行程问题教师版.doc

行程问题例1.A、B两城相距240千米，一辆汽车计划用6小时从A城开到B城，汽车行驶了一半路程，因故障在中途停留了30分钟，如果按原计划到达B城，汽车在后半段路程时速度应加快多少？分析：对于求速度的题，首先一定是考虑用相应的路程和时间相除得到。解：后半段路程长：2402=120（千米）后半段用时为：620.5=2.5（小时）后半段行驶速度应为：1202.5=48(千米/时)原计划速度为：2406=40（千米/时）汽车在后半段加快了：4840=8（千米/时）。答：汽车在后半段路程时速度加快8千米/时。例2.两码头相距231千米，轮船顺水行驶这段路程需要11小时，逆水每小时少行10千米，问行驶这段路程逆水比顺水需要多用几小时？分析：求时间的问题，先找相应的路程和速度。解：轮船顺水速度为：23111=21（千米/时）轮船逆水速度为：2110=11（千米/时），逆水比顺水多需要的时间为：2111=10（小时）答：行驶这段路程逆水比顺水需要多用10小时。例3.汽车以每小时72千米的速度从甲地到乙地，到达后立即以每小时48千米的速度返回到甲地，求该车的平均速度。分析：求平均速度，就要考虑用总路程除以总时间。解：设从甲地到乙地距离为S千米。5 S144 S 72 S 48则汽车往返用的时间为：S48S72= =5 S144平均速度为：2S =14452=57.6(千米/时)答：该车的平均速度为57.6千米/时注：平均速度并不是求几个速度的平均值，因为用各速度行驶的时间不一样。例4.一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去，在一开始的120千米内平均 速度为每小时40千米，要想使这辆车从甲地到乙地的平均速度为每小时50千米，剩下的路程应以什么速度行驶？分析：求速度，首先找相应的路程和时间，平均速度说明了总路程和总时间的关系。解：剩下的路程为300120=180（千米）计划总时间为：30050=6（小时）剩下的路程计划用时为：612040=3（小时）剩下的路程速度应为：1803=60（千米/小时）答：剩下的路程应以60千米/时行驶。注：在简单行程问题中，从所求结果逆推是常用而且有效的方法。随堂演习甲、乙两地相聚1500千米，飞机从甲地到乙地是顺风，需2小时，从乙地返回甲地需2.5小时，则飞机往返的平均速度为多少？例5.骑自行车从甲地到乙地，以每小时10千米的速度行驶，下午1时到；以每小时15千米的速度行进，上午11时到；如果希望中午12时到，应以怎样的速度行进？分析：求速度，先找相应的路程和时间，本题中给了以两种方法骑行的结果，这是求路程和时间的关键。解：达到时，速度15千米/小时比10千米/小时，少用的时间：下午1时=13时，13-11=2（小时） 设，以每小时10千米的速度行驶，到达乙地的时间为x小时，那么，以每小时15千米的速度行驶，到达乙地的时间为x2小时。10x = 15（x2） x = 6总路程：106 = 60（千米）出发时间：136 = 7（时）中午12时到，则行驶时间为：127 = 5（小时）速度应该为：605 = 12（千米/小时）答：若想12时到达，应以12千米/小时速度骑行。例6.一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，时速1500千米，回来时逆风，时速为1200千米，这架飞机最多飞出多远就需往回飞？分析：由于是往返，所以路程相同，速度与时间成反比。解：往返速度比为：1500:1200 = 5:4 所以往返时间比为：4:5 ；又知：往返总时间为6小时， 8 3往，时间为：6（54）4 = （小时） 8 3路程为：1500 = 4000（千米）答：这架飞机最多飞出4000千米就需往回飞？ 随堂演习换方法求解：如果，设这架飞机最多飞出x千米就需往回飞，求解这道题。例7.有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡，平路及下坡的路程相等，某人骑车过桥时，上坡平路，下坡的速度分别为4米/秒、6米/秒、8米/秒，求他过桥的平均速度。分析：平均速度还是要由总路程除以总时间求得。解：设这座桥上坡、平路、下坡各长为S米，1324过桥总时间为：S4S6S8 = S7131324平均速度为：3S S =5 （米/秒），713答：骑车过桥平均速度为5 米/秒。注：有时求平均速度并不需要具体的路程和时间，只要不同速度对应的路程，或者不同速度对应的时间即可，不要被条件迷惑。 