“留白艺术”在数学课堂中的应用

“留白艺术”在数学课堂中的应用作者：佚名【前言】：“留白”原是国画创作的一种构图方法，给观赏者留下视觉延伸的空间，提供了一个深远的意境让读者去思考，去想象，让读者和自己共同完成作品美学价值的再创造。在想象里观赏者把自己的心情揉入画卷，丰富了画面的意境，提升了画面的美感。古今往来，艺术大师往往都是留白大师，如齐白石先生的画，留白处言有尽而意无穷，空灵虚幽，虚实相映，方寸之间彰显天地之宽。我的“留白”来自于教学中的一次偶然事件二个月前的一天晚上，为准备绍兴市骨干教师培训班上的一节公开课一元一次方程复习，我在课件制作中出了个小问题，本想把日历中的几个数用长方形圈出来并填充着色，但着色后数字被覆盖再也无法显示。我绞尽脑汁地试了许多方法，但无济于事。（1）月历中的某数、它左上方的数、它右下方的数的和为42，这个数是几？（2）月历中某列4个数的和为58，这4个数是几？（3）在这月历中能否用长方形圈出四个数，使这四个数的和为102，说出你的理由我决定将错就错，在“空白”的地方设置一个问题，让学生通过观察并思考，“这空白的地方应该是什么数，为什么？”我这样设置的原因有两个，其一，能引起学生的主动思考，在学生观察思考的过程中，自然会找出月历中的规律，而这正是解决下面问题的关键；其二，能降低题目的难度，合理地设计台阶。课堂实践证明这样处理是非常成功的，学生不仅发现月历中数字的横排是按1到31的顺序依次排列，所以空白的地方应是22和23,而且还从竖列中发现上下两个数相差都是7。由这个规律作为铺垫，后面列一元一次方程显得轻而易举。通过此题的探究，学生还发现了月历中斜的三个数的表示，用长方形框出的六个数、九个数的表示等等。从中我深深地感到：留出足够的空白，使教学过程中拥有更多生成的东西。新的课程观强调，课堂是师生共建新知识的过程。给学生一定的开发创造的时间和空间，放手让学生自主学习，能发展学生的问题意识、创造力和想象力。在教学中留下空白，使学生有更多的机会去发挥自已的创造性，在创造的过程中去体验成功，并让成功的体验不断激发学生的创新欲望。“留白”艺术在课堂教学中同样存在着广阔的应用前景。一千个读者就有一千个哈姆莱特课堂教学中我的“布白”尝试从此，我在课堂教学中不断地进行“布白”尝试，首先把固定的问题结论留作空白。案例一：四边形ABCD中，已知ABCD，若要使四边形ABCD为平行四边形，则再增加的一个条件可以是学生的答案有：ADBC；ABCD；A=C;B=D;A+D=180；B+C=180等六种之多。评述：老师对ADBC和ABCD两种答案能估计到，后面的四个答案出乎老师的预料，可见学生不同的个性差异对知识的理解是不同的，不同的知识层次选择不同的切入点导致了不同的结果。或许课堂探究的魅力就在这里，通过交流，每个同学都获得了最大的知识量。案例二：（原题）四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求菱形ABCD的面积.（变后题）四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，已知AB=5cm，AO=4cm，我会求.学生的答案有：有的求出OB3cm；有的求出BD=6cm;有的求出AC=8cm;有的求出菱形周长为20cm；有的求出SAOB=6cm2;有的求出SADB=12cm2;有的求出SABC=12cm2有的求出S菱形ABCD=24cm2。有的还求出O点到AB的距离为2.4cm。评述：通过题目的改变，学生的解题过程的交流，答案涉及到菱形性质的每个方面，通过解一题就对菱形的所有性质进行了很好的复习，更加难得的是学生在求菱形的面积时产生了多种方法，有的根据菱形面积等于菱形的两条对角线乘积的一半，有的根据菱形的轴对称性求出菱形的面积等于SAOB的4倍。案例三：（原题）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，过O点的直线交AD于E点，交BC于F点，试说明OE=OF。（变后题）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，过O点的直线交AD于E点，交BC于F点，在图中我能找到相等的量有。（延伸题）E点、F点分别交于BA和DC的延长线，则线段OE、OF还相等吗？学生找到相等的量有：（相等的线段7组）OA=OC;OB=OD;AD=BC;AB=CD;AE=CF;DE=BF；OE=OF.(相等的角12组)AOBCOD；AODCOB；OABOCD；ABOCDO；OADOCB；ODAOBC；AEOCFO;AOECOF;EODFOB;ABCCDA;BADDCB;DEOBFO.（全等的图形及相关结论21组）AOB和COD;AOD和COB;AOE和COF;DOE和BOF;ADB和CBD;ACB和CAD;梯形ABFE和梯形CDEF；所有全等图形的周长、面积都相等。评述：虽然两个问题都用到平行四边形是一个中心对称图形这一性质，但是结论个数的40：1充分说明了学生的探究欲望得到了有效的开启，使不同的学生都可以有不同的发现，人人都能获得成功，体验成功，学生会乐此不疲地主动探究。另一方面，“一题多解，多题一解”最大限度地提高了课堂的效率。