误差理论与数据处理第8章线性参数的最小二乘法与组合测量.ppt

4- 1,第八章 线性参数的最小二乘法处理,教学目的和要求：,通过本章内容的教学，使学生对间接测量不确定度的评定、合成标准不确定度的分配和最佳测量方案的设计有一个系统和全面的了解。要求学生能够熟练的进行间接测量数据的不确定度评定；掌握合成标准不确定度分配的基本原则；初步掌握最佳测量方案设计的方法。,主要内容：,1 间接测量不确定度的评定：评定的基本公式、 评定方法与步骤、实例。 2 合成标准不确定度的分配：按等作用原则分配 合成标准不确定度、按可能性调整分配后的不 确定度、验算调整后的不确定度。,3. 最佳测量方案的设计：最佳测量函数公式的选择、灵敏系数最小选择。,第一节 最小二乘法原理,最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻找最可信赖值的问题。,对某量 进行测量，得到一组数据 ,不存在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分布,其标准差为,测得值 落入 的概率,测得值 同时出现的概率为,最可信赖值满足,权因子,虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。,第一节 最小二乘法原理,线性参数的最小二乘法处理,一般地，线性函数的数学模型为 Yf（X，a） 那么，线性函数的测量方程为,(8-1),其相应的估计量为,8-2,相应的残余误差方程为,8-3,第二节 正规方程,组合测量基本概念,如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量,测得值,待解的数学模型,待求量,为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目,组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值，从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被测量的最佳估计值。,一、等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程,线性参数的残余误差方程为,正规方程组可写为,矩阵形式,例81 在不同温度下测定铜棒的长度如下表，试估计0时的铜棒长度y0和铜的线膨胀系数a。,解 测量铜棒长度的数学模型是 yy0（1at） 由此列出测量方程 yiy0（1ati） （i1，2，6） 可得残余误差方程 viliy0（1ati） （i1，2，6） 其中 li在温度ti下铜棒长度的测量值； a铜的线膨胀系数。 令y0a ，a y0b为待估计的两个参数，则残余误差方程可写为 vili（atib） （i1，2，6） 为了方便计算，将数据列表如下,根据残余误差方程，按式（822）写出正规方程,将表中计算出的正规方程的系数和常数代入正规方程， 则有,解之 a1999.97（mm） b0.03654（mm） 即 y01999.97（mm）,若按矩阵形式计算，则有,C,C1,AT L,于是可得,所以,a1999.97（mm） b0.03654（mm） 即 y01999.97（mm）,因此，铜棒长度y随温度t的线性变化的规律为 y1999.97（10.0000183t）mm,二、不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程,不等精度测量时线性参数的残余误差方程与等精度相同，不同之处在于进行不等精度测量线性参数最小二乘法处理时，要取加权残余误差平方和为最小，即,不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程,线性测量方程组,线性测量方程组的一般形式为,测量残差方程组,含有随机误差,矩阵形式,最小二乘法原理式,求导,正规方程组,正规方程组解,不等权,正规方程组,不等精度测量线性参数最小二乘法处理时，要取加权残余误差平方和为最小，即 为简化表达式，不妨令 将加权残余误差的平方和分别对各x1，x2，xt求偏导数，并令其等于零，即,上列各式的二阶偏导数恒正，即,由此可知，加权残余误差的平方和,的极小值存在。而由一阶偏导数等于零所构成的 线性方程组为,（828）,线性方程组（828）称为不等精度测量线性参数最小二 乘法处理的正规方程。这是一个t元线性方程组，在其系数 行列式不等于零时，有唯一确定的解。这一确定的解满足最 小二乘法原理式（87）、是未知参数的最佳估计量。 线性方程组（828）在形式上有如下特征：,1沿方程组主对角线上分布的项的系数,（j1，2，t）,都是正数；,2以主对角线为轴对称分布的项的系数相等，如,若不等精度测量数据l1，l2，ln的权分别为w1， w2，wn，将不等精度测量的正规方程式（828）单位权化， 即令,于是，不等精度测量的正规方程式（828）转化为,（829）,显然，正规方程式（829）在形式上与等精度测量的正规方程式（822）完全一样。把不等精度测量的正规方程（828）各式分别展开，整理后可得 与式（823）类似的结果,三、非线性参数最小二乘法处理的正规方程,一般情况下，若测量方程 Yf（X1，X2，Xn）为非线性函数，则测量的残余误差方程,可以按线性参数的情形列出正规方程并解出r（r1，2，t），进而求得相应的估计量xr（r1，2，t）。,四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系,最小二乘法原理与算术平均值原理是一致的，算术平均值原理可看成最小二乘法原理的特例,第三节 不确定度评定,一、测量数据的不确定度评定 （一）等精度测量数据的不确定度评定 根据2分布的性质，有,（二）不等精度测量数据的不确定度评定 测量数据的单位权方差的无偏估计为单位权实验方差,二、最小二乘估计量的不确定度评定,设有正规方程,1 2 ,对不等精度测量可参照此步骤进行,第四节 组合测量数据的最小二乘法处理,组合测量是通过直接测量待测参数的估计量（一般采用等精度测量），然后对这些数据进行处理，从而求得待测参数的估计量，并给出其不确定度。一般地，组合测量数据用最小二乘法进行处理，这是最小二乘法在精密测量中的一种重要应用。,要求检定丝纹尺0，1，2，3刻线间的距离 。已知用组合测量法测得图所示刻线间隙的各种组合量。试用最小二乘法求 及其标准偏差。,例题,计算步骤,【解】,列出测量残差方程组,解出,即,计算结果,代入残差方程组可得,估计的标准差,估计的标准差,组合测量的概念： 组合测量是指直接测量各被测量的组合量，将组合量的测得值和对应的组合量一一列出方程，然后通过解测量方程组得到各被测量的量值，并给出其不确定度。 组合测量数据用最小二乘法进行处理，这是最小二乘法在精密测量中的一种重要应用。 组合测量既可提高测量的准确度，又可减少测量的工作量，常用于精密测试和计量检定之中,用组合测量检定三段刻线间距，求检定结果。 如图81所示，要求检定A、B、C、D间的距离x1、x2、x3。,图81,图82,直接测量刻线间距的各种组合量（见图82），得到如下测量数据：,l11.015mm l20.985mm l31.020mm l42.016mm l51.981mm l63.032mm,列出残