(教材资料)计算机模拟在数学建模中的应用

收稿日期: 2003 - 09 - 02 基金项目:海南大学20022003年度教学研究项目 “数学建模教育及对学生综合能力培养的 研究与实践” 资助 作者简介:欧宜贵(1965 - ) ,男,湖北钟祥人,海南大学信息科学技术学院副教授,博士. 第22卷 第1期海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版Vol.22 No.1 2004年3月NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN UNIVERSITYMar.2004 文章编号:1004 - 1729(2004)01 - 0089 - 07 计算机模拟在数学建模中的应用 欧宜贵,李志林,洪世煌 (海南大学 信息科学技术学院,海南 海口570228) 摘 要:阐述了计算机模拟在数学建模中的作用,给出了蒙特卡洛方法和离散系统模拟方法实 现的具体过程,并通过具体的实例分析,说明计算机模拟方法在数学建模中的有效性. 关键词:计算机模拟;数学建模;蒙特卡洛方法;离散系统; Matlab 6.0 中图分类号: O 141 文献标识码: A 1 概 述 计算机科学技术的迅猛发展,给许多学科带来了巨大的影响.计算机不但使问题的求解变 得更加方便、 快捷和精确,而且使得解决实际问题的领域更加广泛.计算机适合于解决那些规模 大、 难以解析化以及不确定的数学模型.例如对于一些带随机因素的复杂系统,用分析方法建模 常常需要作许多简化假设,与面临的实际问题可能相差甚远,以致解答根本无法应用,这时模拟 几乎成为人们的唯一的选择.在历届的美国和中国大学生的数学建模(MCM)中,学生们经常用 到计算机模拟方法去求解、 检验等.计算机模拟(computer simulation)是建模过程中较为重要的一 类方法(见文献1) . 图1 计算机模拟流程图 所谓计算机模拟,就是用计算机程序在计算机 上模仿各种实际系统的运行过程,并通过计算了解 系统随时间变化的行为或特性.它是在已经建立起 的数学、 逻辑模型之上,通过计算机实验,对一个系 统按照一定的决策原则或作业规则,由一个状态变 换为另一个状态的行为进行描述和分析. 计算机模拟实质上是计算机建模,而计算机模 型就是计算机方法和理论(如程序、 流程图、 算法 等 ) , 它是架于计算机理论和实际问题之间的桥梁. 它与数学建模的关系如图1 : 一般说来,在下列情况中,计算机模拟能有效 地解决问题. 1) 难于用数学公式表示的系统,或者没有建立和求解数学模型的有效方法; 2) 虽然可以用解析的方法解决问题,但数学的分析与计算过于复杂,此时计算机模拟可能 提供简单可行的求解方法; 3) 希望能在较短的时间内观察到系统发展的全过程,以估计某些参数对系统行为的影响; 4) 难以在实际环境中进行实验和观察时,计算机模拟是唯一可行的方法,例如太空飞行的 研究; 5) 需要对系统或过程进行长期运行比较,从大量方案中寻找最优方案. 计算机模拟是系统随时间变化而变化的动态写照,因此,在通常情况下,模拟是按时间来划 分的.目前,计算机模拟大致可分成静态模拟(static simulation)和动态模拟(dynamic simulation) . 数值积分中的蒙特卡洛(Monte Carlo)方法是典型的静态模拟;动态模拟又分为连续系统模拟和 离散系统模拟.下面将主要讨论数学建模竞赛活动中经常用到的Monte Carlo方法和离散系统的 模拟方法.实际上,对连续系统的模拟,是将连续状态变量在时间上进行离散化处理,并由此模 拟系统的运行状态. 2 Monte Carlo方法 Monte Carlo方法是计算机模拟的基础,其历史源于1777年法国科学家蒲丰提出的一种计 算圆周率的方法 随机投针法,即著名的蒲丰投针问题(见文献2) . Monte Carlo方法的基本思想是首先建立一个概率模型,使所求问题的解正好是该模型的参 数或其他有关的特征量.然后通过模拟一统计,即多次随机抽样实验,统计出某事件发生的百分 比.只要实验次数很大,该百分比便近似于事件发生的概率.这实际上就是概率的统计定义. Monte Carlo方法属于试验数学的一个分支. 例如,为了对蒲丰投针问题进行模拟,我们先要建立如下的概率模型: 设 “X” 是一随机变量,它服从区间0, a/2上的均匀分布.同理,是服从区间0,上的 均匀分布.按照某种抽样法,产生随机变量的可能值,例如进行n次抽样,得到样本值 ( x i,i ) , i=1,2, n ,统计出满足不等式:xi l 2 sini的次数m ( m = - 36) %在整个抛物线上(y0 = - 3636) ,寻找能够到达B点和C点的反射点. fc= 1350810000 - 93600003y0 - 14982003y03y0 +y04 ; yfc=y0 + 120003(15 -y03y0/60)3(- 11700 - 75003y0 + 133y03y0) / fc; % yfc为反射后能够到达C点的入射光线与直线x= 15的交点的纵坐标 if(abs(yfc) =M) end l=l+dl; %dl表示点光源间的间隔 end l;dotc ;dotb; 通过反复实验、 比较,我们可以找到满足设计要求的最优线光源长度约为L= 2l= 2 1.97 =3.94 mm(对应于dy0 = 0. 01 mm ,dl= 0. 01 mm ,M= 1670) .此时,光线到达B、C两点的 光强度之比约为21 ,完全符合题设条件. 总之,数学建模使用计算机使得求解更加方便、 快捷和精确,进而使得解决问题的领域扩 大,从连续、 离散确定性领域到随机的非确定性领域,计算机模拟正是处理这类问题的重要方 法. 参考文献: 1刘来福,曾文艺.数学模型与数学建模M.北京:北京师范大学出版社,2002. 2谢国瑞,郝志峰,汪国祥.概率论与数理统计M.北京:高等教育出版社,2002. 3王沫然.Matlab 6. 0与科学计算M.北京:电子工业出版社,2001. 4近藤次郎.数学模型M.北京:机械工业出版社,1985. 5赵静,但琦,严尚安,等.数学建模与数学实验M.北京:高等教育出版社,2000. 6胡运权,郭耀煌.运筹学教程M.北京:清华大学出版社,1998. 7叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材(四) M.长沙:湖南教育出版社,2001. 8杨方廷,侯立华,韩军,等.北京SARS疫情过程的仿真分析J .系统仿真学报,2003 ,15(7) :991 - 994. 9陈吉荣,杨方廷,战守义,等.北京SARS仿真模型的参数和初始值的处理J .系统仿真学报,2003 ,15(7) : 995 - 998. An Application of the Computer Simulation to the Mathematical Modelling OU Yi2gui , LI Zhi2lin ,HONG Shi2huang (College of Information Science and Technology ,Hainan University , Haikou570228, China) Abstract : The paper states the importance of computer simulation in mathematical modelling , presents the operational procedures of the Monte Carlo and the discrete system simulation method. Its effectiveness in mathematical modelling is ill