高中全程复习方略配套课件：2.9函数与方程(北师大·数学理·陕西专用).ppt

第九节 函数与方程,三年12考 高考指数: 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.,1.函数零点个数、存在区间及方程解的确定与应用是高考的热点. 2.常与函数的图像与性质交汇命题，主要考查函数与方程、转化与化归、数形结合思想. 3.题型以选择题和填空题为主，若与导数综合，则以解答题形式出现，属中、高档题.,1.函数的零点 (1)定义：函数y=f(x)的图像与_称为这 个函数的零点. (2)几个等价关系：,横轴的交点的横坐标,【即时应用】 (1)函数f(x)=x3-x的零点是_; (2)函数f(x)=lgx- 的零点个数是_.,【解析】(1)令f(x)=0，即x3-x=0,解得x=0,1,-1, f(x)的零点为-1，0，1. (2)由等价关系、零点个数转化为方程lgx- =0的根的个数 lgx= 即又转化为函数y=lgx与y= 图像的交点个数，由图 像得有一个交点,即函数f(x)=lgx- 有1个零点.,答案：(1)-1，0，1 (2)1,2.函数零点的存在性定理,y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点,【即时应用】 (1)若函数y=f(x)在区间a,b上的图像为连续曲线，判断下列命题是否正确.(请在括号中填写“”或“”) 若f(a)f(b)0，则不存在实数c(a,b)使得f(c)=0; ( ) 若f(a)f(b)0,则存在且只存在一个实数c(a,b)使得f(c)=0; ( ),若f(a)f(b)0，则有可能存在实数c(a,b)使得f(c)=0; ( ) 若f(a)f(b)0,则有可能不存在实数c(a,b)使得f(c)=0. ( ),(2)在函数零点的存在性定理的条件下，当f(x)是_时，在区间(a,b)内f(x)有唯一的一个零点. (3)已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点，则此零点所在的最短区间为_.(区间端点为整数) (4)函数f(x)=mx-1在(0，1)内有零点，则实数m的取值范围是_.,【解析】(1)如图甲的情况可判断错正确，如图乙的情况可判断不正确，由零点存在性定理可知不正确.,(2)由零点存在性定理容易判断f(x)是单调函数即可. (3)由于f(0)=-10,f(3)=230, f(4)=590,故只有区间(1，2)满足. (4)由f(0)f(1)1. 答案：(1) (2)单调函数 (3)(1，2) (4)m1,确定函数零点所在的区间 【方法点睛】确定函数f(x)的零点所在区间的方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解方程,然后再看求得的根是否落在给定区间上； (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图像是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点.,(3)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断.,【例1】(1)(2012豫南九校联考)函数 的零点 所在的区间为( ) (A)(0，1) (B)(1，2) (C)(2，3) (D)(3，4) (2)(2012九江模拟)函数f(x)=ln(x-2)- 的零点所在的大致 区间是( ) (A)(1，2) (B)(2，3) (C)(3，4) (D)(4，5),【解题指南】(1)根据函数零点的存在性定理，只需验证各选项中区间的端点值是否异号即可作出判断. (2)根据题意先把不在定义域中的区间排除掉，然后通过求所给区间的两个端点的函数值进行判断.,【规范解答】(1)选B.f(0)=( )0-2-0=40， f(1)=( )1-2-13=10， f(2)=( )2-2-23=-70, f(3)=( )3-2-33= 0, f(4)=( )4-2-43= 0, f(1)f(2)0, 故函数f(x)=( )x-2-x3的零点所在的区间为(1，2).,(2)选C.由题意知函数f(x)的定义域为x|x2, 排除A. f(3)= 0, f(5)=ln3- 0， f(3)f(4)0， 函数f(x)的零点所在的大致区间是(3，4).,【互动探究】把本例(1)中的函数改为方程log3x+x=3,判断其 解所在的区间. 【解析】构造函数，转化为求函数的零点所在的区间.令 f(x)=log3x+x-3,则f(2)=log32+2-3=log3 0,又因为函数f(x)在(0，+)上是连续且单调的函数， 所以方程log3x+x=3的解所在的区间为(2，3).,【反思感悟】1.判断函数零点所在的区间，当方程f(x)=0无法解出或函数y=f(x)的图像不易作出时，常用函数零点存在性定理判断. 2.判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题.,【变式备选】函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( ) (A)(-2，-1) (B)(-1，0) (C)(0，1) (D)(1，2) 【解析】选C.因为f(0)=-10,所以零点在区间(0，1)上，故选C.,判断函数零点个数 【方法点睛】判断函数零点个数的方法 (1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；,(3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题；先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.,【例2】(2011陕西高考)函数f(x)= -cosx在0，+)内 ( ) (A)没有零点 (B)有且仅有一个零点 (C)有且仅有两个零点 (D)有无穷多个零点 【解题指南】解决本题可转化为两函数y= 和y=cosx在0，+)内的交点个数或根据零点存在性定理及函数的性质进行判断.,【规范解答】选B.