LTI离散系统的响应.ppt

第三章：LTI离散系统的时域分析,Chapter3,Discrete systems,本章要点,单位序列响应和阶跃响应,F,F,LTI离散时间系统的响应,卷积和,F,引言,什么是线性非移变离散系统？,then,非移变系统,then,3.1 LTI离散系统的响应,线性系统：,if,If,3.1 LTI离散系统的响应,一、差分与差分方程,设有序列f(k)，则，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2)等称为f(k)的移位序列。,1. 差分运算,离散信号的变化率有两种表示形式：,（1）一阶前向差分定义：f(k) = f(k+1) f(k) （2）一阶后向差分定义：f(k) = f(k) f(k 1) 和称为差分算子，无原则区别。 （3）差分的线性性质： af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k) （4）二阶差分定义： 2f(k) = f(k) = f(k) f(k-1) = f(k) f(k-1) = f(k)f(k-1) f(k-1) f(k-2)= f(k) 2 f(k-1) +f(k-2) （5） m阶差分: mf(k) = f(k) + b1f(k-1) + bmf(k-m),3.1 LTI离散系统的响应,对离散时间信号而言，信号的差分运算表示的是相邻两个序列值的变化率。定义为,3.1 LTI离散系统的响应,2. 差分方程,包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m),例1：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2k(k),求y(k)。 解： y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k) y(2)= 3y(1) 2y(0) + f(2) = 2 y(3)= 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 一般不易得到解析形式的(闭合)解。,4、变换域法（Z变换法）,逐次代入求解， 概念清楚， 比较简便， 适用于计算机， 缺点是不能得出通式解答。,1、迭代法,2、时域经典法,3、全响应零输入响应零状态响应 零输入响应求解与齐次通解方法相同 零状态响应求解利用卷积和法求解，十分重要,求解过程比较麻烦， 不宜采用。,求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种,全响应齐次通解 特解,自由响应 强迫响应,3.1 LTI离散系统的响应,二、差分方程的经典解,y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m),与微分方程经典解类似，y(k) = yh(k) + yp(k),1. 齐次解yh(k),3.1 LTI离散系统的响应,例2：一阶齐次方程的解,的级数,c是待定常数，有初始条件决定,是个公比为,齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + + a0y(k-n) = 0 其特征方程为 n + an-1n 1 + + a0 = 0 其根i( i = 1，2，n)称为差分方程的特征根。,特征根,单实根,重实根,齐次解,不同特征根所对应的齐次解,3.1 LTI离散系统的响应,2. 特解yp(k): 特解的形式与激励的形式雷同。,一般情况不同激励所对应的特解,特征根,重等于 的特征根,特征根,特征单根,重特征根,3.1 LTI离散系统的响应,例3：若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= 1；激励f(k)=2k，k0。求全解。,解： 特征方程为 2 + 4+ 4=0 可解得特征根1=2= 2，其齐次解为 yh(k)=(C1k +C2) ( 2)k 特解为 yp(k)=P (2)k , k0 代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2= f(k) = 2k ， P=1/4 特解 yp(k)=2k2 , k0,3.1 LTI离散系统的响应,故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) ( 2)k + 2k2 , k0 代入初始条件,求得C1=1 , C2= 1/4 。