随堂演习：一只小船从甲港开往乙港，去时顺水每小时18千米，返回时逆水每小时12千米，这只小船的平均速度是多少？随堂演习：一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比例是1:2:3，某人走各段路的时间所用比为4:5:6，已知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程的平均速度是多少？例8.某人要到60千米外的农场去，开始他以每小时5千米的速度步行，后来一辆18千米/时的拖拉机把他送到农场，总共用了5.5小时，问：他步行了多远？解：设他步行了x千米，那么，他乘拖拉机60x千米。x5（60x）18 = 5.5 x = 15答：他步行了15千米。例9.甲、乙各走了一段路，甲走的路程比乙少1/5，乙用的时间比甲多了1/8，问甲、乙两人的速度之比是多少？分析：速度比可以通过路程比和时间比直接求得。解：设 乙的路程为S，那么甲的路程4S/5; 设 甲用时间为T，那么乙用时间9T/8。 甲的速度 : 乙的速度 =(4S/5)T:S(9T/8) = 9:10答：甲、乙两人的速度之比是9:10注：甲、乙路程比4/5，时间比8/9，速度比可直接用：4/58/9=9/10，即9：10。随堂演习张明和李莉早上7点出发去学校，张明学校的路比李莉多1/4，而李莉去学校的时间比张明少1/9，那么李莉的速度是张明的_倍。例10.一艘轮船在河流的两个码头间航行，顺流需要6小时，逆流要8小时，水流速度为每小时2.5千米，求船在静水中的速度。分析：顺流船速是静水船速与水流速度之和，而逆流船速是两者之差。解：设船在静水中速度为x千米/时。（x+2.5）6 =(x2.5)8x =17.5答：船在静水中速度为17.5千米/时。例11.一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距299千米的两地相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行52千米，问：几小时后两车第一次相距69千米？再过多少时间两车再次相距69千米？分析：相遇问题中求时间，就需要速度和及总路程。解：第一次相距69千米时，两车共行驶了：29969 = 230（千米）所用时间为：230（4052）= 2.5（小时）再次相距69千米时，两车共行驶了：29969 = 368（千米）所用时间为：368（4052）= 4（小时）两次时间差：42.5 = 1.5（小时）答：2.5小时后两车第一次相距69千米；再过1.5小时两车再次相距69千米。随堂演习甲、乙辆车同时从A、B两地相对开出，相遇时，甲乙辆车的路程比是4:3，相遇后乙车每小时比甲车快12千米，甲车速度不变，结果辆车同时到达目的地。已知乙车一共行了8小时，问A、B两地相聚多少千米？例12.甲、乙两人在400米环形跑道上跑步，两人朝相反的方向跑，两个第一次相遇与第二次相遇间隔40秒，已知甲每秒跑6米，问乙每秒跑多少米？分析：环形跑道上相反而行，形成了相遇问题。解：第一次相遇到第二次相遇，两个人一共跑400米，因此速度和为40040=10（米/秒）乙速度为106=4（米/秒）答：乙每秒跑4米。注：环形跑道上的相遇问题要注意一定时间内两人行进路程的总和是多少。例13.兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，他们从同一地点同时出发，背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，照这样计算，当他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？分析：本题重点在于计算第十次相遇时他们所走过的路程。解：每两次相遇之间，兄妹两人一共走了一圈30米。因此第十次相遇时二人共走了：3010=300（米）两人所用时间为：300（1.31.2）=120(秒)妹妹走了：1.2120=144(米)由于30米一圈，回到起点，妹妹的总路程必须是30倍数，因此妹妹再走6米才能回到出发点。答：妹妹再走6米才能回到出发点。A 甲 G B乙 ED F C例14.两只小爬虫甲和乙，从A点同时出发，沿长方形ABCD的边按照箭头方向爬行（如下图所示）。在离C点32厘米的E点他们第一次相遇；在离D点16厘米的F点他们第二次相遇，在离A点18厘米的G点他们第三次相遇。问长方形的边AB长多少厘米？ 