数理统计第二章数字特征.ppt

随机变量的数字特征,随机变量概率分布(或密度函数)及分布函数能全面了解统计规律性，可以计算随机变量取各个值或一个区间的概率大小。,但在实际中，很难得到一个精确的密度函数及分布函数，再者有时只需知道随机变量的一些特征就可说明实际问题，如平均值和离散程度。,数字特征就是用来表示平均值和离散程度等的量，分两类： 1、表示随机变量均值特征(大小或位置)的数学期望、中位数、众数等； 2、表示离散程度的方差、变异系数、协方差等。,2.1 数学期望,离散型随机变量数学期望 连续型随机变量数学期望 随机变量函数的数学期望,一、数学期望定义,(一)离散型随机变量的数学期望,例1 某人在某游戏中所得分数X的分布列为：,，求所得分数X的平均值。,解：假设进行了N次游戏，当N足够大时，可认为：NP1次得1分，NP2次得2分，NP3次得3分。,总分数为 0NP0+1NP1+2NP2+3NP3,故X的平均值=总分数/N,= 1P1+2P2+3P3=1x0.2+2x0.5+3x0.3=2.1,定义1 设离散型随机变量X的概率分布为 P(X=xi)=pi(i=1,2,),(二)连续型随机变量的数学期望,定义3 设连续型随机变量X的密度函数为f(x),例3 随机变量X的密度函数为,求E(X),(三) 随机变量函数的数学期望,离散型随机变量X的概率分布为P(X=xi)=pi (i=1,2,)，则其函数Y=g(X)的数学期望为,连续型随机变量X的密度函数为f(x),则其函数g(X)的数学期望为,案例2-22,(四)数学期望的性质,1、C为常数 则E(C)=C,2、C为常数 则E(CX)=CE(X),3、E(XY)=E(X)E(Y) (可推广到多个随机变量),4、设X,Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y) (可推广到多个随机变量),P33,三、中位数、众数和分位数,1、中位数(Median),定义5 设X为一随机变量，若存在实数x,有,则称x为X的中位数，记作 Me,例6 设X的概率函数为,求X的中位数。,解 因为PX1=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1) =0.1+0.2+0.4=0.70.5,而PX1=P(X=1)+P(X=2)=0.4+0.3=0.70.5,所以X的中位数Me=1 。,(3)中位数可能不是样本值。,注意 (1)中位数可能不唯一.,(2)连续型随机变量中位数是F(x)=1/2的解.,2、众数(mode),定义6 (离散型)设随机变量X的分布律为P(X=xi)=pi(i=1,2,)，且x1,x2,xn由小到大排列，若存在xk,有 pk-1pk+1，则称xk为X的众数，记作 Mo,例9 设X的概率函数为,求X的众数。,解 因为P(X=1)P(X=0)且P(X=1)P(X=2)， 所以X的众数Mo=1,3、分位数(临界值),定义9(右侧分位数) 设X为一随机变量，若存在数x,满足,则称x为X概率分布的右(上)侧分位数(临界值)。,定义10(双侧分位数) 设随机变量X概率分布关于x=0对称，若存在数x/2,满足,则称x/2 为X概率分布的双侧分位数(临界值)。,由右图易见，对关于x=0对称的图形有： 左侧临界值 u1- /2=-u /2,例11 若随机变量XN(0,1),求下列右侧和双侧临界值 u0.05 u0.05/2 u1-0.05 u0.975,解 查p194 附表4 u0.05=u0.1/2=1.64,u0.05/2=1.96,u1-0.05=-u0.05=-1.64,u0.975=-u0.025=-u0.05/2=-1.96,书后附录中列出了一些常用概率分布的临界值表，都是按上述原理编制的，实际中经常用到，应会查。查表时要注意是上侧临界值表还是双侧临界值表，并注意值的转换。,小 结,1、基本概念：数学期望、 分位数、中位数、众数、百分位数。,2、基本性质与运算：数学期望性质及运算。, 方 差,一、方差(Variance ),例12 设甲乙两位射击运动员各射击5次，其射击环数X1和X2如表所示,试比较两人的技术水平。,解 虽然E(X1)=E(X2)=9.82，但并不能说明两人的技术水平相同，因为甲的数据与E(X1)都很接近，但乙较分散，说明甲的技术水平较稳定。,离差(dispersion) -对随机变量X,把X-E(X)称为X的离差。描述随机变量各个取值与数学期望的离散程度.,要描述随机变量分布的离散程度，需要求出离差的均值,但显然E(X-E(X) =0(因离差有正有负)。这时可能考虑用E|X-E(X)|表示离散程度大小，但式中有绝对值，计算时麻烦，所以用EX-E(X)2代替，从而得到方差。,可见，数学期望不能全面说明随机变量的分布特征，还需要研究随机变量对其数学期望的离散程度。,1、方差定义 设X是一随机变量，若EX-E(X)2存在，则称它为X的方差，记作V(X),即,对于离散型随机变量X,对于连续型随机变量X,例13 设离散型随机变量的分布列为,求：E（X），D（X）。,2、方差的性质,(3) 设X,Y相互独立，则D(X+Y)=D(X