《随机过程总复习》PPT课件.ppt

第二章 随机过程,1 求随机过程的一维、二维分布,例1：利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程,出现正面与反面的概率相等。,第二章课后作业题,例2.,其中A具有以下概率分布,试求 (1)该S.P.的一维分布函数,(2)该S.P.的二维分布函数,解,例3 设随机过程 X(t)=A+Bt, t0,其中A,B 是相互独立的随机变量,且都服从标准正态分布N(0,1).求该随机过程的一维和二维分布,解,对任意的t0, X(t)=A+Bt, 由题意知X(t)是正态分布.,又 EX(t)=0, DX(t)=1+t2,所以S.P.的一维分布为X(t) N(0,1+t2),又对任意的t10, t20, X(t1)=A+Bt1 N(0,1+t12), X(t2)=A+Bt2 N(0,1+t22),(定理 正态变量的线性变换是正态变量) page24 定理1.5.3(3),由A,B独立知, (A,B)服从二维正态分布,所以( X(t1), X(t2) ) 也服从二维正态分布,所以协方差矩阵为,而( X(t1), X(t2) ) 的均值向量为 =(0, 0),所以该S.P.的二维分布为,第二章 随机过程,2 求随机过程的数字特征 均值函数，相关函数,例1：,第二章作业题,例2：设S.P. X(t)=acos(t+). a, 常数, U0, 2 求该过程的均值函数,相关函数,方差函数.,解,第二章 随机过程,3. 判断一个过程为正态过程,举例（书上例题）Page51,独立的r.v.，且都服从正态分布N(0,2),是常数,设S.P.,试证明 该过程是正态过程，并求它的有限维分布,其中A,B为相互,证明Wiener过程为正态过程,第二章 随机过程,4. Possion 过程的数字特征 时间间隔的分布,Poisson过程定义,若计数过程 N(t),t0 满足,是平稳的独立增量过程,服从参数是t 的Poisson分布,即,则称计数过程N(t),t0是参数(强度,比率)为 的Poisson过程.,定理 设 N(t),t0 是参数为 的Poisson 过程，则,定理 (到达时间间隔分布),设N(t),t0 是参数为 的Poisson过程，,是其到达时间间隔序列，则,是相互独立同服从参数为,的指数分布,证明,独立性,由于poisson过程是平稳的独立增量过程,所以相邻两随机点到达时间间隔是相互独立的，故,相互独立.,下证同分布,T1,T2的独立性,平稳性,T1,T2Tn的独立性,平稳性,得证,第二章 随机过程,5. 复合Possion 过程的数字特征,定义 设 N(t),t0 是参数为 的Poisson过程, Yk.k=1,2,是一列独立同分布的随机变量,且与 N(t),t0独立,称 X(t),t0为复合Poisson过程.,例子：（课后作业题）,一家庭主妇用邮局订阅来销售杂志，她的顾客每天按比率6的Possion过程来订约，他们分别1/2, 1/3, 1/6的概率订阅一年，二年或三年，每个人的选择是相互独立的，对于每次订阅，在安排了订阅后，订阅一年，她得到1元手续费，令X(t)表示她在0,t内从销售订阅得到的总手续费，求X(t)的均值函数和方差函数,第三章 随机分析,1. 均方连续、均方可导、均分积分的判别准则以及三者之间的关系,均方连续准则,X(t), tT在t0处均方连续的充要条件是其相关函数RX(s, t)在(t0, t0)处连续.,均方可导准则 X(t),tT均方可导的充要条件是 对任意的tT, RX(s, t)在（t, t)处一阶偏导数存在，二阶偏导数存在且连续,均方可积准则,在a,b上均方可积的充分条件是下列二重积分存在,第三章 随机分析,2. 均方随机微分方程的求解,举例 1.,一阶线性随机微分方程,试求 此微分方程的解,解的均值函数,相关函数以及 一维概率密度函数,解,由公式解为,解,由公式解为,第四章 平稳过程,证明过程是严平稳过程或宽平稳过程. 定理：若X(t), tT是正态过程, 则X(t), tT是严平稳过程的充要条件是X(t), tT是宽平稳过程.,例:设 是参数为 的Wiener过程， 令 其中 为常数， 试证明： 是严平稳过程.,第四章 平稳过程,2. 判断过程的各态历经性,第五章 马尔可夫过程,5.3节11个定理的证明考一个 证明一个过程是齐次马尔可夫过程 求转移概率 判断状态类别与周期分解 求平稳分布，并判断平稳分布是否唯一,例1：设Yn, n=0,1,2.是直线上的整数格子点上的随机游动，即,则Yn, n=0,1,2.是一齐次马尔可夫链,证明： S, -2, -1, 0 1 2 ,例2：甲乙两人进行一种比赛，设每局比赛甲胜的概率是p, 乙胜的概率是q， 和局的概率是r， 且p+q+r=1, 设每局比赛胜者记1分，负者记1分，和局记零分。当有一人获得2分时比赛结束。以Xn表示比赛至n局时甲获得的分数，则Xn, n=1,2.是齐次马尔可夫链.,解：S-2, -1, 0, 1, 2,1) 写出状态空间 2) 求出二步转移矩阵 3) 求甲获1分时，再赛两局可以结束比赛的概率.,(3) 经二局结束比赛包括两种情形： 甲得1分经二步转移至得2分而结束比赛， 或甲得1分经二步转移至得2分而结束比赛，,例3：设Xn,n0是一齐次马尔可夫链，状态空间为S0 1 2, 其一步转移概率矩阵为,则极限分布为：,状态0的周期为：1,平均返回时间为：7.5,1,0,2,例4：设状态