电磁场理论2010第1章.ppt

电磁场理论基础,通信工程学院微波教研室 丁卫平,电磁场理论是研究静止和运动电荷效应的学科,特点： 不是从已知的公理或严格的数学定理出发，而是在由长期实践中得到的实验定律的基础上，经过理论概括而形成的一门科学。,电磁场理论的核心内容是麦克斯韦方程组 （Maxwell Equations）,概 述,一、课程目的,掌握宏观电磁现象的基本定律和基本性质,深入了解电磁场与电磁波的相关概念,学会运用场的观点分析计算典型的电磁场问题,为专业课程的学习打下坚实基础,微波技术 天线技术 电波传播 雷达工程 电磁兼容 光纤通信,与电磁场理论有关的学科,空警2000预警机,微波技术 天线技术 电波传播 雷达工程 电磁兼容 光纤通信,与电磁场理论有关的学科,隐身飞机,微波技术 天线技术 电波传播 雷达工程 电磁兼容 光纤通信,与电磁场理论有关的学科,二、课程内容,1、矢量分析与场论 2、静态场（静电场、恒定电流的电场、恒定电流的磁场、静态场问题的解法。） 3、电磁波（均匀平面波的传播、反射与折射、电磁波的辐射、导行电磁波。）,三、几点要求,1、听（上课认真听） 2、记（记笔记） 3、读（精读教材） 4、做（独立完成作业）,电磁场理论内容广泛，概念多而且比较抽象，对数学基础的要求较高。,参考书： 谢处方等 电磁场与电磁波 高等教育出版社 吴万春 电磁场理论 电子工业出版社 毕德显 电磁场理论 电子工业出版社,教材和参考书,教材： 王增和等 电磁场与波 机械工业出版社,第一章 矢量分析,本章内容：,坐标系的构成、坐标变换 坐标单位矢量的概念和不同坐标系坐标单位矢量之间的关系 矢量函数和场的概念 梯度、散度、旋度的定义与计算 矢量恒等式 亥姆霍兹定理的概念和意义,在物理学中所遇到的物理量，一般分为两类：,1、标量（数量）：只有大小，在取定其单位后可以用一个数来表示。 2、矢量（向量）：不仅有大小之分，而且有方向之别。,标量与矢量,如果在空间中一个区域内的每一个点都有一物理量的确定值与它对应，则在这个区域中就构成该物理量的场。教室中的温度场、空气密度场等 根据构成场的物理量不同，将场分为两大类：标量场和矢量场。 场的概念与函数的概念是一致的，标量场与标量函数、矢量场与矢量函数在一般情况下是通用的。,场的概念,1.1 常用坐标系,电磁场理论中用得最多的有三种坐标系： 直角坐标系、圆柱坐标系、球坐标系,正交曲线坐标系,两个曲面相交形成一条交线，三个曲面相交可以得到一个交点。因此，空间一点的坐标可以用三个参数表示，每个参数确定一个坐标曲面。如果在空间任一点上，三个相交的坐标曲面相互正交（即各曲面在交点上的法线相互垂直），则坐标曲面的三条交线在该点也相互正交（即各交线在该点的切线相互垂直）。这样构成的坐标系称为正交曲线坐标系，这些曲线称为坐标曲线或称为坐标轴。,正交曲线坐标系,一、三种常用坐标系的构成,坐标系的构成要素： 1、坐标变量（三个） 2、坐标曲面（三个坐标变量各等于常数的曲面） 3、坐标曲线（两两坐标曲面的交线，又称为坐标轴） 4、坐标单位矢量：在空间任一点沿三条坐标曲线的切线方向所取的单位矢量（模为1，方向为坐标变量正的增加方向），而且三个坐标单位矢量满足右手螺旋法则。,（一）直角坐标系,（二）圆柱坐标系,（三）球坐标系,二、不同坐标系坐标变量之间的关系,三、不同坐标系坐标单位矢量之间的关系,直角坐标系与圆柱坐标系坐标单位矢量的关系,直角坐标系与球坐标系坐标单位矢量的关系,圆柱坐标系与球坐标系坐标单位矢量的关系,1.2 矢量函数,1、如果给定某矢量沿三个相互垂直的坐标单位矢量方向的三个分量，则该矢量即被确定。