分析：由于总路程和各自的速度没变，所以相遇时间不变，所以每次相遇甲（或乙）的路程不变。解：第一次相遇：甲路程 = 长（宽32） 第二次相遇：甲路程 = 32（长16） 长（宽32）= 32（长16） 解之：宽 = 48（厘米） 第三次相遇：甲路程 = 16宽18 = 82（厘米） 82 = 32（长16） 解之：长 = 66 厘米随堂演习换个方法求解：用乙的路程求解这道题。习题： 1 6 1.小华从A到B，先下坡再上坡共用7 小时。如果两地相距24千米，下坡每小时4千米，上坡每小时3千米，那么原路返回要多少小时？2.小刚在560米的环形跑道上跑了一圈，前一半时间每秒跑8米，后一半时间每秒跑6米，小刚跑后半程用了多少秒？3.甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行。出发时甲、乙两车的速度比是5:4。相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%。这样当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。那么A、B两地相距多少千米？参 考 答 案随堂演习：1.（实外P176，二.8）：666又2/3 千米/小时 15002（22.5）= 666又2/3（千米/小时）2.（成外P188，五.3）：4000千米x1500x1200 = 6 解之：x = 40003.（成外P180，三.5）：14.4千米/小时 2S(S18S12)= 14.4千米/小时4.（实外P165，六.31）：4.8千米/小时 路程：60/6=10千米，20千米，30千米 时间：10/3=10/3小时，25/6小时，5小时 平均速度：60（10/325/65）= 4.8（千米/小时）5.（模拟训练数学试题，二.16）：0.9倍6.（成外P182，六.5）：288千米 相遇时,时间一样,速度与路程成正比,甲速:乙速 = 4:3,剩下路程比3:4 同时到达,甲速:乙速=3:4,乙速-甲速=12千米,甲速36千米,乙速48千米 AB距离，368 = 288千米(由于甲是匀速，所以用甲的速度计算)7.（成外P209，五.4）：66厘米 宽长32 = 宽32长宽16 宽 = 48厘米 4832长4816 = 长1648长18 长 = 66厘米习题：1.（成外P193，六.3）：6又5/6 小时 设AB下坡t小时,4t+3(43/6-t)=24t=5/24t=10千米,24-10=14千米 BA 103144 = 6又5/6（小时）2.（实外P179，五.26）：45秒 前半时间与后半时间的路程比4:3，前半时路程320米，后半时路程240米。 后半程时间，（560/2240）82406 = 45（秒）3.（麓山P107，五.4）：450千米相遇时，时间相等，速度与路程成正比，甲乙路程比5:4，剩下的路程比4:5相遇后，甲速度:乙速度=5(120%):4(120%)=4:4.8设剩下的路程，甲4S千米,乙5S千米，那么到达甲B地时：4S4v = (5S10)4.8v 解之：S = 50 那么4S5S = 450（千米）例15.甲、乙两辆车的速度分别为每小时52千米和40千米，它们同时从甲地出发开到乙地去，出发6小时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1小时后，乙车也遇到了这辆卡车，求这辆卡车速度。分析：题目中没有给任何卡车与甲车相遇前或与乙车相遇后的情况，因此只能分析卡车从与甲车相遇到乙车相遇这段时间的问题。解：卡车从甲车相遇到与乙车相遇这段时间与乙车在做一个相遇运动，距离为出发6小时，甲、乙两车的距离差：（5240）6=72（千米）因此卡车与乙车速度和为：721=72（千米/时）卡车速度为：7240=32（千米/时）答：卡车速度为32千米/时。注：在比较复杂的运动中，选取适当时间段和对象求解是非常重要的。例16.一列客车与一列货车同时同地反向而行，货车比客车每小时快6千米，3小时后，两车相距342千米，求两车速度。分析：已知两车行进总路程及时间，这是典型的相遇问题。解：两车速度和为：3423=114（千米/小时）货车速度为：（1146）2=60（千米/时）客车速度为11460=54（千米/时）答：客车速度54千米/时，货车速度为60千米/时。注：所谓“相遇问题”并不一定是两人相向而行并相遇的问题，一般地，利用距离和及速度和解题的一类题目也可以称为一类特殊的相遇问题例17.