《矩阵运算的基础》PPT课件.ppt

第二章 矩阵运算的基础,MATLAB提供了一种计算机高级编程语言M语言 MATLAB提供了不同类型的数据 MATLAB专门以矩阵作为基本的运算单位 MATLAB提供了关于数组和矩阵不同的运算方法,一.概述,在M语言中最常用的数据类型表现手段和形式就是变量和常量 M语言的基本处理单位是数值矩阵或者数值向量 回顾有关概念 变量和常量 数组 向量 矩阵,变量和常量 变量：程序运行过程中需要改变数值的量 每一个变量都具有一个名字 变量在内存中占据一定的空间 变量必须以字母开头，后面可以是字母、数字或者下划线的组合 MATLAB仅识别前面N个字符，在不同的操作系统下可以识别的字符个数不同 常量：在程序运行的过程中不需要改变数值的量 常量具有名字 在M语言中不存在常量的定义，只在MATLAB中提供一些常用的常数作为常量,数组 是有序数据的集合 数组的每一个成员（元素）都属于同一种数据类型，它们使用同一个数组名称和不同的下标来唯一确定数组中的成员（元素）。 在MATLAB中元胞数组比较特殊，数组中的元素可以是不同的数据类型。,向量 从编程语言的角度上看，向量其实就是一维数组 从数学的角度上看，向量就是1N或者N1的矩阵，即行向量或列向量 b1，1 b2，1 B= b3，1 和B=b1，1 b1，2 b1，3 b1，n bn，1,矩阵 是用一对圆括号或方括号括起来，符合一定规则的数学对象 b11 b12 b13 B= b21 b22 b23 b31 b32 b33 对于编程语言，矩阵就是二维的数组,二.矩阵和向量创建,1.向量的创建 （1） 在命令窗口逐个输入元素 X= 1 3 pi 3+5i （2） 利用冒号运算符创建向量 X=J:INC:K J为向量的第一个元素，K为向量的最后一个元素，INC为向量元素递增的步长 J、INC、K之间必须用“:”间隔 若忽略INC，则默认的递增步长为1 INC可以为正数，也可以为负数 X=1:10 X=1:0.01:1.1,(3)定数线性采样法：在设定的“总点数”下，均匀采 样生成向量（一维“行”数组） 使用函数linspace 和logspace linspace是用来创建线性间隔向量的函数 linspace 的基本语法 X=linespace(X1，X2，n) X1为向量的第一个元素，X2为向量的最后一个元素，n为向量具有的元素个数，函数将根据n的数值平均计算元素之间的间隔，间隔计算公式为 若在表达式中忽略参数n，则系统默认地将向量设置为100个元素,使用linspace函数创建向量 X=linspace(1，2，5) X= 1.0000 1.2500 1.5000 1.7500 2.0000,logspace是用来创建对数空间的向量 logspace 的基本语法 X=logspace(X1，X2，n) 该函数创建的向量第一个元素值为10X1，而最后一个元素的数值为10X2，n为向量的元素个数，元素彼此之间的间隔按照对数空间的间隔设置 若在表达式中忽略参数n，则系统默认地将向量设置为50个元素,例使用logspace函数创建向量 X=logspace(1，3，3) X= 10 100 1000,创建列向量 使用分号作为元素与元素之间的间隔 使用转置运算符“ ” 例2-6： A=1；2；3；4；5；6 或 A=(1:6) ,2.创建矩阵 矩阵的元素可以为任意MATLAB数据类型的数值或对象 创建矩阵的方法 直接输入法 使用数组编辑器,(1 )直接输入法 规则： 整个矩阵的元素必须用 括住 同一行的矩阵元素之间必须用逗号或空格分隔 在 内矩阵的行与行之间必须用分号分隔，也可以在需要分行的地方用回车键间隔 矩阵元素可以是任何MATLAB表达式 ，可以是实数 ，也可以是复数，复数用i，j 输入 例2-7： A = 1，2，3 ； 4，5，6；7，8，9 X = 2 pi/2 ； sqrt(3) 3+5i ,逗号和分号的作用 逗号和分号可作为指令间的分隔符，MATLAB允许多条语句在同一行出现。 分号如果出现在指令后，屏幕上将不显示结果。 只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都会存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。变量名尽可能不要重复，否则会覆盖 。 例2-8： A = 1,2,3;4,5,6;7,8,9,X= 2 pi/2;sqrt(3) 3+5i ？ A = 1,2,3;4,5,6;7,8,9;X= 2 pi/2;sqrt(3) 3+5i ？,例： A = 1,2,3;4,5,6;7,8,9,X= 2 pi/2;sqrt(3) 3+5i A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X = 2.0000 1.5708 1.7321 3.0000 + 5.0000i A = 1,2,3;4,5,6;7,8,9;X= 2 pi/2;sqrt(3) 3+5i X = 2.0000 1.5708 1.7321 3.0000 + 5.0000i,冒号的作用 用于生成等间隔的向量，默认间隔为1。 例2-9： y = 1:3；4:6；7:9,矩阵的基本运算 函数 基本数学运算规则 数组的运算 运算函数 运算指令,三.基本运算,矩阵生成函数示例 A=zeros(3) A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A=ones(3) A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1, A=eye(3) A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A=rand(3) A = 0.9501 0.4860 0.4565 0.2311 0.8913 0.0185 0.6068 0.7621 0.8214, A=randn(3) A = -0.4326 0.2877 1.1892 -1.6656 -1.1465 -0.0376 0.1253 1.1909 0.3273,矩阵生成函数示例 A=magic(3) A = 8 1 6 3 5 7 (15) 4 9 2 A=magic(4) A = 16 2 3 13 5 11 10 8 (34) 9 7 6 12 4 14 15 1,基本矩阵运算,1. 