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第5节 直线、平面垂直的判定与性质课时作业基础对点练(时间:30分钟)1已知m是平面的一条斜线,点A,l为过点A的一条动直线,那么下列情形可能出现的是()(A)lm,l (B)lm,l(C)lm,l (D)lm,lC解析:设m在平面内的射影为n,当ln且与无公共点时,lm,l.2PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB,PC,PD,AC,BD,则下列垂直关系正确的是()平面PAB平面PBC;平面PAB平面PAD;平面PAB平面PCD;平面PAB平面PAC.(A) (B)(C) (D)A解析:易证BC平面PAB,则平面PAB平面PBC.又ADBC,故AD平面PAB,则平面PAD平面PAB.3已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出m的是()(A),且m (B)mn,且n(C),且m (D)mn,且nB解析:根据定理、性质、结论逐个判断因为,m,则m,的位置关系不确定,可能平行、相交、m在面内,故A错误;由线面垂直的性质定理可知B正确;若,m,则m,的位置关系也不确定,故C错误;若mn,n,则m,的位置关系也不确定,故D错误4如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,BAC90,BC1AC,则点C1在平面ABC上的射影H必在()(A)直线AB上 (B)直线BC上(C)直线AC上 (D)ABC的内部A解析:连接AC1(图略),ACAB,ACBC1,ABBC1B,AC平面ABC1.又AC平面ABC,平面ABC1平面ABC,点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上,故选A.5如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,BCAC,AC1A1B,M,N分别为A1B1,AB的中点,给出下列结论:C1M平面A1ABB1;A1BAM;平面AMC1平面CNB1.其中正确结论的个数为()(A)0 (B)1(C)2 (D)3D解析:由于ABCA1B1C1为直三棱柱,所以A1AC1M.由B1C1A1C1,M为A1B1的中点,得C1MA1B1.又AA1A1B1A1,所以C1M平面A1ABB1,所以正确因为C1M平面A1ABB1,所以C1MA1B.又AC1A1B,C1MAC1C1,所以A1B平面AMC1,所以AMA1B,所以正确由AMB1N,C1MCN,可得平面AMC1平面CNB1,所以正确故正确结论共有3个6(2018湖州模拟)在边长为1的菱形ABCD中,ABC60,将菱形沿对角线AC折起,使折起后BD1,则二面角BACD的余弦值为()(A) (B) (C) (D)A解析:在菱形ABCD中连接BD交AC于O点,则ACBD,在折起后的图中,由四边形ABCD为菱形且边长为1,则DOOB,由于DOAC,BOAC,因此DOB就是二面角BACD的平面角,由BD1得cosDOB.7(2018山东潍坊质检)如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足_时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析:连接AC,BD交于O,因为底面各边相等,所以BDAC;又PA底面ABCD,所以PABD,又PAACA,所以BD平面PAC,所以BDPC.所以当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD.而PC平面PCD,所以平面MBD平面PCD.答案:DMPC(或BMPC)8如图,BAC90,PC平面ABC,则在ABC,PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有_;与AP垂直的直线有_解析:PC平面ABC,PC直线AB,BC,AC.ABAC,ABPC,ACPCC,AB平面PAC,ABAP,与AP垂直的直线是AB.答案:AB,BC,ACAB9三棱锥SABC中,SBASCA90,ABC是斜边ABa的等腰直角三角形,给出以下结论:异面直线SB与AC的夹角为90;直线SB平面ABC;平面SBC平面SAC;点C到平面SAB的距离是a.