Matlab在微积分中的应用.ppt

1,Matlab 在微积分中的应用,高等数学最基本的概念集中在极限、导数、积分、微分等几个部分，本章主要介绍Matlab在这几方面的应用,2,一、极限、导数与微分,1、极限 limit（expression，var） 该格式将对符号表达式中的变量var进行其趋于0时的求极限运算。 Ex：sys x y a f=sin(x+2*y) limit(f,y),3,如果对系统的默认变量求极限时，也可不说明变量名。 limit(f) 当需要求变量var在趋近于a时的值时，可用如下表达式： limit(expression,var,a),4,2、导数与微分,函数f(x,y,z,)在某一点（x0,y0,z0,）的增长率即为此函数在该点的导数。对一元函数来说，严格定义如下： 可以用前面讲的limit命令来求各种函数的导数，但利用导数的基本概念，可以轻松地进行计算。,5,diff命令,（1）函数f(x)=log(x) (即lgx)的求导 diff（f） （2）求函数的高阶导数 diff（f，n） （3）多元函数的求导 diff（function，variable,n） 其中n为求导阶数 （4）对抽象函数的求导,6,二、积分,1、不定积分 int(f) int(f,var) Ex: syms x y z; int(sin(x*y+z) ans=-cos(x*y+z)/y 如果对z积分，应在int命令后说明： int(sin(x*y+z)，z),7,2、定积分与广义积分,在Matlab中只要在int命令中加入积分限，就可求得函数在积分上下限间的积分值： int（function,var,积分下限,积分上限） Ex: syms x y ansa=int(cos(x),0,pi/6); ansb=int(xy,y,0,pi/6);,8,当积分限由某一具体数值变为正负无穷时，定积分便转变为广义积分，也只需将积分限变为无穷，就可以得到相应函数的广义积分值,9,Ex：求函数 f(x)=1/(x +2x+3),g(x)=1/(x +2x-3)在负无穷到正无穷的积分,syms x f=1/(x2+2*x+3); g=1/(x2+2*x-3); intf=int(f,-inf,inf); intg=int(g,-inf,inf) ezplot(f,-10,10); ezplot(g,-10,10);,2,2,10,g(x)在数轴上有不可积的奇点,11,三、化简、提取与替换代入,1、化简 （1）pretty 如A为待转化格式的代数式，命令pretty（A）即可将A由机器格式转化为手写格式，而且在转化过程中不会对A式进行任何化简或展开,12,（2）Matlab的化简命令,降幂排列法（collect） 展开法（expand） 重叠法（horner） 因式分解法（factor） 单一化简（simplify） 不定化简（simple）,13,降幂排列法（collect） collect(A) collect(A,name_of_varible) 展开法（expand） 将代数式中所有的括号打开，将变量释放出来，但得出的结果并不进行任何整理和幂次排列，只将其凌乱的堆在一起,14,重叠法（horner） 重叠法使一种很特别的代数式的整理化简方法。它的化简方法是将代数式尽量化为ax(bx(cx(zx+z)+y)+)+b)+a 的形式。 horner（A）,15,因式分解法（factor） 因式分解法是化简方法中最常用的一种方法，它的目的就是将代数式A化为由x的一次项为单位的连乘积的形式。 factor（A）,16,单一化简（simplify） 在Matlab中，单一化简是指代数式在考虑了求和、积分、平方运算法则，三角函数、指数函数、对数函数、Bessel函数、hypergeometric函数、garmma函数的运算性质，经计算机比较后转化的一种认为相对简单的形式。此种转化只列出结果，用户并不知道这种形式是经何种变换后得到的。但在普通的化简中，单一化简法倒不失为一种简便快捷的化简方法。,17,不定化简（simple） 综合了前面几种化简方法的优点，但也略显笨拙。因为它不仅将前面的每一种化简方法都试了一遍，还尝试了4、5种转化方法，最后还一一将这些结果列了出来。列出的结果往往多的超出3、4屏，用户可细细观察挑选,18,2、提取与替换代入,提取（subexpr） 在进行繁琐的数学运算中，经常会碰到类似这样的情况：得到的方程的解中，有几个非常长的因子在解中出现很多遍，不管是在纸上还是在屏幕上，它不仅使式子过长变得难看，而且在转抄或粘贴时非常容易出错。,19,Y,SIGMA=subexpr(X,SIGMA) 或Y,SIGMA=subexpr(X,SIGMA),式中各参数含义如下： X：待整理的代数式或代数式的矩阵 SIGMA：在整理过程中提出的各种因子将以矩阵的格式保存在名为SIGMA的变量中 Y：经提取各种因子后，整理完毕的代数式或其矩阵将被保存于Y矩阵中,20,代入（subs）,在Matlab中，将一代数式代入另一式中的操作命令名为subs ss=subs(S,OLD,NEW) S：代数式名 OLD：代数式S中的将要被替换的旧变量名 NEW：将要替换OLD的新变量或代数式 ss：替换后的新代数式,21,四、级数求和,1、symsum(s) s为待求和的级数的通项表达式 命令symsum(s)的功能是求出s关于系统默认变量如k的由0到k-1的有限项的和。如不能确定s的默认变量，则可用findsym(s)命令来查的 symsum(s,v) v为求和变量。求和将v等于1求至v-1,22,五、二重积分,在一个面上积分是二重积分的本质。只要能明确的将积分面表达出来并恰当转化成int命令中所需的积分限的形式，二重积分的结果就得到了。 现在的重点是根据画出的积分平面的外形，正确的定出两组积分限。在此将用ezplot命令画出积分平面外形。,23,Ex：计算函数f=x /y 在区域D上的积分，其中D为直线y=2x,y=x/2,y=12-x围成的区域,1.划分积分区域 syms x y f=x2/y2; y1=2*x; y2=x/2; y3=12-x;,ezplot(y1) hold on ezplot(y2) hold on ezplot(y3,-2 15),2,2,24,3条直线相应区域即为积分区域,25,2.确定积分限 pointA=fzero(2*x-x/2,0) pointB=fzero(2*x-(12-x),4) pointC=fzero(12-x-x/2,8) 求得结果为： pointA=0 pointB=4 pointC=8 即xA=0,xB=4,xC=8,26,3.积分运算 A1=int(f,y,x/2,2*x) A2=int(f,y,x/2,12-x) B1=int(A1,0,4) B2=int(A2,4,8) Answer=B1+B2,27,六、符号方程与方程组的求解,1、线性方程组linsolve X=linsolve(A,B) A必须至少是行满秩 2、非线性方程组和超越方程 (1)solve(E),solve(E,var) E为符号方程 Var为代求符号变量,28,(2)a1,a2,an=solve(E1,E2,En) a1,a2,an=solve(E1,E2,En,var1,var2,varn),29,3、方程的数值求解方法 （1）一元方程转化的函数，其零点的求法用fzero命令 z=fzero(fun,x) z=fzero(fun,x,tol) z=fzero(fun,x,tol,trace),30,（2）非线性方程组的求解fsolve X=fsolve(functions_name,X0) 其中functions_name是预先以m函数格式写入Matlab的函数组的函数名。X0是当函数组均等于零时对各变量的解的估计。,31,1.求函数y=sin3x/tg5x在x=0处的极限 2.求函数y=1/x -3x+3的50阶导数 3.求(2-sinx)/sin x的不定积分 4.求函数f(x,y,z)=x +y z 在区域D上的积分，区域D为D=(x,y