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1,第三章 静定梁与静定刚架,截面内力计算 内力图的形状特征 叠加法绘制弯矩图 多跨静定梁 静定刚架内力图,2,1、平面杆件的截面内力分量及正负规定,轴力N 截面上应力沿轴线切向的合力 以拉力为正。,N,N,剪力Q,截面上应力沿轴线法向的合力 以绕隔离体顺时针转为正。,Q,Q,弯矩M 截面上应力对截面中性轴的力 矩。不规定正负，但弯矩图画 在拉侧。,M,M,图示均为正的 轴力和剪力,2、截面内力计算方法：内力的直接算式：,轴力=截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和。,剪力=,截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和，如外力绕截面 形心顺时针转动，投影取正否则取负。,弯矩=,截面一边的所有外力对截面形心的外力矩之和。弯矩及外 力矩产生相同的受拉边。,3.1 截面内力计算,3,例：求截面1、截面2的内力,N2=50,N1=1410.707=100kN,Q1=,M1=125,(下拉）,=50kN,141cos45o,=812.5kNm,+1410.70710,505,5/25,Q2= 141sin45100kN,M2,5m,5m,5m,5m,2,1,5kN/m,50kN,141kN,125kN.m,M2375kN.m （左拉）,45,505,125,1410.7075,375kN.m,+55,1410.707,=25kN,50,4,dN/dx=qx dQ/dx=qy qy向下为正 dM/dx=Q 微分关系给出了内力图的形状 特征,增量关系说明了内力图的突变特征,3）、 积分关系：,由微分关系可得,QB=QAqydx,MBMA+Qdx,右端剪力等于左端剪力减去该段qy,的合力；,右端弯矩等于左端弯矩加上该段,剪力图的面积,3.2 荷载与内力之间的关系,5,内力图形状特征,无何载区段,均布荷载区段,集中力作用处,平行轴线,斜直线,Q=0区段M图 平行于轴线,Q图,M图,备注,二次抛物线 凸向即q指向,Q=0处，M 达到极值,发生突变,P,出现尖点 尖点指向即P的指向,集中力作用截面剪力无定义,集中力偶作用处,无变化,发生突变,两直线平行,m,集中力偶作用面弯矩无定义,在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩 等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。,6,1m,2m,1m,A,B,D,C,q=20kN/m,P=20kN,RA=70kN,RB=10kN,20,50,10,40,30,10,M图 (kN.m),Q图 (kN),（c）,（b）,（a）,m=40kN.m,=5020210kN,= 10+(50+10)22 =50kN.m,10,50,7,1）、简支梁情况,弯矩图叠加，是指竖标相 加，而不是指图形的拼合,M(x)=M(x)+M (x),竖标M，如同M、M一样 垂直杆轴AB，而不是垂直 虚线AB。！,3.3 叠加法作弯矩图,8,2)、直杆情况,(b),因此，结构中的任意直杆段都可以采用叠加法作弯矩图，作法如下：,首先求出两杆端弯矩，连一虚线， 然后以该虚线为基线， 叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。,9,4kNm,4kNm,4kNm,2kNm,4kNm,4kNm,6kNm,4kNm,2kNm,（1）集中荷载作用下,（2）集中力偶作用下,（3）叠加得弯矩图,（1）悬臂段分布荷载作用下,（2）跨中集中力偶作用下,（3）叠加得弯矩图,10,qL,qL,qL/8,qL,qL,M图,Q图,ql2/4,11,M 图 (kN.m),55,5,12,D,F,16kN.m,Q图（kN）,7,36.1,H,x,CE段中点D的弯矩MD=28+8= 36kN.m ，并不是梁中最大弯矩，梁中最大 弯矩在H点。Mmax=MH=36.1kN.m。,均布荷载区段的中点弯矩与该段内的 最大弯矩,一般相差不大,故常用中点弯矩作为最大弯矩！