微积末复习总结资料.pdf

微积分 本文档由 大学公社 搜集整理，内容来自网络，仅提供参考！ 第 1 页 共 56 页 微积分期末复习总结资料微积分期末复习总结资料 首先，就是要有正确的复习方法。在这里，我们也给大家提供几种有效的方法以供参考： 第一、大家首先要克服浮躁的毛病，养成看课本的习惯。其实，所有的考试都是从课本知识中发散 来的，所以在复习时就必须看课本，反复的看，细节很重要，特别是基本概念和定理。详细浏览完课本 之后，认真复习课本上的课后习题和学习指导上每章的复习小结，力争复习参考题每题都过关。复习小 结了然于心，然后再复习。 第二、制定复习计划，把时间合理分配到四个章节，尤其是第二章极限尤为重点，是整个上学期微 积分理论的基础。学好极限，对于理解连续还有导数有着重要意义，很多同学觉得越学越吃力的原因还 是在于学期初没有扎实的打好知识基础。 第三、理清知识结构网络图（极限、连续、导数、不定积分），然后根据知识结构网络图去发散、 联想基础概念和基本定理和每个知识点的应用计算题，对本章节的内容有个清晰的思路，这样就可以在 整体上把握书本知识。从整体上把握书本知识有利于我们对于试卷中的一些基本的题目有一个宏观的把 握，对于试卷中的问答题，可以从多角度去理解和把握，这样就能够做到回答问题的严密性。 第四、将课上老师所讲授的典型例题及做习题过程遇到的难题还有易错的题归纳整理，分析。数学 当中很容易出现同一个问题有几种不同的解决方法的情况，但是经过总结归纳之后在应试时可以选取一 个最简单而且效率最高的解法。比如，求极限的 13 种方法要分别练习，还有求导、求微分及求不定积 分公式表要经常回顾。 第五、有条件的话可以看看往年的考试真题，针对出现较频率较高的题型，适当的做些有针对性的 模拟试题。另外，应该多做那些自己认为知识点理解、应用薄弱的题，对一些难题可在自己思考的基础 上加强与同学、老师的交流，对于那些偏题、怪题笑而弃之。 其次，有了好的复习方法，还要注意复习内容，也就是复习要点。微积分上学期的主要内容及基本 要求经过详细整理分类主要包括以下三个部分，希望能够对大家的复习起到事半功倍的效果： 函数、极限与连续函数、极限与连续 (一)基本概念 微积分 本文档由 大学公社 搜集整理，内容来自网络，仅提供参考！ 第 2 页 共 56 页 1函数：常量与变量，函数的定义 2函数的表示方法：解析法，图示法、表格法 3函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性 4初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系 5极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质， 无穷小量的比较，两个重要极限 6连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连 续函数性质的叙述 重点：函数概念，基本初等函数，极限的计算 难点：建立函数关系，极限概念 (二)基本要求 1. 理解函数的概念，了解分段函数。能熟练地求函数的定义域和函数值。 2. 了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)。 3. 熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。 4. 了解复合函数、初等函数的概念。 5. 会列简单应用问题的函数关系式。 6. 了解极限的概念，知道数极限的描述性定义，会求函数的左、右极限。 7. 了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系，以及无穷小量的比较等关 系。 8. 掌握极限的四则运算法则. 9. 掌握用两个重要极限求一些极限的方法。 微积分 本文档由 大学公社 搜集整理，内容来自网络，仅提供参考！ 第 3 页 共 56 页 10. 了解函数连续性的定义，会求函数的连续区间。 11. 了解函数间断点的概念，会判别函数间断点的类型。 12. 记住初等函数在其有定义的区间内连续的性质，知道闭区间上的连续函数的几个性质。 一元函数微分学一元函数微分学 (一)基本概念 1导数：导数的定义及几何意义，函数连续与可导的关系，基本初等函数的导数，导数的四则运算法 则，复合函数求导法则，隐函数求导法则，对数求导法举例，用参数表示的函数的求导法则，高阶导数 2微分：微分的概念与运算，微分基本公式表，微分法则，一阶微分形式的不变性 3中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的叙述 4导数应用：用洛比达法则去求七种未定式极限问题，函数的单调性判别法，函数的极值 及其求法，函数图形的凹凸性及其判别法，拐点及其求法，水平与垂直渐近线，最大值、最小值问题， 导数在经济问题的应用 重点：导数概念和导数的计算，极值，最大利润问题 难点：导数的应用 (二)基本要求 1. 