2018年高中数学数列2.2等差数列学案新人教A版.docx

2.2第一课时等差数列的概念及通项公式预习课本P3638，思考并完成以下问题 (1)等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？(2)等差数列的通项公式是什么？(3)等差中项的定义是什么？ 1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示点睛(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：作差的顺序；这两项必须相邻(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列2等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项这三个数满足的关系式是A.3等差数列的通项公式已知等差数列an的首项为a1，公差为d.递推公式通项公式anan1d(n2)ana1(n1)d(nN*)点睛由等差数列的通项公式ana1(n1)d可得andn(a1d)，如果设pd，qa1d，那么anpnq，其中p，q是常数当p0时，an是关于n的一次函数；当p0时，anq，等差数列为常数列1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性与公差d有关()(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项()(4)若三个数a，b，c满足2bac，则a，b，c一定是等差数列()解析：(1)错误若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列(2)正确当d0时为递增数列；d0时为常数列；d1)，记bn.求证：数列bn是等差数列证明：法一定义法bn1，bn1bn，为常数(nN*)又b1，数列bn是首项为，公差为的等差数列法二等差中项法bn，bn1.bn2.bnbn22bn120.bnbn22bn1(nN*)，数列bn是等差数列等差数列判定的常用的2种方法(1)定义法：an1and(常数)(nN*)an为等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an为等差数列活学活用已知，成等差数列，并且ac，ac，ac2b均为正数，求证：lg(ac)，lg(ac)，lg(ac2b)也成等差数列解：，成等差数列，即2acb(ac)(ac)(ac2b)(ac)22b(ac)(ac)222aca2c22ac4ac(ac)2.ac，ac2b，ac均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg(ac)(ac2b)lg(ac)2，即lg(ac)lg(ac2b)2lg(ac)，lg(ac)，lg(ac)，lg(ac2b)成等差数列层级一学业水平达标1已知等差数列an的通项公式为an32n，则它的公差为()A2B3C2 D3解析：选Can32n1(n1)(2)，d2，故选C.2若等差数列an中，已知a1，a2a54，an35，则n()A50 B51C52 D53解析：选D依题意，a2a5a1da14d4，代入a1，得d.所以ana1(n1)d(n1)n，令an35，解得n53.3设x是a与b的等差中项，x2是a2与b2的等差中项，则a，b的关系是()Aab Ba3bCab或a3b Dab0解析：选C由等差中项的定义知：x，x2，2，即a22ab3b20.故ab或a3b.4数列an中，a12,2an12an1，则a2 015的值是()A1 006 B1 007C1 008 D1 009解析：选D由2an12an1，得an1an，所以an是等差数列，首项a12，公差d，所以an2(n1)，所以a2 0151 009.5等差数列an的首项为70，公差为9，则这个数列中绝对值最小的一项为()Aa8 Ba9Ca10 Da11解析：选B|an|70(n1)(9)|799n|9，n9时，|an|最小6在等差数列an中，a37，a5a26，则a6_.解析：设等差数列an的公差为d，由题意，得解得ana1(n1)d3(n1)22n1.a626113.答案：137已知an为等差数列，且a72a41，a30，则公差d_.解析：根据题意得：a72a4a16d2(a13d)a11，a11.又a3a12d12d0，d.答案：8已知数列an满足：aa4，且a11，an0，则an_.解析：根据已知条件aa4，即aa4.数列a是公差为4的等差数列，则aa(n1)44n3.an0，an.答案：9已知数列an满足a12，an1，则数列是否为等差数列？说明理由解：数列是等差数列，理由如下：因为a12，an1，所以，所以(常数)所以是以为首项，公差为的等差数列10若，是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列证明：由已知得，通分有.进一步变形有2(bc)(ab)(2bac)(ac)，整理，得a2c22b2，所以a2，b2，c2成等差数列层级二应试能力达标1若数列an为等差数列，apq，aqp(pq)，则apq为()ApqB0C(pq) D.解析：选Bapa1(p1)d，aqa1(q1)d，得(pq)dqp.pq，d1.代入，有a1(p1)(1)q，a1pq1.apqa1(pq1)dpq1(pq1)(1)0.2已知xy，且两个数列x，a1，a2，am，y与x，b1，b2，bn，y各自都成等差数列，则等于()A. B.C. D.解析：选D设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2a1d1，b2b1d2.第一个数列共(m2)项，d1；第二个数列共(n2)项，d2.