，所以c2a2b22abcosC12521532，所以c4.选A.(2)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则B()A. B. C. D.答案C解析因为，所以，即(cb)(cb)a(ca)，所以a2c2b2ac，所以cosB，又B(0，)，所以B.触类旁通解三角形问题的技巧(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到（2）三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.即时训练1.(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.解(1)在ABD中，由正弦定理，得.由题设知，所以sinADB.由题设知，ADB0，则ABC是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D形状不确定答案A解析ABC，ABC，tan(AB)tan(C)tanC，tanC，tanAtanBtanCtanAtanBtanC0，tanA0，tanB0，tanC0，ABC是锐角三角形(2)(2018山西太原模拟)在ABC中，sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A直角三角形B等边三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案A解析由cosB12sin2得sin2，即cosB.解法一：由余弦定理得，即a2c2b22a2，a2b2c2.ABC为直角三角形，又无法判断两直角边是否相等故选A.解法二：由正弦定理得cosB，又sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，cosBsinCsinBcosCcosBsinC，即sinBcosC0，又sinB0，cosC0，又角C为三角形的内角，C，ABC为直角三角形，又无法判断两直角边是否相等故选A.触类旁通判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断.提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响.即时训练2.(2019陕西模拟)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosCccosBasinA，则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定答案B解析bcosCccosBasinA，由正弦定理得sinBcosCsinCcosBsin2A，sin(BC)sin2A，即sinAsin2A.又sinA0，sinA1，A，故ABC为直角三角形3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA，则ABC为()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形答案A解析根据正弦定理得cosA，即sinCsinBcosA，ABC，sinCsin(AB)sinBcosA，整理得sinAcosB0，cosB0，B，A，B2A，A，A，cosA，.故选C.(2)(2018北京高考)若ABC的面积为(a2c2b2)，且C为钝角，则B_；的取值范围是_答案(2，)解析依题意有acsinB(a2c2b2)2accosB，则tanB，0B，又A0，0A，则0tanA，故2.的取值范围为(2，)触类旁通解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：,要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.即时训练5.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，abtanA，且B为钝角(1)证明：BA；(2)求sinAsinC的取值范围解(1)证明：由abtanA及正弦定理，得，所以sinBcosA，即sinBsin.又B为钝角，因此A，故BA，即BA.(2)由(1)知，C(AB)2A0，所以A.于是sinAsinCsinAsinsinAcos2A2sin2AsinA122.因为0A，所以0sinA，因此22.由此可知sinAsinC的取值范围是.角度正、余弦定理解决平面几何问题例5(2019南宁模拟) 如图，在ABC中，B，AB8，点D在BC边上，且CD2，cosADC.(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的长解(1)由cosADC知sinADC，于是sinBADsin(ADCABC)sinADCcoscosADCsin.(2)在ABD中，由正弦定理得BD3.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosB825228549.所以AC7.触类旁通平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想.即时训练6.如图，在平面四边形ABCD中，已知A，B，AB6.在AB边上取点E，使得BE1，连接EC，ED.若CED，EC.(1)求sinBCE的值；(2)求CD的长解(1)在BEC中，由正弦定理，知.B，BE1，CE，sinBCE.(2)CEDB，DEABCE，cosDEA.A，AED为直角三角形，又AE5，ED2.在CED中，CD2CE2DE22CEDEcosCED7282249.CD7. (2018江苏高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则4ac的最小值为_答案9解析依题意画出图形，如图所示易知SABDSBCDSABC，即csin60asin60acsin120，acac，1，4ac(4ac)59，当且仅当，即a，c3时取“”答题启示对于含有ab，ab及a2b2的等式，求其中一个的范围时，可利用基本不等式转化为以该量为变量的不等式求解对点训练(2019杭州模拟)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)