数学实验之十三混沌.ppt

数学实验之十三混沌,中国科学技术大学数学系 陈发来,实验内容,函数迭代 二次函数的迭代 FeigenBaum图 混沌的特性 其它函数的迭代,一、函数迭代,给定一函数 以及初始点 ，定义 数列 称为函数 的迭代序列。 满足 的点 称为 的不动点，记之为 。如果所有附近的点在迭代过程中都趋向于某一不动点，则该不动点称为吸引点。如果所有附近的,点都远离它，则它是排斥点。 例如，0 与 1 是 的不动点。0 是 吸引点，1是排斥点。 如果 则点集 形成一个 k 循环。 称为 k 周期点。k称为周期。,类似地，周期点也可以分吸引点与排斥点。如果点 最终归宿于某个循环中，则称它为预周期点。如 1 是 的预周期点。 迭代序列 的收敛与发散性质不仅与函数 有关， 而且与初值的选择有关。 例如，对于迭代,当初值 时， 迭代序列收敛，否则 发散。,二、二次函数的迭代,对二次函数 做迭代: 迭代的几何直观图,练习 1 对几组不同的参数值 （如 1.4)以及不同的初值 ，观察迭代是否收敛。 练习 2 取参数 ，用不同的初值做迭代。你能找到一个吸引的不动点吗？一个排斥的不动点吗？哪些初值收敛到吸引的不动点？哪些初值使序列发散？取不动的参数 回答同样的问题。,练习 3 找出一个参数 使它对应的迭代具有2周期点。这种性质依赖于初值吗？ 练习 4 对任意的整数 ，你能找到一个 值使得它对应的迭代具有 周期点吗？ 对哪些 值能给出 周期点？在每种情况下，结果是否依赖于初值？（对 和 的值进行验证）,练习 5 如果某个 值能给出周期点，它是否一定是吸引的周期点？你能否找到排斥的周期点？ 练习 6 根据前面的练习，试着从理论上分析：如何求不动点？对哪些 值对应吸引的不动点？哪些 值对应排斥的不动点？初值对结果有什么影响？对周期点做类似的分析。,不动点的计算 从 得到 及,吸引的不动点与排斥的不动点 定理 设 是 的不动点，如果在 附近有 ，则 是 的吸引的不动点；否则， 是 的排斥的不动点。 由于 故当 0a1时，为吸引点，(a-1)/a为排斥点。当1a3, 为排斥点，(a-1)/ a为吸引点。,2 周期点 得,三、Feigenbaum图,将区间（0, 4 以某个步长 （如 ）离散化。对每个离散的 值做迭代。忽略前50个迭代值，而把点 显示在坐标平面上，最后形成的图形称为 Feigenbaum图。,练习 7 观察Feigenbaum图。 （1）它的左部有一条曲线，这表示什么意义？ （2） 从某一点 开始，这条曲线分成两支，这说明了迭代的什么性质？迭代的点是如何运动的？ （3）再在下一个分支点 ，曲线分成几支？这说明迭代的什么性质？ （4）上述分支过程是否一直进行下去？,是否存在极限分支点 ? （5）在极限分支点之后，Feigenbaum图是否显得很混乱？ 练习 8 在Feigenbaum图的右部，有一个有三条线穿过的空白地带，它是一个周期为3 的窗口。你能找到其它窗口吗？它们的周期是什么？窗口里有什么图案？这些窗口与周期轨道有什么关系？,四、混沌的特性,对初值的敏感性 练习 9 任取两个初值使它们之间的差的绝对值不超过 0.1, 在迭代他们是否逐渐分开？如果两个初值的差的绝对值不超过0.01, 0.001, 0.0001 结果如何？由此得出迭代对初值是否敏感？,非随机性 仍然考虑迭代 练习 10 从不同的初值 出发，统计迭代点列中分别落与区间（0,1/2)及(1/2,1)中的点的个数，你得到的结果是随机的吗？进一步，将区间分成任意等份，统计迭代点列落于每个子区间的点的个数？结果如何？,五、其它函数的迭代,锯齿函数 练习 11 锯齿函数的迭代对初值是否敏感？ 找出锯齿函数的周期点。,帐篷函数 练习 12 帐篷函数的迭代对初值是否敏感？ 找出帐篷函数的周期点。,其它函数的迭代 对以下函数的迭代行为