曲线积分与曲面积分-2.ppt

1,小结 思考题 作业,预备知识,概念的引入,概念与性质,第二类曲面积分的计算法,两类曲面积分之间的联系,第九章 曲线积分与曲面积分,第五节 第二类曲面积分,2,观察以下曲面的侧,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,通常光滑曲面都有两侧.,(假设曲面是光滑的),一、预备知识,有两侧的曲面.,(1)双侧曲面,1. 曲面的分类,3,(2) 单侧曲面,莫比乌斯(Mobius)带.,B、C 粘在一起形成的环,不通过边界可以,这在双侧曲面上是不能实现的.,它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下,将A、D粘在一起，,行带.,小毛虫在莫比乌斯带上,爬到任何一点去.,Mobius(1790-1868) 19世纪德国数学家,4,规定,2.有向曲面,决定了侧的双侧曲面,有向曲面上任一点处的法向量的方向总是指向曲面指定的一侧。,5,3. 有向曲面在坐标面上的投影,设是有向曲面.,假定,的余弦,上各点处的法向量与 z轴的夹角,有相同的符号.,在有向曲面,取一小块,(上侧),(下侧),在xOy面上的投影,在xOy面上的投影区域的面积附以一定的,实际上就是,正负号.,6,类似地,可定义 在yOz面及zOx面的投影:,希自己写出,7,流向曲面一侧的流量.,流量,实例,( 为平面A的单位法向量),(斜柱体体积),(1),流速场为常向量,有向平面区域 A,求单位时间流过A的流体的质量,(假定密度为1).,二、概念的引入,8,(2) 设稳定流动的不可压缩流体,给出,函数,(假定密度为1),的速度场由,当,不是常量,曲面,求在单位,时间内流向,指定侧的,流体的质量,是速度场中的一片有向曲面,9,分割,则该点流速为 ，,法向量为,10,求和,取近似,该点处曲面的单位法向量,高,底,通过流向指定侧的流量,取极限,11,上式右端极限恰好是数量值函数,在曲面上的第一类曲面积分，,故 可表为,12,二、第二类曲面积分的概念和性质,在上有界，,向量值函数,是定向曲面上点,处的单位法向量，,如果第一类曲面积分,存在，,则称此积分为,向量值函数,在定向曲面上的积分，,也称为,第二类曲面积分,或,对坐标的曲面积分,13,记作,即,则由定义,如曲面为封闭曲面:,14,前面讲过，,如果在曲面上取一微元dS,则dS在xOy,yOz, zOx面上投影的面积分别为,所以，,有向曲面微元dS在xOy面上的有向投影为,有向曲面微元dS在yOz,zOx面上的有向投影分别为,15,所以，,两类曲面积分之间的联系,其中,不论哪一侧都成立.,坐标形式,16,4.物理意义,如:上述流向指定侧的流量为:,也可写成,有向曲面元,向量的形式,3. 存在条件,在有向光滑,连续,第二类曲面积分存在.,17,5.性质,当曲面垂直于xOy平面时，,(1),表示相反的一侧,(2),其有向曲面微元dS,在xOy平面上的投影,同理，,当曲面垂直于zOx平面时,当曲面垂直于yOz平面时,18,四、第二类曲面积分的计算法,化为二重积分计算.,设定向曲面分片光滑，且向量值函数,在上连续。,计算第二类,曲面积分,步骤：,先分别计算,然后将它们相加。,19,求xy型积分,(1),(2),20,第二类曲面积分,必须注意曲面所取的,侧.,于是，,上侧为正下侧为负,前侧为正后侧为负,右侧为正左侧为负,21,计算第二类曲面积分时:,(1) 认定对哪两个坐标的积分,将曲面表为 这两个变量的函数,并确定的投影域.,(2) 将 的方程代入被积函数,化为投影域上 的二重积分.,(3) 根据的侧(法向量的方向)确定二重积分 前的正负号.,总结：,一投，,二代，,三定向。,22,解,投影域,例,计算,其中是球面,外侧在,的部分.,23,24,时，,按前面的方法计算,需先把分别向yOz, zOx, xOy平面投影，,比较麻烦。,下面给出比较简单的计算公式。,上各点处的单位法向量,由于,取上侧，,则,(1),25,于是，,其中符号当取上侧时为正，下侧时为负。,优点：,只需将曲面向xOy面投影。,26,其中符号当取右侧时为正，左侧时为负。,(2),(3),其中符号当取前侧时为正，后侧时为负。,27,解,例,下侧.,28,由对称性,29,例,其中,解,法一,直接用第二类曲面积分计算法.,在第一卦限部分的,上侧.,所以，,30,法二,利用两类曲面积分的联系计算.,取上侧,锐角.,31,32,则,符号的正负与曲面的定侧相对应。,33,关于曲面侧的性质,六、小结,第二类曲面积分的计算,第二类曲面积分的概念,四步:分割、取近似、求和、取极限,思想: 化为二重积分计算;,注意:,“一投,二代,三定号”,第二类曲面积