其中正确结论的序号是_解析:由题意知,AC平面SBC,故ACSB,SB平面ABC,平面SBC平面SAC,所以正确;取AB的中点E,连接CE,可证得CE平面SAB,故CE的长度即为点C到平面SAB的距离,所以距离为a,故正确答案:10如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是CD、A1D1的中点(1)求证:AB1BF;(2)求证:AEBF;(3)棱CC1上是否存在点P,使BF平面AEP?若存在,确定点P的位置,若不存在,说明理由(1)证明:连接A1B1,则AB1A1B,又AB1A1F,且A1BA1FA1,AB1平面A1BF.又BF平面A1BF,AB1BF.(2)证明:取AD中点G,连接FG,BG,则FGAE,又BAGADE,ABGDAE.AEBG.又BGFGG,AE平面BFG.又BF平面BFG,AEBF.(3)解:存在取CC1中点P,即为所求连接EP,AP,C1D,EPC1D,C1DAB1,EPAB.由(1)知AB1BF,BFEP.又由(2)知AEBF,且AEEPE,BF平面AEP.能力提升练(时间:15分钟)11如图,点E为正方形ABCD边CD上异于点C,D的动点,将ADE沿AE翻折成SAE,使得平面SAE平面ABCE,则下列三种说法中正确的个数是()存在点E使得直线SA平面SBC;平面SBC内存在直线与SA平行;平面ABCE内存在直线与平面SAE平行(A)0 (B)1 (C)2 (D)3B解析:由题图,得SASE;若存在点E使得直线SA平面SBC,则SASB,SASC,则SC,SB,SE三线共面,则点E与点C重合,与题设矛盾,故错误;因为SA与平面SBC相交,所以在平面SBC内不存在直线与SA平行,故错误;显然,在平面ABCE内,存在直线与AE平行,由线面平行的判定定理得平面ABCE内存在直线与平面SAE平行,故正确故选B.12(2017浙江六校联考)下列命题中错误的是()(A)如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面(B)如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面(C)如果平面平面,平面平面,l,那么l平面(D)如果平面平面,那么平面内有且只有一条直线垂直于平面D解析:对于A,若平面平面,则在平面内平行于交线的直线一定平行于平面,故A正确;对于B,若平面内存在直线垂直于平面,则平面与平面一定垂直,故B正确;对于C,平面平面,平面平面,l,若l不垂直于平面,则在l上任取一点P,过P作直线m,则m,m,所以m,因此l与m是同一条直线,即l平面;对于D,平面内存在无数条直线垂直于平面,故D错误,选D.13如图,三棱柱ABCA1B1C1中,ABACAA1BC12,AA1C160,平面ABC1平面AA1C1C,AC1与A1C相交于点D.(1)求证:BD平面AA1C1C;(2)求二面角C1ABC的余弦值解析:(1)依题意,知侧面AA1C1C是菱形,D是AC1的中点,因为BABC1,所以BDAC1,又平面ABC1平面AA1C1C,且BD平面ABC1,平面ABC1平面AA1C1CAC1,所以BD平面AA1C1C.(2)由(1)知BD平面AA1C1C,CD平面AA1C1C,所以CDBD,又CDAC1,AC1BDD,所以CD平面ABC1.过D作DHAB,垂足为H,连接CH,如图,则CHAB.所以DHC为二面角C1ABC的平面角在RtDAB中,AD1,BD,AB2,所以DH,CH;所以cosDHC,即二面角C1ABC的余弦值是.14(2018河北教学质量监测)已知四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是边长为a的菱形,BAD120,PAb.(1)求证:平面PBD平面PAC;(2)设AC与BD交于点O,M为OC中点,若二面角OPMD的正切值为2,求ab的值(1)证明:因为PA平面ABCD,所以PABD.又底面ABCD为菱形,所以ACBD,因为ACPAA,所以BD平面PAC,从而平面PBD平面PAC.(2)解:过O作OHPM交PM于H,连接HD.由(1)知DO平面PAC,所以DHPM,所以OHD为二面角OPMD的平面角又ODa,OM,AM,且,从而OH,tanOHD2,所以9a216b2,即.15.如图,圆锥的轴截面为三角形SAB,O为底面圆圆心,C为底面圆周上一点,D为BC的中点(1)求证:平面SBC平面SOD;(2)如果AOCSDO60,BC2,求该圆锥的侧面积解析:(1)证明
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