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文档简介

第六章 二次型 1二次型的矩阵 合同矩阵,f(x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2+ 2a12x1x2+ +2a1nx1xn+2an-1,nxn-1xn,令,令 aij=aji，记 2aij=aij+aji ,则,则 f=XTAX,实对称阵A叫做二次型f的矩阵，R(A)叫做二次型f的秩。,第六章 二次型1二次型的矩阵 合同矩阵（续1）,形如 f=d1y12+d2y22+dryr2 (rn) 的二次型称为标准形。,若对n阶方阵A和B，存在可逆阵P,使 PTAP=B，则称A与B合同。,定理1 合同矩阵秩相等。,第六章 二次型 2 化二次型为标准形,令X=QY，则 f=XTAX=YTQTAQY=YT Y = 1y12+ 2y22+ nyn2 为标准形。(i为A的特征值),证明：A为实对称阵，存在正交阵Q,使 Q-1AQ= ，即QTAQ= ，,定理2 对n元二次型 f=XTAX，存在正交变换X=QY, 使f化为标准形。,推论：对实二次型 f=XTAX，存在可逆线性变换X=PY, 使f化为标准形:d1y12+d2y22+ dnyn2,(di未必是A的特征值),第六章 二次型 3 惯性定理,f = k1y12+ kpyp2- kp+1yp+12- kryr2 （ki0）,及 f = d1z12+ dqzq2- dq+1zq+12- drzr2 (di0),则p=q.,定理3 设n元实二次型 f=XTAX的秩R(A)=r,，若可逆线性 变换X=BY及X=CZ将f分别化为标准形：,p叫作正惯性指数；r-p叫作负惯性指数； p-(r-p)=2p-r叫作符号差.,第六章 二次型 3 惯性定理 (续1),f = k1y12+ kpyp2- kp+1yp+12- kryr2 （ki0）,则 f = u12+ up2- up+12- ur2,f的标准形中，作可逆线性变换：,称其为f的规范形，是唯一的。,第六章 二次型3 惯性定理（续1）,定理4 设A为n阶实对称矩阵，则下列命题等价： f=XTAX正定； f=XTAX 的正惯性指数为n ； 存在可逆阵P, 使A=PTP; A的n个特征值全大于0。,定义 设f=XTAX 为n元实二次型 ，若对任意n维非零列向量X，均有XTAX0,则称f=XTAX为正定二次型，A为正定矩阵。,第六章 二次型 3 惯性定理（续2）,定理5 实对称阵A正定的充要条件为A的各阶 顺序主子式全大于0，即,a110, |A|0;,例1 判别f=3x
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