故全解为 y(k)= (k 1/4 ) ( 2)k + 2k2 , k0,yh(t),（自由响应）,yp(t),(强迫响应),y(k) = yzi (k) + yzs(k) 设激励f(k)在k=0时接入系统， 初始状态：y(1), y(2) , ，y(n) 初始值：y(0), y(1), y(2) , ，y(n-1) 由yzi(k)和 yzs(k)的定义可知，其初始状态分别为 yzs(1) = yzs(2) = = yzs(n) = 0 y(1)= yzi(1) , y(2)= yzi(2),，y(n)= yzi(n) 然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的初始值yzi(j)和yzs(j) ( j = 0, 1, 2 , ，n 1),3.1 LTI离散系统的响应,三、零输入响应和零状态响应,例4：若描述某离散系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k0，初始状态y(1)=0, y(2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,解：（1）yzi(k)满足方程 yzi(k) + 3yzi(k 1)+ 2yzi(k 2)= 0 其初始状态 yzi(1)= y(1)= 0, yzi(2) = y(2) = 1/2 首先递推求出初始值yzi(0), yzi(1), yzi(k)= 3yzi(k 1) 2yzi(k 2),3.1 LTI离散系统的响应,yzi(k)= 3yzi(k 1) 2yzi(k 2) yzi(0)= 3yzi(1) 2yzi(2)= 1 yzi(1)= 3yzi(0) 2yzi(1)=3 方程的特征根为1= 1 ，2= 2 ， 其解为 yzi(k)=Czi1( 1)k+Czi2(2)k 将初始值代入 并解得 Czi1=1 , Czi2= 2 所以 yzi(k)=( 1)k 2( 2)k , k0,yzs(k) + 3yzs(k 1) + 2yzs(k 2) = f(k) yzs(1)= yzs(2) = 0 递推求初始值 yzs(0), yzs(1)， yzs(k) = 3yzs(k 1) 2yzs(k 2) + 2k , k0 yzs(0) = 3yzs(1) 2yzs(2) + 1 = 1 yzs(1) = 3yzs(0) 2yzs(1) + 2 = 1 分别求出齐次解和特解，得 yzs(k) = Czs1(1)k + Czs2(2)k + yp(k) = Czs1( 1)k + Czs2( 2)k + (1/3)2k 代入初始值求得 Czs1= 1/3 , Czs2=1 所以 yzs(k)= ( 1)k/3+ ( 2)k + (1/3)2k , k0,3.1 LTI离散系统的响应,（2）零状态响应yzs(k) 满足,3.1 LTI离散系统的响应,零输入响应,零状态响应,Czii,Ci,仅由系统的初始状态决定。,由初始状态和激励决定。,3.2 单位序列响应和阶跃响应,3.2 单位序列响应和阶跃响应,3.2 单位序列响应和阶跃响应,3.2 单位序列响应和阶跃响应,二、单位序列响应,由单位序列(k)所引起的零状态响应称为单位序列响应或 单位样值响应或单位取样响应，或简称单位响应，记为h(k)。,例1： 求如图所示离散系统的单位序列响应h(k)。,方法一：若方程右端只有f(k)，而无移位项-经典法。,3.2 单位序列响应和阶跃响应,根据h(k)的定义 有 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = (k) （1） h(1) = h(2) = 0 递推求初始值h(0)和h(1)。,h(k)= h(k 1) + 2h(k 2) +(k) h(0)= h(1) + 2h(2) + (0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(1) + (1) = 1,方程（1）移项写为,解：1）列差分方程，求初始值 对加法器列方程 y(k) =y(k-1) +2y(k-2) +f(k) 写成差分方程的形式： y(k) -y(k-1) -2y(k-2) =f(k),2）求h(k)。 对于k 0， h(k)满足齐次方程 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = 0 特征方程 (+1) ( 2) = 0 所以 h(k) = C1( 1)k + C2(2)k ， k 0 将初始值代入，有 h(0) = C1 + C2 =1 , h(1)= C1+2C2 = 1 解得 C1= 1/3 , C2=2/3 h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k , k0 或写为 h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k (k),3.2 单位序列响应和阶跃响应,方法二：方程右端除f(k)外，还有f(k)的移位项，分两步： 1） 设只有(k)作用时，单位序列响应为 h1(k),2）由时不变性：,(k -i),h1(k-i),bm-i (k-i),由齐次性：,bm-i h1(k-i),由叠加性：,3.2 单位序列响应和阶跃响应,例2：求如图所示离散系统的单位序列响应h(k)。