这样可求出.3已知数列an，对任意的nN*，点Pn(n，an)都在直线y2x1上，则an为()A公差为2的等差数列 B公差为1的等差数列C公差为2的等差数列 D非等差数列解析：选A由题意知an2n1，an1an2，应选A.4如果a1，a2，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d0，则()Aa3a6a4a5 Ba3a6a4a5 Da3a6a4a5解析：选B由通项公式，得a3a12d，a6a15d，那么a3a62a17d，a3a6(a12d)(a15d)a7a1d10d2，同理a4a52a17d，a4a5a7a1d12d2，显然a3a6a4a52d20，故选B.5数列an是首项为2，公差为3的等差数列，数列bn是首项为2，公差为4的等差数列若anbn，则n的值为_解析：an2(n1)33n1，bn2(n1)44n6，令anbn，得3n14n6，n5.答案：56在数列an中，a13，且对于任意大于1的正整数n，点(， )都在直线xy0上，则an_.解析：由题意得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以n，an3n2.答案：3n27已知数列an满足a11，且an2an12n(n2，且N*)(1)求a2，a3；(2)证明：数列是等差数列；(3)求数列an的通项公式an.解：(1)a22a1226，a32a22320.(2)证明：an2an12n(n2，且nN*)，1(n2，且nN*)，即1(n2，且nN*)，数列是首项为，公差d1的等差数列(3)由(2)，得(n1)1n，an2n.8数列an满足a12，an1(3)an2n(nN*)(1)当a21时，求及a3的值；(2)是否存在的值，使数列an为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由解：(1)a12，a21，a2(3)a12，.a3a222，a3.(2)a12，an1(3)an2n，a2(3)a1224.a3(3)a24221016.若数列an为等差数列，则a1a32a2.即27130.494130，方程无实数解值不存在不存在的值使an成等差数列第二课时等差数列的性质预习课本P39练习第4、5题，思考并完成以下问题 (1)等差数列通项公式的推广形式是什么？(2)等差数列的运算性质是什么？1等差数列通项公式的推广通项公式通项公式的推广ana1(n1)d(揭示首末两项的关系)anam(nm)d(揭示任意两项之间的关系)2.等差数列的性质若an是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足mnpq，则amanapaq.(1)特别地，当mn2k(m，n，kN*)时，aman2ak.(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1ana2an1akank1.(3)若an是公差为d的等差数列，则can(c为任一常数)是公差为d的等差数列；can(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；anank(k为常数，kN*)是公差为2d的等差数列(4)若an，bn分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列panqbn(p，q是常数)是公差为pd1qd2的等差数列1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)若an是等差数列，则|an|也是等差数列()(2)若|an|是等差数列，则an也是等差数列()(3)若an是等差数列，则对任意nN*都有2an1anan2()(4)数列an的通项公式为an3n5，则数列an的公差与函数y3x5的图象的斜率相等()解析：(1)错误如2，1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列(2)错误如数列1,2，3,4，5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列(3)正确根据等差数列的通项可判定对任意nN*，都有2an1anan2成立(4)正确因为an3n5的公差d3，而直线y3x5的斜率也是3.答案：(1)(2)(3)(4)2在等差数列an中，若a56，a815，则a14等于()A32B33C33 D29解析：选B数列an是等差数列，a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，a1469333.3在等差数列an中，已知a3a4a5a6a7450，则a2a8()A90 B270C180 D360解析：选C因为a3a4a5a6a75a5450，所以a590，所以a2a82a5290180.4在等差数列an中，已知a22a8a14120，则2a9a10的值为_解析：a2a142a8，a22a8a144a8120，a830.2a9a10(a8a10)a10a830.答案：30等差数列的性质应用典例(1)已知等差数列an中，a2a46，则a1a2a3a4a5()A30B15C5 D10(2)设an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，则a37b37()A0 B37C100 D37解析(1)数列an为等差数列，a1a2a3a4a5(a1a5)(a2a4)a3(a2a4)615.(2)设cnanbn，由于an，bn都是等差数列，则cn也是等差数列，且c1a1b12575100，c2a2b2100，cn的公差dc2c10.c37100，即a37b37100.答案(1)B(2)C本例(1)求解主要用到了等差数列的性质：若mnpq，则amanapaq.对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立例如，a15a7a8，但a6a9a7a8；a1a21a22，但a1a212a11.