,M图（kN.m）,由 QH=QCqx=0 可得： xQC/q9/42.25(m) MHMC+(CH段Q图的面积） 26+92.252 36.1（kN.m),13,(由基本部分及附属部分组成),将各段梁之间的约束解除仍能平衡其上外力的称为基本部分, 不能独立平衡,其上外力的称为附属部分，,附属部分是支承在基本部分的，其层次图为！,ABC，DEFG是基本部 分，CD，GH是附属部分。,3.4多跨静定梁,14,多跨静定梁是主从结构，其受力特点是：力作用在基本部 分时附属部分不受力，力作用在附属部分时附属部分和基本部 分都受力。,多跨静定梁可由平衡条件求出全部反力和内力， 但为了避免解联立方程，应先算附属部分，再算基本部分。,15,qa,q,qa,qa,qa,qa,qa/4,7qa/4,qa/2,qa/2,qa/2,qa2,qa2,qa2/2,qa2/2,Q图（kN）,M图（kN.m）,16,50,M (kNm),17,例：确定图示三跨连续梁C、D铰的位置，使边跨的跨中弯矩 与支座处的弯矩的绝对值相等,MG可按叠加法求得：,解得：,代入上式：,解得：,18,由于多跨静定梁设置了带伸臂的基本部分，这不仅使中 间支座处产生了负弯矩，它将降低跨中正弯矩;另外减少了附 属部分的跨度。因此多跨静定梁较相应的多个简支梁弯矩分 布均匀，节省材料，但其构造要复杂一些！,19,斜梁：,由整体平衡：,由分离体平衡可得：,斜梁与相应的水平梁相比反力相同，对应截面弯矩相同， 斜梁的轴力和剪力是水平梁的剪力的两个投影。,20,MB,MA,ql2/8,斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制，但叠加的是相应水平 简支梁的弯矩图，竖标要垂直轴线。,21,1、刚架的内部空间大，便于使用。 2、刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，变形小。 3、刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。,一、刚架的特点,几何可变体系,桁架,刚架,3-5 静定平面刚架,22,常见的静定刚架类型： 1、悬臂刚架,2、简支刚架,3、三铰刚架,4、主从刚架,23,二、刚架的反力计算（要注意刚架的几何组成） 1、悬臂刚架、简支刚架的反力由整体的三个平衡条件便可求出。 2、三铰刚架的反力计算,整体平衡,左半边平衡,整体平衡,=3kN,反力校核,C,24,25,3、主从刚架求反力：需要分析其几何组成顺序，确定基本 部分和附属部分。,由附属部分ACD,由整体,校核：,26,三、计算刚架的杆端力时应注意的几点： 注意内力正负规定。正确地选取分离体。 结点处有不同的杆端截面。各截面上的内力用该杆两端字 母作为下标来表示，并把该端字母列在前面。,QDC=6kN NDC=0 MDC=24kN.m（下拉）,QDB=8kN NDB=6kN MDB=16kN.m（右拉）,QDA=8kN NDA=0 MDC=8kN.m（左拉）,注意结点的平衡条件！,27,QDC=6kN NDC=0 MDC=24kN.m（下拉）,QDB=8kN NDB=6kN MDB=16kN.m（右拉）,QDA=8kN NDA=0 MDC=8kN.m（左拉）,X = 88 = 0,Y = 6（6） = 0,M = 248 16 = 0！,28,四、刚架内力图 分段：根据荷载不连续点、结点分段。 定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。 求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。 画图：画M图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直 线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。Q，N图要标 ，号；竖标大致成比例。,1、整体平衡求反力如图,2、定形： 3、求值：,NCA=qa/2， QCA=qaqa=0， MCA=qa2/2（里拉）,NCB=0， QCB=qa/2， MCB=qa2/2（下拉）,29,qa2/2,qa2/2,qa2/8,qa/2,qa,qa/2,M图,N图,Q图,校核：,满足： X0 Y0 M0,在刚结点上,各杆端弯矩和结点集中 力偶应满足结点的力矩平衡。