理解导数与微分概念，了解导数的几何意义。会求曲线的切线和法线方程。知道可导与连续的关系。 2. 熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则。 3. 熟练掌握复合函数的求导法则。 4. 掌握隐函数的微分法，取对数求导数的方法，以及用参数表示的函数求一阶导数的方法。 5. 知道一阶微分形式的不变性。 6. 了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。 微积分 本文档由 大学公社 搜集整理，内容来自网络，仅提供参考！ 第 4 页 共 56 页 7. 了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论；知道柯西定理的条件和结论。会用拉格朗日定理 证明简单的不等式 . 掌握洛比达法则求极限问题 9.了解驻点、极值点、极值、凹凸、拐点等概念 10.掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法，了解可导函数极值存在的必 要条件。知道极值点与驻点的区别与联系 11.掌握用二阶导数求曲线凹凸（包括判别）的方法，会求曲线的拐点 12.会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线 13. 掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法 不定积分不定积分 (一)基本概念 1不定积分：原函数、不定积分概念，不定积分的性质，基本积分公式表 2积分法：第一换元积分法，第二换元积分法，分部积分法，有理函数积分举例，三角有理式积分举 例，积分表的使用 重点：积分概念与计算，在几何上的应用 难点：积分的计算及其应用 (二)基本要求 1.理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数(微分)的关系 2.熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法 3.了解不定积分概念(定义、几何意义、物理意义)和不定积分的性质 4.熟练掌握求解不定积分的方法 微积分 本文档由 大学公社 搜集整理，内容来自网络，仅提供参考！ 第 5 页 共 56 页 最后一点，还要提醒大家的就是复习时的注意事项。在复习的过程中，应该注意调整我们的状态和 注意休息，一般地说，我们的大脑集中于某一学科的时间不是很长的，时间一长，我们的思维就可能处 于停滞的状态，所以我们应该合理地安排时间，争取在复习时将所学的几门学科都能够交叉安排，这样 保证大脑的高效率。同时，还应该注意休息。考试期间的复习效率很低，那时看看书适当放松，把习题 简单回顾一下足矣。 考前注意保持充足的睡眠， 现在很多同学在期末考试前点灯熬夜， 晚上不注意休息， 考试没有精神，甚至睡着了，导致很容易的题目也没有时间做了；还有不容忽视的一点就是，在考试的 过程中，要注意卷面干净、书写整洁，还要有清晰的解题思路和完整的答题步骤，对于没有思路的题可 以先放放以免耽误答题时间，否则会影响自己的卷面得分。最后，希望大家保持一个健康的身体和良好 的心态，做好期末复习，祝大家取得好成绩！提前祝大家元旦快乐！ 微积分 本文档由 大学公社 搜集整理，内容来自网络，仅提供参考！ 第 6 页 共 56 页 第一章第一章 函数与极限函数与极限 第一节第一节 函数函数 1.1 1.1 函数内容网络图函数内容网络图 区间区间 定义域定义域 不等式不等式 定义定义 集合集合 对应法则对应法则 表格法表格法 表达方法表达方法 图象法图象法 初等函数初等函数 解析法解析法 非初等函数非初等函数 单调性单调性 函数的特性函数的特性 奇偶性奇偶性 函数函数 周期性周期性 有界性有界性 定义定义 反函数反函数 重要的函数重要的函数 存在性定理存在性定理 复合函数复合函数 符号函数：符号函数： . 0, 1 , 0, 0 , 0, 1 sgn x x x x 几个具体重要的函数几个具体重要的函数 取整函数：取整函数： xxf，其中，其中x表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最大整数. 