《概率论与数理统计》.ppt

第5章 数理统计初步,5.2 统计推断,统计推断包括：参数估计和假设检验 5.2.1参数估计 总体 的分布函数形式已知或未知，估计该总体 分布的未知参数或总体的某些数字特征的问题，称 为参数估计问题 参数估计分：点估计和区间估计 一、参数的点估计 1点估计的概念 设 为总体 分布中的未知参数，即待估参数，,从总体 中抽取一个样本 ，相应 的一个样本观察值为 利用样本 构造适当的统计量 ，用 它的观察值 来估计未知参数 的方 法称为点估计称统计量 为 的估计 量，称 为 的估计值在不致混淆的 情况下，统称估计量与估计值为估计，简记 为 2矩估计法数字特征法 矩估计法就是利用样本矩来估计对应的总体矩,设总体 的一个样本为 ，总体矩 为 ，样本矩为 则令 ， 为未知参数的个 数 （1）一个未知参数 解方程 ，便得到矩估计 例3 设 为来自总体 的样本， 求 的矩估计 解 ，令 ，即 ，解 得 ，所以 的矩估计为 ,（2）两个未知参数 解方程组 便可得到矩估计，其中 例4 设总体 的密度函数为,为来自总体 的样本，求 的 矩估计 解,令,得,解得,的矩估计为,，,的矩估计为,例5 已知某批灯泡寿命 ，今从中抽取4只进行寿命试验，测得数据如下：（单位：小时）1502，1453，1367，1650，试估计参数 和 解 由方程组 可直接得出 和 的 矩估计 的矩估计： （1502+1453+1367+1650）=1493（小时）， 的矩估计： =,=,= = 10551.5（小时平方） 3点估计的优良标准 对于给定的总体未知参数，点估计的求法不近 相同，那么就有必要给出评价同一参数不同的 点估计量好坏的标准 （1）无偏性 估计量是一个随机变量，对于不同的样本观察 值得到的参数估计值也是不同的，但总希望这 些值能在待估计的参数真值附近摆动，且这种 摆动尽可能地小，这就是无偏性的概念,定义6 设 为未知参数 的估计量，若 ，则称 为 的无偏估计 定理4 样本均值是总体均值的无偏估计；样 本方差是总体方差的无偏估计 （2）有效性 定义7 设 是 的两个无偏估计量， 若 ，即 ,则称 较 有效 例6 设总体 的数学期望和方差分别为 和 ， 为来自总体 的容量为 的样本，问下面参数 的三个无偏估计量,中哪一个更有效？ 解 容易验证 皆为 的无偏估计， 分别求它们的方差 = = ， 同理有,， ， 故 ， 所以 最为有效,二、参数的区间估计 置信区间 设总体分布中含有一个未知参数 ， 若由样本确定的两个统计量 及 ，对于给定 的有 ， 则称区间 为 的置信水平为 的置信区 间，称 和 为 的 置信限（分别称 ， 为 置信下限及置信上限），称 为置信水平（或 置信度）,1.单个正态总体参数的区间估计 设总体 ， 为来自 的一 个样本 （1） 的区间估计 1）当 已知时，求 的置信水平为 的置信 区间 由 ，所以 ， 而统计量,由标准正态分布的特点（如图5.2.1），对于给定的 ，查附表得 ，使 即 由不等式 转化为等价形式 ，,可得 的置信区间 ,图5.2.1,例7 从长期生产实践中知道，某厂生产的滚 珠，其直径 服从正态分布 ，现从某天 的产品中随机抽取6个，测得直径为 14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1（单位：mm）， 试求滚珠的平均直径的置信水平为95%的置信区 间 解 ， 因为 ， 所以 ，,则 ， ， 即滚珠平均直径的置信水平为95%的置信区间 为 也就是说，滚珠直径的均值 落在 mm 与 mm之间的机会约为95%,2）当 未知时，求 的置信水平为 的置 信区间 因为 未知，可用 的估计量 来代替 ，而用随机变量 来代替1）中的统计量 ，这时 不再服 从 ，但是当 时，可以证明,的概率密度为 由 分布的特点（如图5.2.2） 其中 可查 分布表得到,于是 的 置信区间为 ,图5.2.2,例8 今从某机器所生产的一批产品中抽取9件 产品，分别秤得重量为（单位：公斤）： 52.1 50.5 51.2 49.7 49.5 50.5 58.7 50.5 48.3 试求产品平均重量的95%的置信区间 解 因为 未知，所以不能用统计量 ，而应用统计量 ， 由于 ， ， 又由 ， 及自由度 ，查 分布表得,因此 ， 即 表示产品平均重量在 公斤与 公斤之间的机会约为95% （2）方差 的区间估计 设 ，当 未知时，求 的 置信区 间，用 的无偏估计量 求置信区间，可以证 明随机变量,的概率密度为 且 对给定的 ，由 分布的上侧 分位数 （如图5.2.3）的定义，得,即 ， 从而得方差 的 置信区间为 ， （5.2.1） 其中 ， 可查 分布表,图5.2.3,因为 ，故（5.2.1）式可写作 （5.2.2） （3）标准差 的区间估计 由（5.2.1）式，可得标准差 的 置信区 间为,由（5.2.2）式，又可得标准差 的 置信 区间为 例10 对上例求产品重量的均方差 的95%的置 信区间 解 因为 ，查 分布表得,， 于是 ， ， 所以产品重量的均方差 的95%的置信区间 为 ,2两个正态总体均值差和方差比的区间估计 设总体 ， ， 与 分别为来自总体 与 的两个独 立样本 （1）两个正态总体均值差 的区间估计 1）总体方差 ， 已知 设 ， 分别为两个样本的均值，因为 ， 分 别为 的点估计，故取 为 的点估 计，且,由此可知 ， 所以 对于给定的置信度 ， 有,即 由此得到 的置信度为 的置信区间为,（5.2.3）,2）总体方差 ， 未知 当 都比较大时（一般 ），可分别用 作为 ， 的点估计，再利用 （5.2.3）式作出区间估计 ， 未知，但 ，由5.1.5中定理3，可知 其中 分别为两个样本的方差,对给定的置信度为 ，有 ， 所以 的置信度为 的置信区间为 其中,，,（2）两个正态总体方差比 的区间估计 设正态总体 ， ，参数 ， 都未知，从中分别抽取容量为 和 的样本，两样本相互独立，修正样本方差分 为 ， 可以证明 ， 于是，对给定的置信度 ，由,取 （如图5.2.4） 由 分布表可查得 ，,图5.2.4,从而 ， 于是 ， 所以， 的置信度为 的置信区间为,例11 甲、乙两厂的同类产品的某项质量指标