尤其是两 杆相交的刚结点，无结点集中力偶作用 时，两杆端弯矩应等值，同侧受拉。,30,31,作刚架Q、N图的另一种方法：首先作出M图；然后取杆件 为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取 结点为分离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。,MCqa2/2+ QBCa=0 QBC=QCB=qa/2,MCqa2/2+ qa2/2 QACa=0 QAC=（qa2/2+ qa2/2 ）/a =qa MA0 Q CA=（qa2/2 qa2/2 ）/a =0,X0，NCB 0 Y0，NCAqa/2 ,32,N图（kN）,M图（kN.m）,Q图（kN）,MD=6QCD3.350 QCD=1.79(kN)=QDC,MC=6+3 41.5+3.35QEC0 QEC= 7.16kN ME=6 3 4 1.5+3.35QCE0 QCE= 3.58kN,3.13,5.82,33,求图示联合刚 架的弯矩图。,解：1、求反力,2、求内部约束力,取ABC,取BC,解得：,取ABC,同理可得右半部分的约束内力：,8Pa,8Pa,2Pa,2Pa,16Pa,4Pa,34,一、悬臂刚架 可以不求反力，由自由端开始作内力图。,ql,ql,2q,2q,6q,弯矩图的绘制 如静定刚架仅绘制其弯矩图，往往并不需要求出全 部反力，只需求出与杆轴线垂直的反力。,35,二、简支型刚架弯矩图,简支型刚架绘制弯矩图往往只须求出一个于杆件垂直的反力,然后由支座作起,ql2/2,qa2/2,qa2/2,注意:BC杆CD杆的 剪力等于零,弯矩图 于轴线平行,ql2/2,36,三、三铰刚架弯矩图,1 反力计算 1 整体 MA= qa2+2qa22aYB=0 (1) 2 右半边 MB=0.5qa2+2aXB aYB=0 (2) 解方程(1).(2)可得 XB=0.5qa YB=1.5qa 3 在由整体平衡 X=0 解得 XA=0.5qa Y=0 解得 YA=0.5qa,2 绘制弯矩图,qa2,注:三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力,然后由 支座作起！,1/2qa2,0,q,qa,XA,YA,YB,XB,A,C,B,37,M/2,M,M/2,画三铰刚架弯矩图,注: 1：三铰刚架仅半边有荷载，另半边为二力体，其反力沿两 铰连线，对o点取矩可求出B点水平反力，由B支座开始作弯矩图。 2：集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变前后两条线平行。 3：三铰刚架绘制弯矩图时，关键是求出一水平反力！,Mo=m2aXB=0, 得 XB=M/2a,38,qL2/4,qL2/4,=3/4ql,A,O,整体对O点建立平衡方程得 MO=ql1.5l 2lXA=0 得 XA=3ql/4,39,qa2,qa2,qa2/2,qa2/2,M图（kN.m）,四、主从结构绘制弯矩图时，可以利用弯 矩图与荷载、支承及连结之间的对应关系， 不求或只求部分约束力。,40,80kN,20kN,120,90,120,60,180,62.5,M图 kM.m,仅绘M图,并不需要 求出全部反力.,然后先由A.B支座开始 作弯矩图.,先由AD Y=0 得 YA=80kN,再由整体 X=0 得 XB=20kN,MEA=806-206=120,41,4.5qa2,M图,Ph,Ph,Ph,2Ph,右半边Y=0 YB=0YA=0 整体：MA0 3qaa/2XBa0 XB=1.5qa,42,五、对称性的利用：对称结构在对称荷载作用下， 反力和内力都呈对称分布；对称结构在反对称荷载作 用下，反力和内力都呈反对称分布。,ql2/8,43,24kN.m,X,绘制图示结 构的弯矩图,o,12,6,6,12,对称结构在反对称荷载作用下，弯矩图呈反对称分布。,12,44,利用上述内力图与荷载、支承和联结之间的对应关系，可在 绘制内力图时减少错误，,另外，根据这些关系，常可不经计算直观检查,M图的轮 廓是否正确。,M图与荷载情况是否相符。,M图与结点