狄里克雷函数：狄里克雷函数： ., 0 , 1 为无理数 为有理数 x x xD 1.2 1.2 内容提要与释疑解难内容提要与释疑解难 一、函数的概念一、函数的概念 定义定义:设设 A、B 是两个非空实数集，如果存在一个对应法则是两个非空实数集，如果存在一个对应法则 f，使得对，使得对 A 中任何一个实数中任何一个实数 x，在，在 B 中中 都有唯一确定的实数都有唯一确定的实数 y 与与 x 对应，则称对应法则对应，则称对应法则 f 是是 A 上的函数，记为上的函数，记为 BAfyxf:或. y 称为称为 x 对应的函数值，记为对应的函数值，记为 Axxfy,. 微积分 本文档由 大学公社 搜集整理，内容来自网络，仅提供参考！ 第 7 页 共 56 页 其中其中 x 叫做自变量，叫做自变量， y 又叫因变量，又叫因变量， A 称为函数称为函数 f 的定义域， 记为的定义域， 记为 D （f） ，） ， AxxfAf )()(, 称 为 函 数 的 值 域 ， 记 为称 为 函 数 的 值 域 ， 记 为R （ f ） ， 在 平 面 坐 标 系） ， 在 平 面 坐 标 系Oxy下 ， 集 合下 ， 集 合 Dxxfyyx),(),(称为函数称为函数 y=f(x)的图的图形。函数是微积分中最重要最基本的一个概念，因为微形。函数是微积分中最重要最基本的一个概念，因为微 积分是以函数为研究对象，运用无穷小及无穷大过程分析处理问题的一门数学学科。积分是以函数为研究对象，运用无穷小及无穷大过程分析处理问题的一门数学学科。 1、由确定函数的因素是定义域、对应法则及值域，而值域被定义域和对应法则完全确定，故确定、由确定函数的因素是定义域、对应法则及值域，而值域被定义域和对应法则完全确定，故确定 函数的两要素为定义域和对应法则。从而在判断两个函数是否为同一函数时，只要看这两个函数的定义函数的两要素为定义域和对应法则。从而在判断两个函数是否为同一函数时，只要看这两个函数的定义 域和对应法则是否相同，至于自变量、因变量用什么字母，函数用什么记号都是无关紧要的。域和对应法则是否相同，至于自变量、因变量用什么字母，函数用什么记号都是无关紧要的。 2、函数与函数表达式的区别：函数表达式指的是解析式子，是表示函数的主要形式，而函数除了、函数与函数表达式的区别：函数表达式指的是解析式子，是表示函数的主要形式，而函数除了 用表达式来表示，还可以用表用表达式来表示，还可以用表格法、图象法等形式来表示，不要把函数与函数表达式等同起来。格法、图象法等形式来表示，不要把函数与函数表达式等同起来。 二、反函数二、反函数 定义定义 设设 y=f(x)，Dx，若对，若对 R(f)中每一个中每一个 y，都有唯一确定且满足，都有唯一确定且满足 y=f(x)的的Dx与之对应，与之对应， 则按此对应法则就能得到一个定义在则按此对应法则就能得到一个定义在 R（f）上的函数，称这个函数为）上的函数，称这个函数为 f 的反函数，记作的反函数，记作 fRyyfxDfRf ,: 11 或. 由于习惯上用由于习惯上用 x 表示自变量，表示自变量，y 表示因变量，所以常把上述函数改写成表示因变量，所以常把上述函数改写成 fRxxfy , 1 . 1、由函数、反函数的定义可知，反函数的定义域是原来函数的值域，值域是原来函数的定义域。、由函数、反函数的定义可知，反函数的定义域是原来函数的值域，值域是原来函数的定义域。 2、函数、函数 y=f(x)与与 x=f-1(y)的图象相同，这因为满足的图象相同，这因为满足 y=f(x)点（点（x,y）的集合与满足）的集合与满足 x=f-1(y)点点(x,y)的集的集 合完全相同，而函数合完全相同，而函数 y=f(x)与与 y=f-1(x)图象关于直线图象关于直线 y=x 对称。对称。 3、若、若 y=f(x)的反函数是的反函数是 x=f-1(y)，则，则 ., )( 11 xffxyffy 4、定理、定理 1（反函数存在定理）严格增（减）的函数（反函数存在定理）严格增（减）的函数必有严格增（减）的反函数。必有严格增（减）的反函数。 三、复合函数三、复合函数 定义定义 设设 DxxuEuufy,，若，若 RfD)(，则，则 y 通过通过 u 构成构成 x 的函数，的函数， 称为由称为由 y=f(u)与与 xu复合而成的函数，简称为复合函数，记作复合而成的函数，简称为复合函数，记作)(xfy。 复合函数的定义域为复合函数的定义域为ExDxx)(且，其中，其中 x 称为自变量，称为自变量，y 称为因变量，称为因变量，u 称为中间变量，称为中间变量， x称为内函数，称为内函数，f(u)称为外函数。称为外函数。 1、在实际判断两个函数、在实际判断两个函数 xuufy),(能否构成复合函数，只要看能否构成复合函数，只要看 )(xfy的定义域是否的定义域是否 为非空集，若不为空集，则能构成复合函数，否则不能复合函数。为非空集，若不为空集，则能构成复合函数，否则不能复合函数。 