,直角坐标系中： 圆柱坐标系中： 球坐标系中：,一、矢量表示法,在直角坐标系中，由于矢量在各坐标轴的分量即为矢量在该坐标轴的投影，所以，如果已知矢量 的大小和与各坐标轴的夹角、，则矢量 被确定。,一、矢量表示法（续）,2、模等于1的矢量称为单位矢量,表示与 同方向的单位矢量,一、矢量表示法（续）,在直角坐标系中，以坐标原点0为起点，引向空间任一点 M（x，y，z）的矢量。,3、矢径,单位矢径：,空间任一点对应于一个矢径，反之，每一个矢径对应着空间一点，所以矢径又称为位置矢量。 点M（x，y，z）可以表示为,一、矢量表示法（续）,4、距离矢量,空间任一矢量，起点为P（x,y,z），终点为 Q（x,y,z）。,距离矢量 称为从源点到场点的距离矢量。,模,一、矢量表示法（续）,5、空间任一长度元矢量（线元矢量）,在直角坐标系中表示为：,模,一、矢量表示法（续）,二、矢量函数,（一）矢量函数的定义：对于自变量的每一个数值都有变动矢量 的确定量（大小和方向都确定的一个矢量）和它对应，则变动矢量 称为该自变量的矢量函数。,（二）矢量函数的导数,矢量函数求导数的运算法则，与标量函数求导相类似。,1、定义：对于矢量函数 ， 常矢量的导数为0，变矢量的一阶导数仍然为矢量。,二、矢量函数（续）,2、对于标量函数 与矢量函数 的乘积,二、矢量函数（续）,3、对于多变量函数 和 求偏导数：,4、对于矢量函数,二、矢量函数（续）,5、在圆柱坐标系和球坐标系中，由于一些坐标单位矢量不是常矢量，在求导数时要特别注意，不能随意将坐标单位矢量提到微分符号之外（坐标单位矢量是坐标变量的函数）。,6、由于各种坐标系中的坐标单位矢量均不随时间变化，矢量函数对时间t求偏导数时，可以将它们作为常矢量提到偏微分符号之外。,例如，在球坐标系中：,二、矢量函数（续）,（三）矢量函数的积分,积分和微分互为逆运算。一般标量函数积分的运算法则对矢量函数同样适用。,在圆柱坐标系和球坐标系中，对矢量函数求积分时，仍需注意：有些坐标单位矢量不是常矢量，不能随意将坐标单位矢量提到积分运算符号之外。在一般情况下，坐标单位矢量可能是积分变量的函数。,二、矢量函数（续）,例 题,设 ， 求积分：,1.3 标量函数的梯度 gradient,对于二维标量函数 ，则 称为该标量函数的等值线方程。,一、标量场的等值面和等值线,根据标量场的定义，空间每一点上只对应于一个场函数的确定值。因此，充满整个标量场所在空间的许许多多等值面或等值线互不相交。或者说，场中的一个点只能在一个等值面或等值线上。,一、标量场的等值面和等值线（续）,二、方向导数,1、定义：函数 在给定点 M0上沿某一方向对距离的变化率。,（函数在M0点沿 方向的方向导数）,2、计算公式,二、方向导数（续）,三、梯度 gradient,（一）梯度的定义：,给出三个表达式： 方向导数： 方向单位矢量： 定义：,在直角坐标系中：,三、梯度（续）,引入Hamilton算子：,三、梯度（续）,（二）梯度的性质,1、一个标量函数的梯度为一个矢量函数。,2、函数u在给定点沿 方向的方向导数等于u的梯度在 方向上的投影。,3、标量场中任一点的梯度的方向为过该点等值面的法线方向。,4、梯度的线积分与积分路径无关。,三、梯度（续）,（三）梯度的基本运算公式,三、梯度（续）,例1：求一个二维标量场 的等值线方程和梯度。,例2：求函数 在点 沿方向 的方向导数。,例 题,1.4 矢量函数的散度,一、矢量场的矢量线（力线）,1、定义：矢量场中的一些曲线，曲线上每一点的切线方向代表该点矢量场的方向，该点矢量场的强度由附近矢量线的密度来确定。,2、矢量线方程：,二、矢量场的通量,1、定义：矢量 在场中某一曲面S上的面积分，称为该矢量场通过此曲面的通量。,2、通量的特性：,通量的正负与面积元法线矢量方向的选取有关。