2019年安徽省“江南十校”综合素质检测理科数学试题及参考答案.pdf

第1页 共 8 页 2019 安徽省“江南十校”综合素质测试安徽省“江南十校”综合素质测试 数学（理科）解析及评分标准数学（理科）解析及评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C B D C C A B C B C 1. 答案 D 【解析】 2,2A= ,故选 D. 2. 答案 A 【解析】 |i|12 | | |1i|22 zz= ,故选 A. 3. 答案 C 【解析】标准方程为 2 1 2 xy=，故选 C. 4. 答案 B 【解析】由正弦定理知， sinsin22 7 2cos sinsin3 BC C CC =， 7 cos, 3 C= 2 5 cos22cos1, 9 CC= =故选 B. 5. 答案 【解析】 1 2 AB AD=， 2 + 3 AEABAD=，BDABAD= + 212211 (+) ()1 323326 AE BDABADABAD= += += ,故选 D. 6 6. 答案 C 【解析】 1 1 1 2 1 = 2 ABCA B C VL 三棱柱 ,故选 C 7 .答案 C 【解析】由已知得， 2 4 =， 112 ,( )cos(). 223 f xx =+故选 C. 8 .答案 A 【解析】由已知得()( ),( )fxf xyf xR= =且在 上单调递增， 22 (3log)(log1)fxfx由可得 22 3loglog1xx 2 1 log 2 x ，解得： 2 0. 2 x故选 A. 9 .答案 B 【解析】 记(1,0)A， 则 22 2 4 | 2 bc PF a =， 22 1 4 |2 2 bc PFa a + =+=， 1 |1F Ac=+， 2 |1F Ac=，由角平分线性质得 211 22 | 404 | PFF A ccc PFF A =， 或作 1 ADPF于D,由角平分线的对称性质知 1112 | | |24DFPFPDPFPFa=， 2 |1ADAFc=，在 1 Rt ADF中， 222 112 |1,|AFcAFAFAD=+=+,解得4c = 故 1 2 2 122 14 |24. 22 PF F c SFFPFc =故选 B. 10 .答案 C 【解析】 由已知， minmin ( )( )f xg x， 由已知可得 2 min ( )(1) ,f xk=+ min ( )3g x=， 2 (1)3,42 3,kk+故选 C. 第2页 共 8 页 11 .答案 B 【解析】由已知得原几何体是由一个棱长为 2 的正方体挖去一个四分之一圆柱 及一个八分之一球体得到的组合体， 2 1 6245420, 484 S = +=+ 表 故选 B. 12 .答案 C 【解析】前 44 组共含有数字：44 (441)1980+=个， 198044(20191980)2019441975,S=+=故选 C. 二、填空题 题号 13 14 15 16 答案 2 1 240 57 13. 答案 【解析】0,2xy=时， min 3 022z= += 14. 答案1 【解析】 22 sincos1 sin4cos4 = + ， 2 tan1 4tan4 = + ，tan2=， 1 2 3 tan=tan ()1 1 12 3 += + . 15. 答案240 【解析】 6 6 () = ()xyzxyz+，含 2 z的项为 242 26 TC ()xyz=+，所以形如 2ab x y z的项的系数之和为 24 6 C2 =240. 16.答案57 【解析】由已知动点P落在以AB为轴、底面半径为21的圆柱的侧面上，该 侧面与三棱锥侧面ACD的交线为椭圆的一部分，设其与AC的交点为P，此时PB最大，由 P到AB的距离为21可得P为AC的中点， 且 2 cos, 5 BAC=在BAP中， 由余弦定理可得 22 2 852 8 557 5 PB =+ =. 三、解答题 17【解析】 （1）由 123 2 nn aaaab+= 2n 时， 12311 2 nn aaaab += 可得： 1 2() nnn abb =(2)n ， 332 2()8abb= 1 2,0 n aa=，设 n a公比为q， 2 1 8a q =，2q =3 分 1 2 22 nn n a = = 第3页 共 8 页 1231 2(1 2 ) 2222222 1 2 n nn n b + =+= ，21 n n b =.6 分 （2）证明：由已知： 11 1 211 (21)(21)2121 n n n nnnn nn a c bb + + = . 