2、在求复合函数时，只要指出谁是内函数，谁是外函数，例如在求复合函数时，只要指出谁是内函数，谁是外函数，例如 y=f(x), y=g(x),若若 y=f(x)作为外函作为外函 数，数，y=g(x)作为内函数。则复合函数作为内函数。则复合函数 )(xgfy ，若，若 xgy 作为外函数，作为外函数， xfy 作为内函数，则作为内函数，则 复合函数为复合函数为 y=g(f(x)。 3、我们要学会分析复合函数的复合结构，既要会把几个函数复合成一个复合函数，又要会把一个我们要学会分析复合函数的复合结构，既要会把几个函数复合成一个复合函数，又要会把一个 复合函数分拆成几个函数的复合。复合函数分拆成几个函数的复合。 四四 初等函数初等函数 常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。 微积分 本文档由 大学公社 搜集整理，内容来自网络，仅提供参考！ 第 8 页 共 56 页 大家一定要记住基本初等函数的定义域，值域，会画它们的图象，并且要知道这些函数在哪些区间大家一定要记住基本初等函数的定义域，值域，会画它们的图象，并且要知道这些函数在哪些区间 递增，在哪些区间递减，是否经过原点？与坐标轴的交点是什么？以后我们常常要用到。递增，在哪些区间递减，是否经过原点？与坐标轴的交点是什么？以后我们常常要用到。 由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算所得到的函数统称为由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算所得到的函数统称为初等函数。初等函数。 不是初等函数称为非初等函数。不是初等函数称为非初等函数。 一般来说，分段函数不是初等函数，但有些分段函数可能是初等函数，例如一般来说，分段函数不是初等函数，但有些分段函数可能是初等函数，例如 0, 0, xx xx xf 2 xx ，是由，是由 2 ,xuuy复合而成。复合而成。 五五 具有某些特性的函数具有某些特性的函数 1奇（偶）函数奇（偶）函数 定 义定 义 设设 D 是 关 于 原 点 对 称 的 数 集 ，是 关 于 原 点 对 称 的 数 集 ， y=f(x) 为 定 义 在为 定 义 在 D 上上 的 函 数 ， 若 对 每 一 个的 函 数 ， 若 对 每 一 个 DxDx也有这时，都有，都有 xfxfxfxf，则称，则称 y=f(x)为为 D 上的奇（偶）上的奇（偶） 函数。函数。 （1）定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要条件。）定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要条件。 （2）若）若 f(x)为奇函数，则为奇函数，则 f(0)=0，事实上，由定义知，事实上，由定义知 f(-0)=-f(0)，有，有 f(0)=-f(0)，得得 f(0)=0. 2周期函数周期函数 定义定义 设设 y=f(x)为定义在为定义在 D 上的函数，若存在某个非零常数上的函数，若存在某个非零常数 T，使得对一切，使得对一切Dx，都有，都有 f(x+T)=f(x)，则称，则称 y=f(x)为周期函数，为周期函数，T 称为称为 y=f(x)的一个周期。的一个周期。 显然，若显然，若 T 是是 f(x)的周期，则的周期，则ZkkT也是也是 f（x）的周期，若周期函数）的周期，若周期函数 f(x)的所有正周期中存在的所有正周期中存在 最小正周期，则称这个最小正周期为最小正周期，则称这个最小正周期为 f(x)的基本周期，一般地，函数的周期是指的是基本周期。的基本周期，一般地，函数的周期是指的是基本周期。 必须指出的是不是所有的周期函数都有最小正周期，例如必须指出的是不是所有的周期函数都有最小正周期，例如 f(x)=c（c 为常数） ，因为对任意的实常数为常数） ，因为对任意的实常数 T，都有，都有 f(x+T)=f(x)=c。所以。所以 f(x)=c 是周期函数，但在实数里没有最小正常数，所以，周期函数是周期函数，但在实数里没有最小正常数，所以，周期函数 f(x)=c 没有最小正周期。没有最小正周期。 如果如果 f(x)为周期函数，且周期为为周期函数，且周期为 T，任给，任给Dx，有，有 f(x)=f(x+kT)，知，知ZkDkTx。所以。所以 D 是无穷区间，即无穷区间是周期函数的必要条件。是无穷区间，即无穷区间是周期函数的必要条件。 3单调函数单调函数 定义定义 设设 y=f(x)为定义在为定义在 D 上的函数，若对上的函数，若对 D 中任意两个数中任意两个数 x1,x2且且 x10，使得对每一个，使得对每一个Dx，都，都有有 Mxf 则则 f(x)为为 D 上的有界函数。