甲以每小时4千米的速度步行去某地，乙比甲晚4小时骑自行车从同一地点出发去追甲，乙每小时行12千米，乙几小时可以追上甲？解：路程差：44 = 16（千米） 速度差：124 = 8（千米） 追及时间：168 = 2（小时） 答：乙2小时可以追上甲。例18.小明和小亮在一个圆形湖边跑步（假设他们跑步的速度始终不变），小明每分跑100米，小亮每分跑120米，如果他们同时从同一地点出发，相背而行，5分钟相遇，如果同时从同一地点出发，同向而行，几分钟后两人相遇？分析：前者小明和小亮在做相向运动，5分钟相遇，说明5分钟两人共跑了一周： 如果同向跑，小亮要想和小明相遇，必须得追上小明，也就是说小亮要比小明多跑一圈，这就是一道追及问题。解：周长=追及路程：（100 + 120）5 = 1100（米） 追及时间：1100（120100）= 55（分） 答：同向而行，两人55分后相遇。例19.甲、乙两船从A港到B港，甲每小时行30千米，乙每小时行45千米，甲比乙早出发4小时，二人同时到达B港，问AB两港相距多少千米？ 解：4小时甲的路程就是追及路程：304 = 120（千米）追及时间：120（4530）= 8（小时）AB港距离：458 = 360（千米） 答：A、B两港相距360千米。随堂演习：1. 解放军执行行军任务，部队从某地出发。每小时行12千米，7小时后，通讯员骑摩托车以每小时54千米的速度追赶部队传达命令，问几小时后可以追上部队？2. 环形跑道长400米，甲、乙两人同时、同地按相同方向跑步，甲每分钟跑200米，乙每分钟跑150米，问经过几分钟后两人相遇？例20.有甲、乙二人，甲坐在汽车上发现乙步行向相反方向走去，10秒钟后汽车停住，甲下车跑步去追，已知甲跑步的速度是乙的3倍，汽车的速度比甲快10倍，问甲追上乙需要多少秒钟？分析：甲跑步的速度是乙的3倍，把乙的速度看作1倍，甲的速度是3倍汽车的速度就是乙的3（101）= 33倍。反向10秒钟，甲乙之间的距离是：（33 + 1）10 = 340倍，这也就是甲、乙的追及路程。 解：乙的速度为1倍，甲的速度为3倍，车的速度为3（10+1）=33倍。 追及路程：（331）10 = 340 倍追及时间：340（31）= 170（秒）答：甲追上乙需要170秒钟。随堂演习3. 甲乙二人，乙在路上一直朝前行走，甲乘车在同一条直路上经过乙的身旁，50秒后，甲下车向乙走去，甲行走的速度比车慢90%，但甲行走的速度是乙行走的3倍，问甲下车后需多长时间能和乙在一起？例21.甲、乙两城之间的路长240千米，快车从甲城，慢车从乙城同时相向开出，3小时相遇。如果两车分别从两城向同一方向开出，慢车在前，快车在后，15小时快车就可以追上慢车，求快车和慢车每小时各行多少千米？分析（如图）： 解：快车和慢车的速度和：快速慢速 = 2403 = 80（千米） 快车和慢车的速度差：快速慢速 = 24015 = 16（千米） = 2快速 = 80 + 16 = 98（千米） 快速= 48（千米） = 2慢速 = 8016 = 64（千米） 慢速= 32（千米） 答：快车每小时行48千米，慢车每小时行32千米例22.有两桶食用油，第一桶有油126千克，第二桶有油82千克，每天从第一桶中取出9千克，从第二桶中取出5千克，多少天后两桶剩下的油相等？分析： 解：第一桶比第二桶多：12682 = 44（千克） 每取一次两桶油剩余重量之差就减少：95 = 4（千克） 天数：444 = 11（天）答：11天后两桶剩下的油重量相等。例23.解放军某部追击敌舰，追到A岛，敌人已逃离12分，敌舰每分行1000米，我舰每分行1360米，如果距敌舰840米可以开炮，解放军从A岛出发经过多少分可以开炮？分析：要想开炮，必须把差距缩小为840米以内。解：逃离距离：100012 = 12000（米）追及路程：12000840 = 11160（米）追及时间：11160（13601000）= 31（分） 答：我军舰从A岛出发经过31分可以开炮。随堂演习：4. 一列慢车在早晨6：30以每小时40千米的速度由甲城开往乙城，另一列快车在早晨7：30以每小时56千米的速度也由甲城开往乙城。铁路部门规定：向相同方向前进的两列火车之间的距离不能小于8千米。那么，这列慢车最迟应该在几点钟停车让快车超过？5. 兄弟二人去上学，弟弟走出家门100米后，哥哥才出发，哥哥每分行75米，弟弟每分行65米，两人都朝学校前进，哥哥在离学校200米的地方追上弟弟，家离学校多少米？例24.某钟表，在4月26日零点比标准时间慢6分钟，按此速度走到5月3日8时，比标准时间快4分钟，这只表每小时比标准时间快多少小时？