环境质量评价学012.ppt

环境质量评价与系统分析 （一）,主讲：冯流,2019/7/16,2,环境系统分析及其应用,一、数学模型 二、环境质量基本模型 三、河流水质模型 四、湖泊和水库的水质模型 五、大气质量模型,2019/7/16,3,一、数学模型,1、数学模型的概念 1.1 数学模型的定义和特征 根据对研究对象所观察到的现象及其实践经验，归结而成的、用来反映数量关系和描述对象运动规律的数学公式和具体算法,关于部分现实世界为一定目的而作的抽象、简化的数学结构（E.A本德）,典型实例： 牛顿第二定律； 比尔朗伯定律,2019/7/16,4,1.2 数学模型的分类 按照对机理的认知程度： 白箱模型：如力学、电路理论、研究对象的优化设计与控制问题等 灰箱模型：如化工、交通、经济领域，机理不完全清楚 黑箱模型：如社会、生态等领域中一些机理（指数量关系方面）完全不清楚的现象的描述 按照变量的情况： 离散、连续；确定、随机；线性、非线性；单变量、多变量,按照时间变化对模型的影响： 稳态模型与动态模型 参数定常与参数时变模型 按照精密程度： 集中参数模型：系统的输入能立刻达到系统内各点（常微分方程） 分布参数模型：系统的输入要经过一段时间才能传播到系统内各点（偏微分方程） 2、数学模型的建立,2019/7/16,5,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,数学建模实例：如何预报人口的增长,指数增长模型 马尔萨斯提出 (1798),常用的计算公式,x(t) 时刻t的人口,基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数,今年人口 x0, 年增长率 r,k年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,x(t)S形曲线, x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,阻滞增长模型(Logistic模型),模型检验,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4 (百万),模型应用预报美国2010年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),阻滞增长模型(Logistic模型),2.1 数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，找出反映 内部机理的数量规律，如状态空间法等,将对象看作“黑箱”，通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型， 如逐步回归分析法、时间序列预测法等,二者结合,用机理分析建立模型结构，用测试分析 确定模型参数,2.2 数学建模的一般步骤,模 型 准 备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个 比较清晰 的问题,模 型 假 设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模 型 构 成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,模型 求解,各种数学方法、软件和计算机技术,如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析,模型 分析,模型 检验,与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性,模型应用,如图解法、穷举法、最小二乘法等,2019/7/16,17,3、数学模型的灵敏度分析,估计各种不确定性造成的模型计算结果的偏差 建立低灵敏度高预测精度的数学模型,2019/7/16,18,以下基于最优规划模型进行讨论 其中， 为系统的状态向量，由描述系统的各种状态组成，如河流中的BOD，大气中的SO2浓度等 为系统的决策向量，由系统中可以控制的变量组成，如污染源排放的SO2、BOD的量 为系统的参数向量，由系统中的各种参数组成，如污染物的衰减速率常数K，河流的弥散系数Dz等 G为约束函数，符号s.t 表示系统的约束条件,2019/7/16,19,状态与目标对参数的灵敏度 单变量情形 假设：状态变量和参数的数目都为1，决策变量保持不变，则状态变量和目标都可以表示为参数的函数，即： 式中x*和Z*分别表示相对于参数0的状态变量值和目标函数值,2019/7/16,20,则状态变量（或目标）对参数的灵敏度定义为：在=0附近，状态变量（或目标）相对于原值的变化率和参数相对于0的变化率的比值，即 状态变量对参数的灵敏度： 目标对参数的灵敏度：,2019/7/16,21,当0时，忽略高阶微分项，可得到 式中， 分别为状态变量和目标对参数的一阶灵敏度系数，可反映系统的灵敏度特征,2019/7/16,22,多变量情形 设最优化模型为 其中，G为n维向量函数（即包括n个约束函数）； 为n维状态向量； 为m维决策向量； 为p维参数向量,2019/7/16,23,状态变量（n维）对参数向量（p维）的一阶灵敏度系数组成np阶矩阵： 目标函数对参数向量的一阶灵敏度系数组成p维行向量,2019/7/16,24,作业 1、某河段的BOD降解规律可用公式 表示。若已知河段起点BOD浓度L0=15mg/L，BOD衰减速