FDTD近场到远场的时域转换 [文档在线提供].doc

FDTD近场到远场的时域转换沈爱国宋铮邢军(电子工程学院微波教研室，合肥230037）【摘要】对FDTD中近区场向远区场的转换方法作了讨论，具体分析了时域的转换方法，在理论上说明了该方法的可行性，给出了具体的转换步骤，并用典型的计算实例验证其正确性。该方法为FDTD在宽频领域的应用提供了方便，拓宽了应用范围。关键词:FDTD，近区场，远区场一、引言自从Yee在网格中将空间离散化，把带时间变量的Maxwell旋度方程转化为差分格式，并成功地模拟了电磁脉冲与理想导体作用的时域响应以来，时域有限差分法(FDTD)得到了长足的发展，并以其明显的优点得到越来越广泛的应用1。起初，FDTD主要用于散射问题的处理，后来也逐渐应用于天线等辐射系统的计算。我们知道，FDTD计算直接得到的是近区场，但不管是散射问题或辐射问题，真正有用的往往是远区场，这就涉及将近区场转换为远区场的问题。远区场与近区场虽然在性质上有很大区别，但远区场是近区场发展运动的结果，二者之间有密切的关系，在已知近区场的情况下，可以求得远区场。FDTD在电磁计算中的应用主要有两个方面，计算瞬态电磁问题和稳态电磁问题。最早的近场向远场转换工作是在稳态问题的计算中进行，即平面正弦波的散射问题计算，转换主要在频域中进行2。随着FDTD在瞬态问题和宽频问题中的应用，在频域中处理近场向远场的转换显示出很大的不便。若能将时域的散射近场直接转换为远区场，会解决这一矛盾，并能更有效地体现FDTD算法的优点。FDTD是在时域中对Maxwell旋度方程进行差分近似计算得到的，用该算法计算远区场的时域响应是很自然的，当需要频域响应时，对时域场进行Fourier变换即可。目前对于近场向远场转换的讨论大多侧重于原理的分析3,4，而对具体的转换过程讨论较少，应用不够方便。本文首先从理论上说明时域转换的可行性，详细讨论了转换方法，并给出了流程图，然后给出了具体计算实例，以检验转换的正确性。二、转换的基本原理按照FDTD计算电磁场的方法，总能求出散射体或辐射体表面的电流分布，由这些电流分布可以计算近区和远区的散射场或辐射场。但是，散射体或辐射体的形状可能很复杂，还可能以某种方式包含有介质成分，这使得每一个散射或辐射问题成为一个单独的问题，而且本身还带有一定的复杂性。一种替代的方法是不直接利用散射体或辐射体的表面电流，而是利用表面外的近场来获得散射场或辐射场的信息，而这些近场数据则可取自一个完全包围散射体或辐射体的具有简单形状（一般由平面构成）的虚设表面上。在这样的表面上进行计算不仅使问题简化，而且它的设置可以完全不依赖于实际散射体或辐射体的形状，从而可以使算法具有通用性。而且，所有的近场数据是在时域有限差分计算中必然出现的，它的获得不需要任何辅助工作。图1给出了散射问题中置于散射场区中的虚设封闭面示意图。在三维空间中，最简单的虚设封闭面形状为由六个与坐标面平行的矩形组成的长方体，因而其上散射近场的电场和磁场切向分量都可以从计算中直接获得，继而应用等效原理就可以获得虚设封闭面上的等效电流和等效磁流。设虚设封闭面用Sa表示，其上的切向电场和切向磁场分别为分别为Sa上相应的等效切向电流和等效切向磁流，则有其中为Sa的单位外法向矢量。由电磁场的等效原理可得到如图2所示的等效关系：(a)为以Sa为边界的原始问题，由散射体表面S上的表面电流所决定的散射场Es和Es在Sa外的无界区域B中的分布与等效问题(b)中由Sa上的所决定的B区中的电磁场相同。因此，远区散射场可以从Sa上的等效电流出发进行计算。三、远区场的计算根据(1)式得到的等效面电流和面磁流，可以得到在远区的辐射场为3：式中，R=r-r,r为远区场点的向量，r代表该向量的模值，即r=r；R=R,；r是源点(等效面上)位置的向量；t为时间变量；=R/c表示信号从源点传到场点所需要的时间延迟。实际计算中我们假设条件WT5HXrr成立，利用下列近似：这样，（2）式可以简化为：从上式可以看出，计算远区场的主要任务是求等效电磁流在闭合封闭面上的积分，即：如何利用FDTD计算直接得到的电磁场分量来计算这两个积分是本文的关键。根据FDTD的特点，计算中，在T0，t，2tE(r，T)，在T1/2t，3/2t，得到H(r,T)。由网格的划分方式及其计算过程易知，电场分量和磁场分量在不同的网格点处计算。在矩形网格空间可以考虑选择封闭面S，使得可以在T0，t，2t，时刻在该封闭面上计算nE，即等效磁流M。在时间和空间上取平均，我们同样可以在这些时刻在相同的网格点上计算等效电流J。对于一个确定的r，令首先，我们给出FDTD计算中(5)式的近似表达式式中Jl(t)是所取封闭面S上的第L块面积对J(t)产生的影响，l表示从S上第L块面积上的信号传到r处所需要的时间延迟，即为了得到远区场的时域特性，我们仅在T0，t，2t，保存E和H值是不够的，还必须作一些特殊的处理。