,通量可以定性地认为是穿过曲面S的矢量线总数（定性概念）。所以 可以称为通量面密度矢量，它的模F等于在某点与 垂直的单位面积上穿过的矢量线的数目。,通过面积元 的通量元 一般规定：凹面指向凸面为 的正方向。,二、矢量场的通量（续）,对于闭合曲面，一般规定面积元的单位法线矢量 由面内指向面外。,通量可以迭加,如果曲面S为闭合曲面，则通过S的总通量为：,二、矢量场的通量（续）,三、散度 divergence,1、定义：设有矢量场 ，在场中任一点M作一包围该点的任意闭合面S，并使S所限定的体积以任意方式趋于0。如果极限 存在，则称此极限为矢量场 在M点的散度。,散度的定义与坐标系的选取无关 在任一点M上： 若 ，则该点有发出通量线的正源； 若 ，则该点有吸收通量线的负源； 若 ，则该点无源。,若在某一区域内的所有点上，矢量场的散度都等于0，则称该区域内的矢量场为无源场。,三、散度 divergence（续）,2、散度在直角坐标系中的表示式,对于一个矢量,三、散度 divergence（续）,3、散度的基本公式,三、散度 divergence（续）,四、高斯散度定理,任何一个矢量 穿出任意闭合曲面S的通量，总可以表示为 的散度在该面所围体积 的积分。,位置矢量（矢径） 是一个矢量场，计算穿过一个球心在坐标原点，半径为a 的球面的 的通量；计算 。,已知 ，以每边为单位长度的立方体为例验证高斯散度定理。此立方体位于直角坐标系的第一卦限内，其中一个顶点在坐标原点上。,例 题,1.5 矢量函数的旋度,环量的定义：矢量 ，沿某一闭合曲线（闭合路径）的线积分，称为该矢量沿此闭合曲线的环量。,一、矢量的环量,如果某一矢量场的环量不等于0，则场中必有产生这种场的旋涡源。,如果在一个矢量场中沿任何闭合路径的环量恒等于0，则在这个场中不可能有旋涡源，这种类型的场称为保守场或无旋场。,一、矢量的环量,二、矢量的旋度,1、旋度的定义：,矢量旋度的定义式：,2、旋度在直角坐标系中的表示式,对于,二、矢量的旋度（续）,3、旋度与散度的区别,矢量场的旋度为矢量函数； 矢量场的散度为标量函数。,旋度描述的是场分量沿着与它垂直方向上的变化规律； 散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。,旋度表示场中各点的场与旋涡源的关系。如果在矢量场所 存在的全部空间内，场的旋度处处为0，则这种场不可能有旋涡源，因而称它为无旋场或保守场；,散度表示场中各点的场与通量源的关系。如果在矢量场所存在的全部空间内，场的散度处处为0，则这种场不可能有通量源，因而称它为管形场（无头无尾）或无源场。,二、矢量的旋度（续）,4、旋度的基本运算公式,二、矢量的旋度（续）,三、斯托克斯定理,矢量 的旋度 在任意曲面S上的通量，等于 沿该曲面周界 的环量,几种重要的场：,1、矢量场 ，求 沿闭合曲线 的环量，并验证斯托克斯定理。 的参量方程是： ， ，为一条星形线。,2、求位置矢量 沿折线 的环量。其中 由 、 、 组成。,例 题,1.6 矢量恒等式,一、哈密顿一阶微分算子及恒等式,在直角坐标系中，哈密顿算子的表示式为：,矢性微分算子,1.,2.,二、哈密顿二阶微分算子及恒等式,1,证明：, 标量函数梯度的旋度恒等于0； 如果一个矢量函数的旋度等于0，则这个矢量函数可以用一个标量函数的梯度来表示。,如果 ，则,结论：,2,证明：, 矢量函数旋度的散度恒等于0 如果一个矢量函数的散度等于0，则这个矢量函数可以用另外一个矢量函数的旋度来表示。,如果 ，则,结论：,3,证明：,称为拉普拉斯算子，当 作用在标量函数上时，称为标性拉普拉斯算子；当 作用在矢量函数上时，称为矢性拉普拉斯算子。两者是本质上不同的两种二阶微分算子。,4,为矢量场的拉普