方法一：数形结合法，令f(x)= -cosx=0, 则 =cosx,设函数y= 和y=cosx,它们在0，+)内的图像 如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数 f(x)= -cosx在0，+)内有且仅有一个零点；,方法二：当x ,+)时， 1,cosx1,所以f(x)= - cosx0;当x(0, 时,f(x)= +sinx0,所以函数 f(x)= -cosx是增函数，又因为f(0)=-1,f( )= 0,所以 f(x)= -cosx在x(0, )上有且只有一个零点.,【反思感悟】在判断函数y=f(x)的零点个数或方程f(x)=0根的个数时，若方程f(x)=0易解，则用解方程法求解；若可转化为两熟悉的函数图像的交点个数问题，则用图像法求解，此时应注意画图要尽量精确，若图像画得太粗糙则易出现失误；若图像不易画则可利用零点存在性定理及函数的性质综合求解.,【变式训练】函数y=sinx-lgx的零点个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【解析】选D.令函数y=sinx-lgx=0, 即sinx=lgx,设y1=sinx,y2=lgx, 这两个函数的图像的交点个数就是所给函数的零点的个数，y2=lgx过(1，0)点和(10，1)点，与y1=sinx的交点个数是3，函数的零点的个数是3，故选D.,【变式备选】(1)判断函数f(x)=log2(x+2)-x(-1x3)是否存在零点. 【解析】方法一：在同一平面直角坐标系中画出函数y= log2(x+2)与函数y=x的图像，观察知：两函数在-1，3上有一个交点，即函数f(x)=log2(x+2)-x(-1x3)存在零点. 方法二：显然函数f(x)=log2(x+2)-x在-1,3上是连续不断的，f(-1)=log2(-1+2)+1=10,f(3)=log2(3+2)-3=log25-30,f(x)=log2(x+2)-x(-1x3)存在零点.,(2)判断函数 在-1，1上零点的个数， 并说明理由.,【解析】显然函数 在-1，1上是连续 不断的，f(-1)= (-1)3+(-1)2+4(-1)= 0, 又 当-1x1时，0f(x) 在-1，1上是单调递增函数， f(x)在-1,1上只有一个零点.,由函数零点的存在情况求参数的取值 【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法和思路: (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后观察求解.,【例3】(2012济南模拟)已知函数 (1)若g(x)=k有零点，求k的取值范围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根. 【解题指南】(1)可用基本不等式求出最值或数形结合法求解. (2)转化为函数f(x)与g(x)有两个交点，从而数形结合求解.,【规范解答】(1)方法一： 等号 成立的条件是x=e,故g(x)的值域是2e,+)，因此，只需 k2e,则g(x)=k就有零点. 方法二：作出 的大致图像如图： 可知若使g(x)=k有零点，则只需k2e.,e,(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图像有 两个不同的交点，作出 的大致图像.,2e,e,f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2. 其图像的对称轴为x=e,开口向下，最大值为m-1+e2.故当 m-1+e22e,即m-e2+2e+1时，g(x)与f(x)有两个交点，即 g(x)-f(x)=0有两个相异实根. m的取值范围是(-e2+2e+1,+).,【反思感悟】有些二次、高次、分式、指数、对数及三角式、含绝对值方程根的存在问题，常转化为求函数值域或两熟悉函数图像的交点问题求解.,【变式训练】(2012长沙模拟)已知函数f(x)=ax3+bx2+ (c-3a-2b)x+d(a0)的图像如图所示. (1)求c,d的值； (2)若x0=5,方程f(x)=8a有三个不同的根，求实数a的取值范围.,【解析】函数f(x)的导函数为f(x)=3ax2+2bx+c-3a-2b. (1)由题干图可知，函数f(x)的图像过点(0，3)，且,(2)依题意f(x)=ax3+bx2-(3a+2b)x+3(a0), f(x)=3ax2+2bx-3a-2b,由图知f(5)=0，得b=-9a 若方程f(x)=8a有三个不同的根，当且仅当满足f(5)8af(1) 由得-25a+38a7a+3, 解得 a3, 所以，当 a3时，方程f(x)=8a有三个不同的根.,【创新探究】函数零点命题的新动向 【典例】(2011山东高考)已知函数f(x)=logax+x-b(a0,且a1).当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n,n+1),nN+，则n=_.,【解题指南】由条件易知函数f(x)在(0，+)上为增函数,然后根据a,b满足的条件及对数的运算性质探究出f(x)零点所在的区间，从而对照x0(n,n+1),nN+,确定出n的值.,【规范解答】23,-b0,f(3)0,即f(2)f(3)0 由x0(n,n+1),nN+，知n=2. 答案：2,【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点拨及备考建议：,1.(2011新课标全国卷)在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为( ),【解析】选C.f(x)是R上的增函数且图像是连续的，又 f(x)在 内存在唯一零点.,2.(2011浙江高考)设函数 若f(a)=4,则实数 a=( ) (A)-4或-2 (B)-4或2 (C)-2或4 (D)-2或2 【解析】选B.当a0时，f(a)=-a=4,a=-4; 当a0时，f(a)=a2=4,a=2.综上，a=-4或2.,3.(2012长安模拟）函数y=f(x)满足f(x+2)=-f(x),当x(-2,2时，f(x)=|x|-1,则f(x)在0,2 010上零点的个数为( ) （A）1 004 （B）1 005 （C）2 009 （D）2 010 【解析】选B.由f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2)+2= -f(x+2)=f(x), 周期T=4,由题意得f(x)在0,4上的图像如图，由图知函数f(x)在一个周期0,4上有两个零点， 2 010=50