9 分 123 12231 111111 212121212121 n nn cccc + +=+ 1 1 11 21 n+ = 12 分 18 【解析】 （1）2AB =， 1 7AB =， 1 60A AB=，由余弦定理： 222 1111 2cosABAAABAAABA AB=+，即 2 111 2303AAAAAA=或1， 故 1 3AA =.2 分 取BC中点O，连接 1 ,OA OA，ABC是边长为2的正三角形， AOBC，且3AO =，1BO =， 由 11 A ABA AC 得到 11 7ABAC=，故 1 AOBC， 且 1 6AO =， 222 11 AOAOAA+=， 1 AOAO，4 分 又BCAOO=,故 1 AO 平面ABC， 1 AO 平面 1 ABC， 平面 1 ABC 平面ABC. 6 分 （2）解法一：以O为原点，OB所在的直线为x轴，取 11 BC 中点K， 以OK所在的直线为y轴， 过O作 1 OGAA， 以OG 所 在 的 直 线 为z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 . 则 111 (1,0,0),(1,3,0),( 1,3,0),(0,2, 2),BBCA 111 ( 2,3,0),(0,3,0),( 1,2, 2)BCBBBA= = 8 分 设平面 11 ABB A的一个法向量为( , ,1)mx y=，则 1 1 30 2 ( 2,0,1) 0 220 m BBy x m y m BAxy = = = = = += 设所求角为，则 1 1 |2 22 78 sin. 39|13 3 BCm BCm =12 分 A O A1 C1 B1 B C A G K z y x C O A1 C1 B1 B 第4页 共 8 页 解法二：以O为原点，OB所在的直线为x轴，以 1 OA所在的直线为y轴，以OA所在的直线 为z轴建立空间直角坐标系.则 1 (1,0,0), (0,0, 3),(0, 6,0),(1,0,0)BAAC，设 1( , , ) C x y z，由 11= C ACA可得 1( 1, 6, 3)C ， 11 ( 2, 6,3),(1,0,3),( 1, 6,0)BCABBA= = 8 分 设平面 11 ABB A的一个法向量为( , , )mx y z=，则 1 130 ,6( 6,1, 2) 260 ym ABxz xm zm BAxy = = = = += 取 设所求角为，则 1 1 |2 62 78 sin. 39|13 3 BCm BCm = 12 分 解法三：由（1） 11 1 111 2 332 CABAAOA VBCSBCAOAO = 设C到平面 11 ABB A的距离为h，则由 111 / /CCABB A面知 1 C到平面 11 ABB A的距离也为h，则 11 1 1112 6 sin602 3323 CABAABA VhShABA Ah = =9 分 设所求角为，则 1 2 62 78 sin. 3913 3 h BC = 12 分 19【解析】 （1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018 五个年份考核优秀，故的所 有可能取值为0 1 2 3， ，. 03 53 3 8 1 (0) 56 C C P C =， 12 53 3 8 15 (1), 56 C C P C = 2130 5353 33 88 3010 (2), (3) 5656 C CC C PP CC =4 分 故的分布列为： 0 1 2 3 P 1 56 15 56 15 28 5 28 所求 11515515 0123. 565628288 E=+ + =6 分 第5页 共 8 页 （2）解法一： 888 2 222 111 ()72()8360 iii iii xxxxxx = =+ = 888 111 ()()34.5()()8226.5 iiiiii iii xxyyx yxxyyxy = =+ = 故去掉 2015 年的数据之后 6 864 8329 6, 777 xy = 2 2222 55 ()736067672 ii ii xxxx = 55 29 ()()7226.56 37634.5 7 iiii ii xx yyx yxy = = 9 分 所以 34.5 0.48 72 b =， 2934.5 61.27 772 ayb x= = 从而回归方程为： 0.48 +1.27.yx=12 分 解法二： 因为 6 6xx=，所以去掉 2015 年的数据后不影响 b的值， 所以 34.5 0.48 72 b =， 9 分 而去掉 2015 年的数据之后 6 864 8329 6, 777 xy =， 2934.5 61.27 772 ayb x= = 从而回归方程为： 0.48 +1.27.yx=12 分 注： 若有学生在计算 a时用 0.48b 计算得 29 0.4861.26 7 ayb x= =也算对。 