,解：1）列差分方程，求初始值,x(k),x(k-1),x(k-2),即 x(k) -x(k-1) -2x(k-2) = f(k) y(k) = x(k-1) -x(k-2) （2） 消去x(k) ，得 y(k) -y(k-1) -2y(k-2) = f(k-1) -f(k-2),x(k)= f(k) + x(k-1) +2x(k-2) （1）,3.2 单位序列响应和阶跃响应,分别对2个加法器列方程,解 ：2）求h(k) h(k)满足 h(k) h(k 1) 2h(k 2)=(k-1) (k 2) 令只有(k)作用时，系统的单位序列响应h1(k) ,满足 h1(k) h1(k 1) 2h1(k 2)=(k) 由上例可知 h1(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k (k) 根据线性和时不变性 h(k) = h1(k-1) h1(k 2) =(1/3)( 1)k -1+ (2/3)(2)k-1(k-1) (1/3)( 1)k 2 + (2/3)(2)k2(k 2),3.2 单位序列响应和阶跃响应,三、阶跃响应,由于,(k) =(k) (k 1) = (k),所以,h(k) =g(k),3.2 单位序列响应和阶跃响应,由单位阶跃序列 (k)所引起的零状态响应称为单位阶跃响应简称阶跃响应，记为g (k)。,3.2 单位序列响应和阶跃响应,求g(k)的方法 经典法 由h(k)求出 例3：已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) 求单位阶跃响应g(k) 。 经典法： g(k)-g(k-1)-2g(k-2)= (k) g(-1)=g(-2)=0 对k0, g(k)-g(k-1)-2g(k-2)=1 齐次解： gh(k)=c1 +c2 特解： gp(k)=p0=- g(k)= c1 +c2 - k0,g(0)= c1+ c2- =1 c1 =1/6 g(1)= -c1+ 2c2- =2 c2=4/3 g(k)= (k) 利用h(k)求g(k): h(k)= (k) g(k)= =,3.2 单位序列响应和阶跃响应,求和公式：,3.2 单位序列响应和阶跃响应,g(k)= = k0,3.2 单位序列响应和阶跃响应,3.3 卷积和,一、卷积和,1 .序列的时域分解,f(k)=+f(-1)(k+1) + f(0)(k) + f(1)(k-1)+ f(2)(k-2) + + f(i)(k i) + ,任意离散序列f(k) 可表示为,2 .任意序列作用下的零状态响应,根据h(k)的定义：,(k),h(k),由时不变性：,(k -i),h(k -i),f (i)(k-i),由齐次性：,f (i) h(k-i),由叠加性：,f (k),yzs(k),卷积和,3.3 卷积和,3 .卷积和的定义,已知定义在区间（ ，）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则 定义和,为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为 f(k)= f1(k)*f2(k) 注意：求和是在虚设的变量 i 下进行的， i 为求和变量， k 为参变量。结果仍为k 的函数。,3.3 卷积和,例1：f (k) = a k(k), h(k) = b k(k) ，求yzs(k)。,解： yzs(k) = f (k) * h(k),当i k时，(k - i) = 0,注意：(k)*(k) = (k+1)(k),3.3 卷积和,例2,3.3 卷积和,二、卷积的图解法,卷积过程可分解为四步： （1）换元： k换为 i得 f1(i)， f2(i) （2）反转平移：由f2(i)反转 f2(i)右移k f2(k i) （3）乘积： f1(i) f2(k i) （4）求和： i 从 到对乘积项求和。 注意：k 为参变量。,3.3 卷积和,3.3 卷积和,3.3 卷积和,相乘，取和,3.3 卷积和,例4：f1(k)、 f2(k)如图所示，已知 f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？,解：,（1）换元,（2） f2(i)反转得f2( i),（3） f2(i)右移2得f2(2i),（4） f1(i)乘f2(2i),（5）求和，得f(2) = 4.5,f2(i ),f2(2i),3.3 卷积和,三、卷积和的性质（重点）,3.3 卷积和,卷积和运算满足交换律， 分配律， 结合律,（1）交换律,（2）结合律,（3）分配律,(2) f (k)*(k k1 ) = f(k k1 ),(5) f(k)*(k) =,(4) f1(k k1)* f2(k k2) = f1(k k1 k2)* f2(k),(6) f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k),3.3 卷积和,与 (k) 卷积和:,(1