矩阵加、减运算 （AB、AB） 规则： 相加、减的两矩阵必须有相同的行和列，两矩阵对应元素相加减。 MATLAB允许参与运算的两矩阵之一是标量，标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。 例：A=1 2 3；4 5 6 B=3 4 5；7 8 9 C=3 A+B=4 6 8；11 13 15 A+C=4 5 6；7 8 9 B+C=6 7 8；10 11 12,2.矩阵乘运算 A*B：A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数。 s*A 或 A*s：标量可与任何矩阵相乘，标量s分别与矩阵A每个元素相乘。 例： A = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 0 ; B= 1; 2; 3 ; C = A*B C = 14 32 23 D = -1; 0; 2 ; F = pi*D F = -3.1416 0 6.2832,基本矩阵运算（续）,3. 矩阵除运算及线性方程组的解 在线性代数中没有矩阵的除运算，只有矩阵逆的运算，在MATLAB中有两种矩阵除运算。 A/B 矩阵右除，相当于 Ainv(B) AB 矩阵左除，相当于 inv(A)B 因此，x = AB 是线性方程组Ax=B的解。 例：求解方程组 3x1 + x2 - x3 = 3.6 x1 + 2x2 + 4x3 = 2.1 -x1 + 4x2 + 5x3 = -1.4 A = 3 1 -1 ; 1 2 4 ; -1 4 5 ; B = 3.6 ; 2.1 ; -1.4 ; x = AB x = 1.4818 -0.4606 0.3848,基本矩阵运算（续）,4.矩阵乘方 An A自乘n次幂 例 a = 1, 2, 3 ; 4, 5, 6 ; 7, 8, 9 ; a2 ans = 30 36 42 66 81 96 102 126 150,基本矩阵运算（续）,数组运算指元素对元素的算术运算，与通常意义上的由符号表示的线性代数矩阵运算不同。 1. 数组加减（+ ，-）运算 规则： 相加、减的两数组必须有相同的行和列，两数组对应元素相加减。 MATLAB允许参与运算的两数组之一是标量，标量与数组的所有元素分别进行加减操作 A+B A- B,基本数组（元素群）运算,与矩阵加减运算等效，数组之一也可为标量。,2. 数组乘 () 运算 AB A，B两数组必须有相同的行和列，两数组相应元素相乘。 sA 或 As 标量与数组相乘，标量s分别与数组A每个元素相乘，与 sA 或 As 相同。 例16：A = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ; B = 2 4 6; 1 3 5; 7 9 10 ; A.*B ans = 2 8 18 4 15 30 49 72 90,A = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ; B = 2 4 6; 1 3 5; 7 9 10 ; A*B ans = 25 37 46 55 85 109 85 133 172,3. 数组除(/ ， )运算 C=A./B 数组右除 C(i,j) = A(i,j)/B(i,j) C=A.B 数组左除 C(i,j) = B(i,j)/A(i,j) A./ B=B. A A./s = s.A A的元素分别被标量s除 s./A = A.s 标量s分别被A的元素除 例：A = 1 2 3 ; B = 4 5 6 ; C1 = A./B C1 = 0.2500 0.4000 0.5000 C2 = B.A C2 = 0.2500 0.4000 0.5000 C3 = A.B C3 = 4.0000 2.5000 2.0000, A = 1 2 3 ; B = 4 5 6 ; A/B ans = 0.4156 AB ans = 0 0 0 0 0 0 1.3333 1.6667 2.0000,4. 数组乘方（.） A.n A的每个元素自乘n次 A.p 对A各元素分别求非整数幂 p.A 以p为底,分别以A的元素为指数求幂值 C = A.B 元素对元素的幂 C(i,j) = A(i,j) . B(i,j) 例：A = 1 2 3 ; B = 4 5 6 ; X = A.2 X = 1.00 4.00 9.00 Y=A.0.5 Y = 1.0000 1.4142 1.7321,C = 3.B Y = 81.00 243.00 729.00 34 35 36 Z = A.B Z = 1.00 32.00 729.00 14 25 36,5. 数组转置（.） 例： A=1 3 5;2 4 6 A = 1 3 5 2 4 6 A ans = 1 2 3 4 5 6 A. ans = 1 2 3 4 5 6,结论：对于实数矩阵，矩阵转置和数组转置的计算结果是一致的。,例： A=A*i A = 0 + 1.0000i 0 + 3.0000i 0 + 5.0000i 0 + 2.0000i 0 + 4.0000i 0 + 6.0000i A ans = 0 - 1.0000i 0 - 2.0000i 0 - 3.0000i 0 - 4.0000i 0 - 5.0000i 0 - 6.0000i A. ans = 0 + 1.0000i 0 + 2.0000i 0 + 3.0000i 0 + 4.0000i 0 + 5.0000i 0 + 6.0000i,结论：对于复数矩阵，矩阵转置和数组转置的计算结果不一致。 矩阵转置运算共轭转置 数组转置运算非共轭转置,函数的主要类别 三角函数 指数运算函数 复数运算函数 圆整