高考数学第6章不等式、推理与证明第3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题教学案.docx

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考纲传真1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的相关概念名称意义约束条件由x，y的一次不等式组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题常见结论1确定二元一次不等式表示的平面区域位置的方法把二元一次不等式AxByC0(0)表示为ykxb或ykxb的形式若ykxb，则平面区域为直线AxByC0的上方；若ykxb，则平面区域为直线AxByC0的下方2点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线AxByC0的两侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0；位于直线AxByC0同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)线性目标函数的最优解可能不唯一()(3)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()(4)不等式x2y20表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)不等式组表示的平面区域是()Cx3y60表示直线x3y60左上方的平面区域，xy20表示直线xy20及其右下方的平面区域，故选C3点(2，t)在直线2x3y60的上方，则t的取值范围是_直线2x3y60上方的点满足不等式yx2，t(2)2，即t.4在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是_1不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由x1，xy0得A(1，1)，由x1，xy40得B(1，3)，由xy0，xy40得C(2，2)，|AB|2，SABC211.5设x，y满足约束条件则zxy的最大值为_3根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由zxy得yxz.作出直线yx，并平移该直线，当直线yxz过点A时，目标函数取得最大值由图知A(3,0)，故zmax303.二元一次不等式(组)表示的平面区域1不等式组所表示的平面区域的面积等于()ABCDC由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A，B(1,1)，C(0,4)，则ABC的面积为1.故选C2若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()Aa5Ba7C5a7Da5或a7C如图，当直线ya位于直线y5和y7之间(不含y7)时满足条件，故选C3已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为3，则实数k的值为_直线kxy20恒过点(0,2)，不等式组表示的平面区域如图所示，则A(2,2k2)，B(2,0)，C(0,2)，由题意知2(2k2)3，解得k.规律方法确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点求目标函数的最值问题考法1求线性目标函数的最值【例1】(1)(2018全国卷)若x，y满足约束条件则z3x2y的最大值为_(2)(2018北京高考)若x，y满足x1y2x，则2yx的最小值是_(1)6(2)3(1)画出可行域，如图中阴影部分所示作出直线3x2y0并平移，结合图像可知，当平移后的直线经过点B(2,0)时，直线z3x2y在y轴上的截距最大，z取得最大值，即当时，zmax3206.(2)x1y2x可化为其表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z2yx，易知z2yx在点A(1，2)处取得最小值，最小值为3.考法2求非线性目标函数的最值【例2】实数x，y满足(1)若z，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；(2)若zx2y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围解由作出可行域，如图中阴影部分所示(1)z表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)由得B(1,2)，所以kOB2，即zmin2，所以z的取值范围是2，)(2)zx2y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方因此x2y2的最小值为OA2，最大值为OB2.由得A(0,1)，所以OA2()21，OB2()25，所以z的取值范围是1,5拓展探究(1)保持本例条件不变，求目标函数z的取值范围(2)保持本例条件不变，求目标函数zx2y22x2y3的最值解(1)z可以看作过点P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率，所以z的取值范围是(，0(2)zx2y22x2y3(x1)2(y1)21，而(x1)2(y1)2表示点P(1,1)与Q(x，y)的距离的平方PQ2，PQ(01)2(21)22，PQ，所以zmax213，zmin1.考法3求参数的值【例3】(1)已知实数x，y满足若zxmy(m0)的最大值为4，则m_.(2)若实数x，y满足不等式组其中m0，且xy的最大值为9，则实数m_.(1)3(2)1(1)作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影区域所示，由得B(2，2)，同理可得A(2,0)，C(0,2)，因为zxmy(m0)，则yxz，当，即0m2时，zxmy在点A(2,0)处取得最大值2，不合题意，因此m2，此时zxmy在点B(2，2)处取得最大值4.所以22m4，解得m3.(2)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，设zxy，则yxz，当直线yxz经过点A时，xy有最大值，此时xy9，由得A(4,5)，将A(4,5)代入xmy10得45m10，解得m1.规律方法(1)求目标函数的最值的三个步骤作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线平移将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置求值解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值(2)常见的三类目标函数截距型：形如zaxby.求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值距离型：形如z(xa)2(yb)2.表示点(x，y)与(a，b)的距离的平方斜率型：形如z.表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率 (1)(2019长春模拟)若x，y满足约束条件，则zx2y的最小值为_(2)若实数x，y满足约束条件则的最小值为_(3)已知x，y满足约束条件若目标函数z3xy的最大值为10，则z的最小值为_(1)5(2)(3)5(1)不等式组表示的可行域如图阴影部分所示由zx2y得yxz.平移直线yx，易知经过点A(3,4)时，z有最小值，最小值为z3245.(2)作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为表示平面区域内的点与定点P(0,1)连线的斜率由图知，点P与点A连线的斜率最小，所以minkPA.(3)画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：3xy0，平移l，从而可知经过C点时z取到最大值，由解得231m0，m5.由图知，平移l经过B点时，z最小，当x2，y2251时，z最小，zmin3215.线性规划的实际应用【例4】(2017天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解(1)由已知，x，y满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z60x25y.考虑z60x25y，将它变形为yx，这是斜率为，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值就最大又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z60x25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组得则点M的坐标为(6,3)所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多规律方法解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y并列出相应的不等式组和目标函数(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)(5)检验：根据结果，检验反馈 (2016全国卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元216 000设生产产品A为x件，产品B为y件，则目标函数z2 100x900y.作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)当直线z2 100x900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax2 10060900100216 000(元)1(2017全国卷)设x，y满足约束条件则zxy的取值范围是()A3,0B3,2C0,2D0,3B画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示由题意可知，当直线yxz过点A(2,0)时，z取得最大值，即zmax202；当直线yxz过点B(0,3)时，z取得最小值，即zmin033.所以zxy的取值范围是3,2故选B2(2014全国卷)设x，y满足约束条件且zxay的最小值为7，则a()A5B3C5或3D5或3B二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.平移直线xay0，可知在点A，处，z取得最值，因此a7，化简得a22a150，解得a3或a5，但a5时，z取得最大值，故舍去，答案为