§2、3事件的概率与性质.ppt

2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,1,第 2 节 事件的概率,第一章 随机事件及其概率,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,2,一、概率的统计定义,对于事件发生的的可能性大小，需要用一个数量指标去刻画它，这个指标应该是随机事件本身所具有的属性，不能带有主观性，且能在大量重复实验中得到验证，必须符合常情。我们把刻画事件发生的可能性大小的数量指标叫做事件的概率。,1、 概率的含义,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,3,2、概率的统计定义,在一般情况下，对一个随机试验，如何度量随机事件发生的可能性的大小呢 ？为了回答这个问题，我们先引进频率的概念。,设随机事件A在n次试验中发生了r次，则称比值 r/n为这n次试验中事件A发生的频率，即,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,4,在了解了定义之后，下面我们从试验入手，揭示随机事件一个极其重要的特征：,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小。尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非常接近的。,如抛硬币的试验,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,5,因此，概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率的一个近似。,考虑在相同条件下进行的S 轮试验,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,6,事件A在各轮试验中的频率形成一个数列,指的是：当各轮试验次数n1,n2,ns 充分大时，在各轮试验中事件A出现的频率之间、或者它们与某个常数相差甚微。,频率稳定性,即是说，在试验次数足够大的条件下，各频率都能够与某个常数比较接近。,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,7,频率,概率p,这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路。在实际中，当概率不易求出时，人们常取实验次数 很大时事件的频率作为概率的估计值. 并称此概率为:,统计概率。,这种确定概率的方法称为频率方法。,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,8,历史上抛硬币试验的若干结果,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,9,3 、概率的性质,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,10,二、古典概型（古典定义）,在每次实验中发生的可能性是相同的.,古典概型是一类比较简单,直观的随机试验,有以下两个明显特征:,（1）试验所有可能的结果个数有限,即基本事件 个数有限，分别记为,样本空间可表示为,（2） 各个试验结果,样本空间有限,样本点 等可能性,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,11,称此概率为古典概率； 这种确定概率的方法称为古典方法。,即把求概率问题转化为计数统计频数。,定义： 设试验E是古典概型, 其样本空间由 n个样本点组成 , 事件A由k 个样本点组成 。 则定义事件A 的概率为：,注意：排列组合是计算古典概率的重要工具 。,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,12,例 1 一批产品由90件正品和10件次品组成，从中 任取一件，问取得正品的概率多大？,解：设“取得一件产品是正品”这一事件为A，则因为每一件产品都有可能被抽出来，总的抽取方法有（90+10）种，而取得正品的取法有90种，按古典概率的定义，,所求概率为,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,13,例 2 一批产品由95件正品和5件次品组成，连续从中抽取两件，第一次取出后不再放回，问第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率多大？,则A中包含的抽取方法共955种，,解：用A表示事件“第一次取得正品且第二次取得次品”，,由于是无放回地抽取，应用乘法原理可知,总的抽取方法有：10099种，,第一次取正品的方法有95种，,第二次取次品的方法有5种，,所求概率为：,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,14,例3 在例2中，若仍是不放回抽取两件产品，计算“抽得一件为正品，一件为次品”，的概率。,解：设A表示“第一次抽得正品且第二次抽得次品”，,B表示“第一次抽得次品且第二次抽得正品”，,显然A与B是互斥事件，,所求事件“一次取得正品，一次取得次品”，即为A+B.,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,15,例4 一批产品共200个，有6个次品，求（1）任取3个恰有1个次品的概率；（2）任取3个全非次品的概率。,设A=任取3个恰有1个次品，B=任取3个全非次品，则,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,16,例5 2封信随机地向标号为1、2、3、4的4个邮筒投递，求第2个邮筒恰好被投入1封信和前两个邮筒各有1封信的概率。,设A=第2个邮筒只有1封信，B=前2个邮筒各有1封信 则,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,17,例6盒子模型把n个球随机放入N(nN)个盒子中， 求：指定的n个盒子各有一个球的概率； 恰有n个盒子各有一个球的概率。,解：每个球有N 种放法，,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,18,注：当n50时，第二个事件几乎是必然事件，这与我们的直观想像是不同的。,例7生日问题 个人的生日各不相同的,概率是多少？至少有两个人生日相同的概率是多少？,分析：该题概率的计算方法与盒子模型相同.,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,19,三 、几何概型（几何定义）,早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的。,在古典概型中,把试验个数有限改为无限，等可能性不变。人们引入了几何概型。由此形成了确定概率的另一方法几何方法。,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,20,几何概型：,1、样本空间是平面上某个区域，它的面积为S();,2、向区域上随机投掷一点，这里“随机投掷一点” 的含义是指该点落入内任何部分区域内的可能性只 与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置 和形状无关。,3、事件A是的某个区域，它的面积为S(A),则向区域 上随机投掷一点，该点落区域A内的概率是,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,21,注：如果样本空间可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率类似可求，只不过把S理解为长度或体积.,几何概型通常以长度、面积或体积等具体形式表现出来.,与古典概型一样，样本点必须具有等可能性.,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,22,例1候车问题某公共汽车站每天从上午7时起，每隔15分钟来一班车。一乘客在7：007：30随机到达该站，求该乘客等候时间不超过5分钟的概率。,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,23,解：以x、y表示甲、乙两人到达的时刻，则,若以 x、y 表示平面上点的坐标，而所有可能,例2会面问题甲、乙两个相约在0到T这段时间内在预定地点会面，先到的人等候另一个，经过时间 t离去。设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不影响。试求甲、乙两人能会面的概率？,到达时刻形成的点可以用平面上边长为T的,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,24,例2会面问题甲、乙两个相约在0到T这段时间内在预定地点会面，先到的人等候另一个，经过时间 t离去。设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不影响。试求甲、乙两人能会面的概率？,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,25,第 3 节 概率的性质,第一章 随机事件及其概率,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,26,性质2 对任一事件A ，有,注：性质2在计算上很有用，如果直接计算事件A 的 概率不容易，可计算其对立事件的概率。,性质1（有限可加性）,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,27,性质3,注：一般的减法公式为,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,28,性质4 一般的加法公式,证明：,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,29,性质5 多个事件的加法公式,2019/6/6,皖西学院 经济与管理学院,30,概率性质在计算中的应用,例1 50个产品中有46个合格品与4个次品，从中一次抽取3个，求其中有次品的概率,设A为“取到的3个中有次品”，则 为“全是合格品”。,例2 抛一枚硬币5次，求既出现正面又出现反面的概率。,解：设A为所求事件，则