分析：我们可以把钟表比实际多走的时间看作追及路程，实际过的时间作为追及时间，那么我们可以计算出速度差，这样我们就将其看作了一个追及问题。16解：追及路程 = 4分钟6分钟 = 小时追及时间 = 5月3日8时4月26日0时=176小时 1 105616速度差 = 176 = 小时 1 1056答：这只表每小时比标准时间快 小时。随堂演习6. 某钟表，在4月26日零点比标准时间慢6分钟，按此速度走到5月3日8时，比标准时间快4分钟，这只表所指的时间正好是正确的时候是几月几时几分？ 1 3 1 3例25.甲车以每小时160千米，乙车以每小时20千米的速度在长210千米的环形公路上同时同向同地出发，每当甲追上乙一次，甲速度就减少 ，乙速度就增加 ，经过多少时间两人速度正好相等？甲比乙多跑了几圈？ 分析：这是一道环形追及问题，追及路程就是环形周长，由于速度在变化，我们可以一次，一次的分开解决，我们把第一次相遇简写为一，第二次相遇简写为二以此类推。 解：一.时间：210（16020）= 1.5（小时） 2 3 1 3 甲速度变为：160（1 ）= 106 （千米/小时） 2 3 1 3 乙速度变为：20（1 ）= 26 （千米/小时） 21 8 2 3 2 3二.时间：210（106 26 ）= （小时） 640 9 1 3 2 3 甲速度变为：106 （1 ）= （千米/小时） 320 9 1 3 2 3 乙速度变为：26 （1 ）= （千米/小时） 189 32 320 9 640 9三.时间：210（ ）= （小时） 1280 27 640 9 1 3 甲速度变为： （1 ）= （千米/小时） 1280 27 320 9 1 3 乙速度变为： （1 ）= （千米/小时） 可以看出甲三次追上乙，甲乙速度已经相等，即甲比乙多跑三圈。 189 32 21 8 时间和： 1.5 321 32 = 1 32 = 10 （小时） 1 32 答：经过10 小时两人速度正好相等，甲比乙多跑了3圈。随堂演习 1 3 1 37. 甲车以每小时160千米，乙车以每小时20千米的速度在长210千米的环形公路上同时同向同地出发，每当甲追上乙一次，甲速度就减少 ，乙速度就增加 ，在两车速度正好相等的时候，甲车行了多少千米？课堂演习甲乙8. 乔家大院长方形围墙，长120米，宽80米，甲、乙两同学分别同时从两对角出发，顺时针行走（如图），甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，问甲看到乙至少要经过多少分钟？A BC D习题1. 两地相距900千米，甲车行全程需15小时，乙车行全程需12小时，甲车先出发2小时后，乙去追甲，问乙车要走多少千米才能追上甲车？2. 小明由家去上学，每分钟走150米，他出发10分钟后，爸爸发现他把书落在家里，急忙骑自行车去追小明，自行车每分钟行275米，在离学校300米处，爸爸追上小明，他们谈话用了1分钟，求小明从家到学校共用多少分3. 某养鱼场有一个圆形养鱼池，周长500米，甲、乙两个管理员同时相背而行，5分钟相遇一次，如果同向而行，50分钟遇一次，甲比乙走得快，问甲、乙两个管理员，每分钟各走多少米？4. 小张步行从甲村到乙村去，小李骑自行车以每小时15千米的速度从乙村到甲村去，他们同时出发，2小时后在途中相遇，他们分别继续前行，小李到达甲村后立即返回，在第一次相聚40分钟后，小李追上小张，他们又继续前行，当小李到达乙村后又立即返回，问追上小张后，小李再行多少千米他与小张再次相遇？*例26.两列火车相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行60千米，两车错车时，甲车上一乘客从乙车车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗共用13秒钟，求乙车全长多少米？分析：甲车乘客看到乙车经过用了13秒而他看到的乙车速度则是甲、乙两车实际速度之和。解：甲、乙车实际速度之和为：4860=108（千米/时）合30米/秒乙车长为：3013=390（米） 答：乙车全长390米。注：不要忽略单位的换算。*例27.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见慢车驶过的时间是多少秒？分析：慢车上的人看快车和快车上的看慢车，他们看到的相对速度是相同的，这就是本题的关键。解：两车相对速度为：38511=35（米/秒）慢车上的人看快车驶过的