由(8)式知道，J(t)的存储可以从时刻开始，设置如下的存储变量由(9)式就可以得到远区场的WT5HXJWT5BX随时间的变化量。下面我们来具体看一下第L小块对(t)的作用。根据上式有：从(11)式可知，J(rl,mt)对(9)式中存储空间的两个分量产生影响，对第m+nl分量的影响为：在计算的每一时间步对这些影响进行计算，就可以得到时域的J(t)值。在实际计算中，我们不妨根据计算时间步数建立相应的数组来实现假想封闭面上的电磁场值向远区场量的转换。根据(11)式，计算中为确定第L小块在远区场量存储空间的位置及影响程度，参数nl和l是非常重要的两个量，因此，首先就要计算这两个分量。为了简化后面的计算，我们把与封闭面六个面上的每一小块相对应的参数按一定方式转换为一维数组，在计算中始终按同一方式进行赋值，就保证了存储变量的统一性。图3给出了FDTD中近区场向远区场转换的流程图。四、计算实例为了检验方法的正确性，我们在数值上作了验证。计算空间为242424的立方体网格，在计算网格的边界用PML吸收边界条件。在网格的中心位置Ez(12,12,12)加入电压脉冲激励，激励源由下面两式确定5：为了计算远区的电磁场，选定了一个包围激励源的666的立方体闭合面。根据流程图，我们程序中第一步完成的就是数组的设定。在所选的封闭面上包含216个小网格，相应的存储、nl和l的就是1216的数组。如前面的分析，利用(7)式即可计算出来。另两个参数可利用下面两式计算：其中函数fix(x)表示对变量x向零取整。由(12)式及(8)式知道，对应于(9)式的存储变量的数组大小决定于计算的时间步数N和nl数组中的最大值，即J(t)是一个维数为1M的数组，其中M=N+max(nl)，函数max(x)表示数组x的最大值。根据需要设置六个这样的数组用来存储等效电磁流对远区影响的六个分量。设定了所需的数组变量，近场到远区场转换中，在闭合面上的关键问题也就解决了。接下来的任务就是执行每一步计算时提取所需的瞬时电磁场值，将其转换为等效电磁流，分别计算这些电磁流对远区的影响并存入对应的存储空间中，最后利用所存储的时间变量计算远区的电磁场。如果需要，可通过Fourier变换求出频域的远区场。图4、5给出了计算曲线。文中首先计算了远区的瞬态场，图4给出了在远区=45，=90位置的场分量E随时间变化的归一化曲线。由图可见，该近远场转换方法较好的保持了激励源的脉冲波形。根据激励源设置的特性，可将其等效成单极子，因此其电磁场分量在空间的分布是已知的。我们分别用时域方法和频域方法计算了电场分量E在空间的归一化分布图，如图5所示。其中(a)给出的是xoy面上的分布图，(b)则给出了xoz面的分布图。对于(a)，需要作特殊交代，在Matlab中绘制归一化分布图，我们发现该曲线与极坐标系的参考圆重合导致曲线不明显，为了使分布曲线清晰可见，我们对归一化的数据统一乘以系数0.9得到了图中的结果。为了便于比较，我们在图中同时给出了相应的理论值。图示曲线表明计算所得到的电磁场分布情况与理论分析相符，进一步分析计算曲线可以看出时域法的计算结果更接近理论值，再次证明该算法的正确性和实用性。五、结束语FDTD在电磁场计算中的应用越来越广泛，对于瞬态问题和宽频问题的计算，为了得到远区的响应，利用频域的近场向远场转换方法要对感兴趣的所有频率点分别计算，重复性工作较多，计算时间长，限制了其应用。本文给出了时域上的具体转换方法，并验证了该方法的正确性。同时，该方法具有通用性，对所有的FDTD计算都实用，为FDTD在宽频和瞬态问题处理中的应用提供了方便。而且，在需要时可以通过Fourier变换非常方便地得到频域的特性。因此，时域转换的实现在一定程度上扩大了FDTD的应用范围，有一定的理论价值和实际意义。参考文献1王长清,祝西里.电磁场计算中的时域有限差分法.北京：北京大学出版社，1994.2K.Umashankar，A.Taflove.Anovelmethodtoanalyzeelectromagneticscatteringofcomplexobjects.IEEETrans.Electromagneticcompat,1982,24(4):406410.3K.S.Yee,D.Ingham,K.Shlager.TimedomainextrapolationtothefarfieldbasedonFDTDcalculations.IEEETrans.Antenna.Propagat,1991,39(3):410413.4R.J.Luebbers,K.S.Kunz,M.SchneiderandF.Hunsberger.Afinitedifferencet