案例四：（原题）如图，在平行四边形ABCD中，ABC的角平分线交AD于E，若AE：ED3:1，BC8cm，求AB的长（变后题）如图，在平行四边形ABCD中，ABC的角平分线交AD于E，若AE：ED3:1，BC8cm，根据已知条件我能得到学生的结果有：AE=6cm;ED=2cm;AB=6cm;AD=8cm;CD=6cm;平行四边形ABCD的周长为28cm；线段BE的取值范围为0BE12。评述：作为几何题，或许原题更能使学生找到解题的思路，但不能培养学生的问题意识和提出问题的能力。难能可贵的是学生对线段BE的取值范围的考虑出乎老师的想象，我在上课时对学生的这个结论也不敢冒昧定论，而在同学们讲述理由的空隙里进行了思考，学生提出的问题能把老师问住，应该说学生的各种能力得到了有效的培养。案例五：（原题）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD上任一点，试说明SBCESABE+SCDE（变后题）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD上任一点，试比较SBCE与SABE+SCDE的大小，并说出你的方法受证明题结论的定势影响，学生对原题的解法大多数是根据三个三角形具有相等的高，而底AE加上ED等于BC，从而得出SBCESABE+SCDE。而变后题学生更注重解决问题的方法，学生通过动手剪拼后，得到了下面的三种方法，第一种把总面积一分为二，再分别证相等；第二种通过把其中的一个平移合二为一，再证相等；第三种说明SBCE与SABE+SCDE都是整个平行四边形面积的一半。评述：变后题让学生的视野更开阔，充分培养了学生的动手能力，从解决问题的过程中体验了数学的化归思想方法，这种从学生的“生产劳动”中创造出的数学思想，学生会理解得更深层，掌握得入微。案例六：（1）A、B两景区相距500米，有直道相通，现甲乙两人分别从A、B两景区相向而行，甲速为20米/分,乙速为30米/分，乙先出发两分钟，问：甲出发多少分钟后，两人相遇？（2）甲乙两人合做旅游纪念品500个，已知甲每小时做20个，乙每小时做30个，乙先做2小时，那么两人再合做多少小时可以完成任务？（3）小明购买甲乙两种礼品，共花去500元，已知甲种礼品每件20元，乙种礼品每件30元，乙比甲多两件，问甲种礼品有多少件？从上述三题，你发现了什么？你能根据生活体验再编一道应用题吗？学生的回答有：学生1：A、B两城相距500千米，有直道相通，现甲乙两车分别从A、B两城相向而行，甲车的速度为20千米/时,乙车的速度为30千米/时，乙车先出发两小时，问：甲车出发多少小时后，两车相遇？学生2：某小池的容量为500吨，有甲乙两个出水管，已知甲管每小时放20吨，乙管每小时放30吨，乙管先放2小时，那么两管再合放多少小时可以放完？学生3：甲乙两人合打一篇文章共500个字，已知甲每分钟打20个，乙每分钟打30个，乙先打2分钟，那么两人再合打多少分钟可以完成任务？学生4:甲乙两人需合做袜子500双，已知甲每小时可做20双，乙每小时可做30双，乙先做了2小时，那么两人再做多少小时可以完工？学生5：小明购买足球和篮球若干只，共花去500元，已知篮球每只20元，足球每只30元，足球比篮球多两只，问篮球有多少只？学生6：小明卖出若干只鸡和兔共得钱500元，已知鸡每只20元，兔每只30元，卖出兔比鸡多两只，问鸡有多少只？评述：只要留给学生充足的时间和空间，学生完全能够根据自己的知识积累和不同的生活经验编出更多、更好的应用问题。尽管没有经过计算，在数字上可能会存在些问题，但你不得不对学生的生活经验的积累得如此丰富而发出感叹，课堂应该是学生的，应该把课堂上的时间和空间尽可能多地还给学生。“留白”使课堂探究更主动传统的教学，一直以为“教师课堂上解决问题，把所教学内容讲深讲透，不给学生课后留下疑问，让学生提不出问题的教师就是好教师。”这种做法抑制了学生的各种能力的培养，抑制了学生的创造发明，抑制了学生健全人格的养成。宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。新课程更尊重学生的不同的个性，强调学生的数学学习是现实的、有意义的、富有挑战性的，富有经验的老师在学生产生一种心求通而未得、欲言而未达的“愤悱”心理时布下空白，让学生思考、讨论，利用学生个体间的知识、经验差异互补解决问题。唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。弗赖登塔尔认为每个人都有自己生活、工作和思考着的特定的客观世界，以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构，就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”。数学课堂中“留白”的运用，能让学生看到成功的希望，明确努力的目标，获得前进的动力，一步一步地发展自己，一点一滴地完善自己。“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。说文解字中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于史记，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限