20【解析】(1)设椭圆C的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab += 由题意得 22 5 3 24 ab a b = = ，解得 3 2 a b = = 椭圆C的标准方程为 22 1 94 xy +=4 分 (2)解法一：设:( 22)l ytt= 且0t ， 1 ( , )E x t， 2 (, )F x t， 1 30x， 2 0rx 设(0, )Ms， AEM、 、共线， AMAE kk= 1 00 0( 3)( 3) st x = ， 1 3 3 t s x = + ，得 1 3 (0,) 3 t M x + ，同理得 1 3 N(0,) 3 t x 8 分 22 11 33 (,t) (,) 33 tt FM FNxxt xx = + 22 2 11 33 (1)(1) 33 xt xx =+ + 22 222211 22 22 1 4 99 xx xtxt xt = 2 2222 22 49 (9)44 94 t xxtr=+= 第6页 共 8 页 1216FM FN 2 1241642 5rr 12 分 解法二：设 1122 :3(0),( ,),(,)AE xmymE x yF xy=,联立 22 3 1 94 xmy xy = += 得： 22 (49)240mymy+=, 2 1 11 22 1 2412274 , 494939 BE ymm yxkm mmx = + 4 :(3) 9 BN ym x= ，令0x =得 12 (0,) 9 m N 又由:3(0)AE xmym=，令0x =得 3 (0,)M m 8 分 又/ /lx轴， 21 2 24 49 m yy m = + 222 2222222 312312 (0,) (0,)()44 99 mm FM FNxyxyxyyr mm =+= 1216FM FN 2 12416r 42 5r 12 分 21【解析】 （1）证明：1m =时， 1 ( )lnf xx x =+ 22 111 ( )( ) x fxf x xxx = +=在(0,1上递减，在，1,2)上递增， min ( )(1)1,( )1.f xff x= 4 分 （2）当0m =时，( )ln ,(0,2)f xx x=，明显不满足要求； 当0m 时，设切点为 00 (,()xf x（显然 0 1x ） ，则有 0 0 0 () () 1 f x fx x = ， 0 00 2 00 ln 1 m x xmx xx + = ，整理得 0 2 00 21 ln10 mm x xx + + = （*） 由题意，要求方程（*）在区间(0,2)上有两个不同的实数解. 令 2 21 ( )ln1 mm g xx xx + =+， 3 (2 )(1) ( ) xm x g x x = 6 分 当21m 即 1 2 m 时，( )g x在(0,1)上单调递增， 在(1,2)上单调递减或先单调递减再递增， 而 1 ( )( e1)(2e)0 e gm=，(1)0gm=， 321 (2)ln21ln20 48 m g + =+ ， 1 (2 )ln20 4 gmm m =+， ( )g x在区间(0,1)上有唯一零点，在区间(1,2)上无零点， 所以此时不满足题要求.8 分 第7页 共 8 页 当021m即 1 0 2 m时，( )g x在(0,2 )m上单调递增，在(2 ,1)m上单调递减，在(1,2)上 单调递增， (21) ()ln10, (1)0, mmme e ggm eem + =+ = ( )g x在区间()2 , 0上有唯一零点，所以此时不满足题要求.10 分 当0m时，( )g x在()1 , 0上单调递减，在(1,2)上单调递增， 0)2)(1() 1 (=eme e g，0) 1 (= mg， 4 23 2ln)2( += m g 当0)2(g即 3 2ln42 m时，( )g x在区间(0,2)上有唯一零点，此时不满足题要求. 当0)2(g即0 3 2ln42 m时，( )g x在区间(0,1)和(1,2)上各有一个零点， 设为 21,x x，又这时 22 1 )( x m xx mx xf= =显然在区间(0,2)上单调递减， )()( 21 xfxf所以此时满足题目要求. 综上所述，m的取值范围是 24ln2 0 3 m .12 分 （2）解法二：设切点为 00 0 (,ln) m xx x +，由解法一的关于 0 x的方程 0 0 2 00 (21)1 ln10 xm x xx + +=在区间内(0,2)有两解,显然 1 2 不是方程的解， 故原问题等价于 22 ln 12 xxxx m x + = 在区间内(0,2)有两解.6 分 设 22 ln(1ln)1 ( ),02,. 12122 xxxxxxxx g xxx xx + = 则 2 1 (1)(2ln ) 1 ( ),02,. (12 )2 xxx x g xxx x + = 令 1 ( )2ln ,02h xxx x =+，则 22 1221 ( ), x h x xxx = += 故 min 111 (0, ), ( )0,( ,2), ( )0( )( )( )2ln40 222 xh xxh xh xh xh= 故 11 (0, ),( ,1),( )0,(1,2),( )0 22 xg xxg x 从而 11 (0, ),( ,1), ( ),(1,2), ( ) 22 xg xxg x递增递减， 令( )=1ln,02t xxxxx+，(