上的有界函数。 几何意义，若几何意义，若 f(x)为为 D 上的有界函数，则上的有界函数，则 f(x)的图象完全落在直线的图象完全落在直线 y=-M 与与 y=M 之间。之间。 注意：直线注意：直线 y=-M，y=M 不一定与曲线相切。有界函数定义的反面是不一定与曲线相切。有界函数定义的反面是 定义定义 设设 y=f(x)为定义在为定义在 D 上的函数，若对每一个正常数上的函数，若对每一个正常数 M（无论（无论 M 多么大） ，都存在多么大） ，都存在Dx 0 ， 使使 Mxf 0 ，则称，则称 f(x)为为 D 上的无界函数。上的无界函数。 6函数的延拓与分解函数的延拓与分解 有时我们需要由已知函数产生新的函数来解决实际问题，这里我们从函数的特性出发，开拓由已知有时我们需要由已知函数产生新的函数来解决实际问题，这里我们从函数的特性出发，开拓由已知 产生新的函数的方法。产生新的函数的方法。 设设 axxfy, 0,，我考虑区间，我考虑区间-a,a上的函数上的函数 F(x)，它是偶函数，且在，它是偶函数，且在0,a上，使上，使 F(x)=f(x)， 则应有则应有 .0 , , 0, axxf axxf xF 称称 F（x）是）是 f(x)的偶延拓的偶延拓 同样可给出同样可给出 f(x)的奇延拓，即函数的奇延拓，即函数 F（x）在）在-a,a上的奇函数，且在（上的奇函数，且在（0,a）上，）上，F（x）=f(x)，则应，则应 有有 0 , 0, 0 , 0, axxf x axxf xF这样，研究这样，研究 f(x)只要，研究只要，研究 F（x）就可以了。）就可以了。 同样，对于函数同样，对于函数 y=f(x),bax,，可以构造一个以（可以构造一个以（b-a）为周期的周期函数）为周期的周期函数 F（x） ，在（） ，在（a,b）上，）上， F（x）=f(x)，则有，则有 znnabnannbxabnxf baxxf xF ,1,1, , 这就是函数这就是函数 f(x)的周期延招，研究的周期延招，研究 f(x)只要研究只要研究 F（x）就可以了。）就可以了。 此外，定义在区间（此外，定义在区间（-a,a）上的任何一个函数）上的任何一个函数 f(x)都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和事实上都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和事实上 22 xfxfxfxf xf 设设 , 2 , 2 21 xfxf xf xfxf xf 由奇偶函数的定义知，由奇偶函数的定义知，f1(x)是奇函数。是奇函数。 f2(x)是偶函数，且是偶函数，且 xfxfxf 21 . 我们还可以证明我们还可以证明 f1(x)，f2(x)是唯一存在，如果是唯一存在，如果 xgxgxf 21 , 其中其中 g1(x)是奇函数，是奇函数，g2(x)是偶函数，于是是偶函数，于是 xgxgxf 21 , xgxgxgxgxf 2121 , 解得解得 xf xfxf xg 11 2 ， xf xfxf xg 22 2 1.31.3 解题基本方法与技巧解题基本方法与技巧 微积分 本文档由 大学公社 搜集整理，内容来自网络，仅提供参考！ 第 10 页 共 56 页 一、求函数定义域的方法一、求函数定义域的方法 1若函数是一个抽象的数学表达式子，则其定义域应是使这式子有意义的一切实数组成的集合，若函数是一个抽象的数学表达式子，则其定义域应是使这式子有意义的一切实数组成的集合， 且在且在 （1）分式的分母不能为零；）分式的分母不能为零； （2）偶次根号下应大于或等于零；）偶次根号下应大于或等于零； （3）对数式的真数应大于零且）对数式的真数应大于零且 底底数大于零不为数大于零不为 1； （4）arc sin x或或 arc xcos，其其 1x； （5） xtan，其其 .,cot;, 22 zkkxkxzkkxk 其 （6）若函数的表达式由几项组成，则它的定义域是各项定义域的交集；）若函数的表达式由几项组成，则它的定义域是各项定义域的交集； （7）分段函数的定义域是各段定义域的并集。）分段函数的定义域是各段定义域的并集。 2.若函数涉及到实际问题，定义域是除了使数学式子有意义还应当确保实际有意义自变量取值全体若函数涉及到实际问题，定义域是除了使数学式子有意义还应当确保实际有意义自变量取值全体 组成的集合。组成的集合。 3.对于抽象函数的定义域问题，要依据函数定义及题设条件。对于抽象函数的定义域问题，要依据函数定义及题设条件。 例例 1 求下列函数的定义域：求下列函数的定义域： （1） 3 3xxy； （2） x x y 1 2 arcsin 解（解（1）要使函数式子有意义，就必须满足）要使函数式子有意义，就必须满足03 3 xx。 