微分几何13空间曲线.ppt

3、1 空间曲线的密切平面 1、定义 过空间曲线上 P 点的切线和 P 点邻近一点 Q 可作一平面 ，当 Q 点沿曲线趋于 P 时，平面 的极限位置 称为曲线在 P 点的密切平面。,第三节 空 间 曲 线,对于 类的曲线上任一正常点处的 密切平面是最贴近于曲线的切平面。,2、密切平面的方程 给出 类的曲线（C）： 有 因为向量 和 都在平面 上，所以它们的 线性组合 也在平面 上。 两边取极限得 在极限平面上，即 P 点的密切平面上，因此 只要 这个向量就可以作为密切平面的一个法向量。密切平面方程为,用 表示 P 点的密切平面上任一点的向径， 则上式表示为 如果曲线用自然参数 s 表示，则将上式中的撇改成点。,例题 求园柱螺线上任一点的密切平面。,平面曲线的密切平面就是曲线所在的平面。,1、给出 类曲线 得一单位向量 ，称为曲 线（C）上 P 点的单位切向量。 （ 注意到 ） 称 为曲线在 P 点的主法向量,它垂直于单位切向量。 称 为曲线在 P 点的付法向量。 把两两正交的单位向量 称为曲线在 P 点的伏雷内（Frenet)标架。,3、2 空间曲线的基本三棱形,2、由任意两个基本向量所确定的平面分别叫做密切平面、法平面、从切平面。而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的基本三棱形。,3、对于曲线（C）的一般参数表示 有,4、例题 P34,3、3 空间曲线的曲率，挠率和伏雷内公式,2、曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。 曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的 弯曲程度。,3、挠率 与曲率类似有,5、曲率和挠率的一般参数表示式,给出 类的曲线（C）： 所以 因此 由此得到曲率的一般参数的表示式,由,可得挠率公式为,6、密切园（曲率园）,过曲线（C）上一点 P 的主法线 的正侧取线段 PC，使 PC 的长为1/k。以 C 为园心，以1/k为半径在密切平面上确 定一个园，这个园称为曲线在 P 点的密切园或曲率园，园的中心叫曲率中心，园的半径叫曲率半径。,7、几个例题 例1 园柱螺线的曲率和挠率都是常数。 例2 曲率恒为零的曲线是直线。 例3 挠率恒为零的曲线是平面曲线。 例4 求曲率为 4 ，挠 率为 5 的曲线方程。,解 由题意，可设曲线为园柱螺线 因此 得所求园柱螺线为,3、4 空间曲线在邻近一点的结构,给定 类曲线 及其上一点 有,取 为新坐标系，并取 为计算弧长的始点， 则有 。设 为曲线上点 的邻近点的新坐标，则有,近似曲线在三个平面上的投影分别为,通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线在一点邻近的近似形状： 1、曲线穿过法平面与密切平面，但不穿过从切平面。 2、主法向量总是指向曲线凹入的方向，这是主法向量正向的几何意义。 3、挠率的符号对曲线的影响见表。,3、5 空间曲线论的基本定理,曲线上每一点都有确定的曲率和挠率，它们与参数有关，但与刚体运动和坐标变换无关。我们把 称为空间曲线的自然方程。,空间曲线论基本定理,给出闭区间s0,s1上的两个连续函数 ,则除了空间的位置差别外，唯一存在一条空间曲线，使得参数 s 是曲线的自然参数，并且 和 分别为曲线的曲率和挠率，即曲线的自然方程为,3、6 一般螺线,1、定义：切线和固定方向作固定角的曲线称为一般螺线。,2、性质： （1）主法线与一个固定方向垂直。,（2）、副法线与一个固定方向作固定角。,证明：设 是固定方向上的一个单位向量。它与切向量作固 定角 ，有 微商,（3）曲率与挠率之比为一个常数。,可以证明，上面的结论也