化简有化简有 033xxx, 即即 033xxx. 解之，得定义域为解之，得定义域为 3, 03,x。 （2）要使函数式子有意义，就必须满足）要使函数式子有意义，就必须满足 1 1 2 x x ，即，即1 1 2 1 x x ， 化简有化简有1 1 2 21 x ，1 1 2 3 x ， 不等式各边除以（不等式各边除以（-2）有，）有， 2 1 1 1 2 3 x ， 各边取倒数得，各边取倒数得，21 3 2 x。解之，得函数的定义域为。解之，得函数的定义域为1 3 1 x。 例例 2 不清设不清设 2 1 1 x x xf，求，求 f(x)的定义域。的定义域。 解解 要使函数式子有意义，必须满足要使函数式子有意义，必须满足 02 0 2 1 1 x x 即即 2 1 x x 故所给函数的定义域为故所给函数的定义域为2, 1:xxRxx且。 注意：如果把注意：如果把 2 1 1 x x 化简为化简为 1 2 x xx ，那么函数的定义域为，那么函数的定义域为1x的一切实数，因此，求函数的的一切实数，因此，求函数的 微积分 本文档由 大学公社 搜集整理，内容来自网络，仅提供参考！ 第 11 页 共 56 页 定义变形式时需特别小心，避免出错。定义变形式时需特别小心，避免出错。 例例 3 已知已知 xxfexf x 1, 2 且且 0x，求求 x并写出它的定义域。并写出它的定义域。 解解 由由 xe x 1 2 ，得，得 xx1ln， 由由01ln x，得，得11 x，即，即 x0，所以，所以 0,1lnxxx。 例例 4 设设 f(x)的定义域为的定义域为0，1，试求，试求 f(x+a)+f(x-a)的定义域（的定义域（a0） 。） 。 解解 要使要使 f(x+a)+f(x-a)有意义，必须满足有意义，必须满足 , 10 , 10 ax ax 得得 .1 ,1 axa axa 当当 2 1 0 a时，由时，由aa1，知函数的定义域为，知函数的定义域为axa1。当。当 2 1 a时，由时，由 a1a，知定义域不，知定义域不 存在。存在。 二、求函数值域的方法二、求函数值域的方法 1. 由定义域由定义域 x 的范围，利用不等式求出的范围，利用不等式求出 f(x)的范围；的范围； 2. 若若 y=f(x)有反函数有反函数 x=f -1 (y)，求出反函数的定义域就是函数的值域；，求出反函数的定义域就是函数的值域； 3. 利用一元二次方程的判别式求函数的值域。利用一元二次方程的判别式求函数的值域。 例例 5 求下列函数值域：求下列函数值域： （1）xxy1； （2） 3 1 x x y； （3） 1 12 2 2 xx xx y。 解（解（1）令）令 2 1,1txtx则，于是，于是 4 5 4 5 2 1 11 2 2 tttxxy。 当且仅当当且仅当 2 1 t，即，即 4 3 x时，时， 4 5 y。故函数。故函数xxy1的值域是的值域是 4 5 ,。 （2）由）由 3 1 x x y，得，得(x+3)y=x+1，解之，解之， 1 31 y y x是是 3 1 x x y的反函数，而的反函数，而 1 31 y y x的定义域是的定义域是1y，故函数值域是，故函数值域是, 11 ,。 （3）由原函数式变形，得）由原函数式变形，得 121 22 xxxxy，即，即 0121 2 yxyxy。 当当 y-1=0，即，即 y=1 时，时，x=0；当；当时即1, 01yy， 0142 22 yy，即，即140yy。故函数的值域为。故函数的值域为0，4。 三、判断两函数是否为同一函数的方法三、判断两函数是否为同一函数的方法 例例 6 判断下列各组函数是否为同一函数：判断下列各组函数是否为同一函数： （1） （） （i）xxy0sin； （ii）,0cos1 2 tts 微积分 本文档由 大学公社 搜集整理，内容来自网络，仅提供参考！ 第 12 页 共 56 页 （2） （） （i） 1 1 2 x x y； （ii） 1 1 x y。 解（解（1）由）由 y=sinx 的定义域是的定义域是0，ts 2 cos1的定义域是的定义域是0，。知两函数定义域相同，。知两函数定义域相同， 又又,0sinsinsincos1 22 tttttS知两函数对应法则相同，故（知两函数对应法则相同，故（i） （） （ii）为同一函）为同一函 数。数。 （2）由）由 1 1 2 x x y的定义域是的定义域是1x的全体实数，的全体实数， 1 1 x y的定义域是的定义域是1x的全体实数，知的全体实数，知 两函数定义域不同，尽管当两函数定义域不同，尽管当1x时，时， 1 1 1 1 2 xx x y，知两函数对应法则相同，但（，知两函数对应法则相同，但（i） （） （ii）不是）不是 同一个函数。同一个函数。 四、求反函数方法四、求反函数方法 步骤：步骤：1. 从从 y=f(x)中解出中解出 x=f-1(y) ;2.改写成改写成 y=f-1(x),则则 y=f- 1(x)是 是 x=f- 1(y)的反函数 的反函数. 例例 7 求下列函数的反函数求下列函数的反函数: (1)011 2 xxy； （2） 3232 11xxxxy； （3） . 4,2 , 41 , , 1, 2 x xx xx y x 解（解（1）由）由1 , 0,1 2 yyx，知反函数为，知反函数为 2 1xy， 1 , 0x。 （2）由）由 3232 11xxxxy 两边立方得两边立方得 ,11)1(31131 23 2 2232 2 223 xxxxxxxxxxxxy即即 ,3213132 32323 yxxxxxxy 解之解之 3 3 2 1 yyx。 所以反函数为所以反函数为.,3 2 1 3 Rxxxy （3）由）由 ,16,log ,161 , , 1, 2 yy yy yy x 则反函数为则反函数为 .16,log ,161 , , 1, 2 xx xx xx y 五、求复合函数的方法。五、求复合函数的方法。 1代入法代入法 某一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种构成复合函数的方法，称之为代入法，某一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种构成复合函数的方法，称之为代入法， 该法适用于初等函数的复合，关健搞清谁是内函数，谁是外函数。该法适用于初等函数的复合，关健搞清谁是内函数，谁是外函数。 2分析法分析法 根据外函数定义的各区间段，结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进行分析，从而得出复合根据外函数定义的各区间段，结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进行分析，从而得出复合 函数的方法，该方法用于初等函数与分段函数或分段函数与分段函数的复合。函数的方法，该方法用于初等函数与分段函数或分段函数与分段函数的复合。 微积分 本文档由 大学公社 搜集整理，内容来自网络，仅提供参考！ 第 13 页 共 56 页 例例 8 设设 ., 1 2 次 求 n n xfffxf x x xf . 解解 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1x x x x x x xf x x xf xf xffxf ， xf xf xffxfffxf 2 2 2 23 1 2 2 2 2 31 21 1 21 x x x x x x ， 猜想猜想 2 1nx x xfn 。 当当 n=1 时，结论已成立，假设时，结论已成立，假设 n=k 时，时， 2 1kx x xfk 成立，当成立，当 n=k+1 时，时， 2 2 2 2 1 11 1 1 1 xk x kx x kx x xffxf kk 。 即即 n=k+1 时结论成立，故时结论成立，故 2 1nx x xfn 。 例例 9 设设 xff x x xf求 , 1, 0 , 1, 1 。 解解 当当 11, 1,1fxffxfx时， 当当 10, 0,1fxffxfx时。 故故 f(f(x)=1。 例例 10 设设 xf xx xx x xx xe xf x 求 , 0, 1 , 0, 2 . 1, , 1, 2。 解解 由由 . 1, , 1, xx xe xf x （1）当）当 1x时时 或或 1 , 1 , 0 , 12, 0 x x x xxx有即。 或或 . 20, 22 , 0 , 11, 0 2 x x x xxx有即 微积分 本文档由 大学公社 搜集整理，内容来自网络，仅提供参考！ 第 14 页 共 56 页 （2）当）当 1x时时 或或 01 , 1 , 0 , 12, 0 x x x xxx有即。 或或 . 2, 22 , 0 , 11, 0 2 x xx x xxx有 或 即得得 2, 1 ,20 , , 01, 2 , 1, 2 1 2 2 xx xe xx xe xf x x 六、判断奇偶函数的方法六、判断奇偶函数的方法 偶函数偶函数 f(x)的图象关于的图象关于 y 轴对称；奇函数轴对称；奇函数 f(x)的图象关于原点对称。的图象关于原点对称。 奇偶函数的运算性质奇偶函数的运算性质 1. 奇函数的代数和仍为奇函数，偶函数的代数和仍为偶函数。奇函数的代数和仍为奇函数，偶函数的代数和仍为偶函数。 2. 偶数个奇（偶）函数之积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数。偶数个奇（偶）函数之积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数。 3. 一奇一偶的乘积为奇函数一奇一偶的乘积为奇函数 4. 两个奇函数复合仍为奇函数，一奇一偶复合为偶函数，两个偶函数复合仍为偶函数。两个奇函数复合仍为奇函数，一奇一偶复合为偶函数，两个偶函数复合仍为偶函数。 判断方法判断方法 1用定义用定义 2.若若 f(x)+f(-x)=0，则，则 f(x)为奇函数，这种方法适合用定义比较困难的题目。为奇函数，这种方法适合用定义比较困难的题目。 例例 11 判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性： （1） 3 2 3 2 11xxxf； （2） x x xf 1 1 ln； （3） 2 1 1 1 x a xf（a0,a1 常数）常数） 解（解（1）由）由 xfxxxxxf 3 2 3 2 3 2 2 3 1111，知，知 f(x)为偶函数为偶函数 （2）由）由 x x x x xfxf 1 1 ln 1 1 ln , 01ln 1 1 1 1 ln 1 1 ln 1 1 ln x x x x x x x x 知知 f(x)为奇函数。为奇函数。 （3）由）由 2 1 1 1 1 2 1 1 1 x x a a xf 2 1 1 12 1 1 xx x a a a a xf aaa aa xxx xx 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 ，知，知 f(x)为奇函数为奇函数 七、周期函数的判断与周期的求法七、周期函数的判断与周期的求法 1周期函数周期的求法周期函数周期的求法 （1）若）若 T 为为 f(x) 的周期，则的周期，则 f(ax+b)的周期为的周期为0a a T （2）若）若 f(x)的周期为的周期为 T1，g(x)的周期为的周期为 T2，则，则 c1f(x)+c2g(x)的周期为的周期为 T1，T2的最小公倍数。的最小公倍数。 微积分 本文档由 大学公社 搜集整理，内容来自网络，仅提供参考！ 第 15 页 共 56 页 2周期函数的判断方法。周期函数的判断方法。 （1）用定义。）用定义。 （2）用周期函数的运算性质。）用周期函数的运算性质。 常见函数的周期：常见函数的周期：sinx,cosx,其周期其周期 T=2；,cos,sin,cot,tanxxxx其周期其周期 T=。 例例 12 求下列函数周期求下列函数周期 （1） 3 tan3 2 tan2 xx xf； （2） xxxf 44 cossin； （3） xxxf。 解（解（1）由）由 2 tan x 的周期的周期 2 2 1 1 T， 3 tan x 的周期的周期 3 3 1 2 T。故。故 f(x)的周期性期为的周期性期为 6。 （2）由）由 xxxxxf 22 2 22 cossin2cossin xx4co s1 4 1 12s in 2 1 1 2 x4co s 4 1 4 3 ，知，知 f(x)的周期的周期 2 1 4 2 T。 （3）设）设Znrrnx，10，T 为任意整数为任意整数,由由 xfrnrnrnTrTnrTnrTnrTnfTxf知知 任意整数均为其周期，则最小周期任意整数均为其周期，则最小周期 T=1。 例例 13 若函数若函数 xxf的图形关于两条直线的图形关于两条直线 x=a 和和 x=b 对称（对称（ba） ，则） ，则 f(x)为周期函为周期函 数。数。 证证 由条件函数的对称性知由条件函数的对称性知 xafxaf， （1） xbfxbf， （2） 故函数在故函数在 a,b 中点中点(a+b)/2 处的值等于点处的值等于点 a 2 ab /和和 2 ab b 处的函数值处的函数值 从而猜想如果从而猜想如果 f(x)为周期函数，则周期应为为周期函数，则周期应为 ab ab a ab b 2 22 。 事实上事实上abxbfabxf22xafabxbf22 xfxaafxaaf 所以所以 f(x)是以是以 2(b-a)为周期的周期函数。为周期的周期函数。 八、单调函数的判断方法八、单调函数的判断方法 1用定义。用定义。 2利用单调函数的性质。利用单调函数的性质。 （1）两个递减（增）函数的复合是递增函数，一个递增、一个递减函数的复合是递减函数。）两个递减（增）函数的复合是递增函数，一个递增、一个递减函数的复合是递减函数。 例例 14 设设 xx,及及 f(x)为递增函数证明：若为递增函数证明：若 xxfx （1） 微积分 本文档由 大学公社 搜集整理，内容来自网络，仅提供参考！ 第 16 页 共 56 页 则则 xxffx