本例(2)应用了等差数列的性质：若an，bn是等差数列，则anbn也是等差数列灵活运用等差数列的某些性质，可以提高我们分析、解决数列综合问题的能力，应注意加强这方面的锻炼活学活用1已知an为等差数列，若a1a5a9，则cos(a2a8)的值为()A BC. D.解析：选Aa1a5a93a5，所以a5，而a2a82a5，所以cos(a2a8)cos ，故选A.2在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7()A10 B18C20 D28解析：选C由等差数列的性质得：3a5a72a5(a5a7)2a5(2a6)2(a5a6)2(a3a8)20，故选C.灵活设元求解等差数列典例(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为8，求这四个数解(1)设这三个数依次为ad，a，ad，则解得这三个数为4,3,2.(2)法一：设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)，依题意，2a2，且(a3d)(a3d)8，即a1，a29d28，d21，d1或d1.又四个数成递增等差数列，所以d0，d1，故所求的四个数为2,0,2,4.法二：若设这四个数为a，ad，a2d，a3d(公差为d)，依题意，2a3d2，且a(a3d)8，把a1d代入a(a3d)8，得8，即1d28，化简得d24，所以d2或2.又四个数成递增等差数列，所以d0，所以d2，a2.故所求的四个数为2,0,2,4.常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：ad，ad，公差为2d；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：ad，a，ad，公差为d；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a3d，ad，ad，a3d，公差为2d.活学活用已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列解：设这四个数依次为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)由题设知解得或这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.等差数列的实际应用典例某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解设从第一年起，第n年的利润为an万元，则a1200，an1an20(nN*)，每年的利润构成一个等差数列an，从而ana1(n1)d200(n1)(20)22020n.若an0，则该公司经销这一产品将亏损由an22020n11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题活学活用某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费_元解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元所以可以建立一个等差数列an来计算车费令a111.2，表示4 km处的车费，公差d1.2，那么当出租车行至14 km处时，n11，此时需要支付车费a1111.2(111)1.223.2(元)答案：23.2层级一学业水平达标1在等差数列an中，已知a4a816，则a2a10()A12B16C20 D24解析：选B因为数列an是等差数列，所以a2a10a4a816.2在等差数列an中，a1a910，则a5的值为()A5 B6C8 D10解析：选A由等差数列的性质，得a1a92a5，又a1a910，即2a510，a55.3下列说法中正确的是()A若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列D若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列解析：选C因为a，b，c成等差数列，则2bac，所以2b4ac4，即2(b2)(a2)(c2)，所以a2，b2，c2成等差数列4在等差数列an中，a12，a3a510，则a7()A5 B8C10 D14解析：选B由等差数列的性质可得a1a7a3a510，又a12，所以a78.5等差数列an中， a2a5a89，那么方程x2(a4a6)x100的根的情况()A没有实根 B两个相等实根C两个不等实根 D无法判断 解析：选A由a2a5a89得a53，a4a66，方程转化为x26x100.因为1，则a1a2m1_.解析：因为数列an为等差数列，则 am1am12am，则am1am1a10可化为2ama10，解得am1，所以a1a2m12am2.答案：29在等差数列an中，若a1a2a530，a6a7a1080，求a11a12a15.解：法一：由等差数列的性质得a1a112a6，a2a122a7，a5a152a10.(a1a2a5)(a11a12a15)2(a6a7a10)a11a12a152(a6a7a10)(a1a2a5)28030130.法二：数列an是等差数列，a1a2a5，a6a7a10，a11a12a15也成等差数列，即30,80，a11a12a15成等差数列30(a11a12a15)280，a11a12a15130.10有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列设该数列为anan780(n1)(20)80020n，解不等式an440，即80020n440，得n18.当购买台数小于等于18台时，每台售价为(80020n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元到乙商场购买，每台售价为80075%600元作差：(80020n)n600n20n(10n)，当n10时，600n(80020n)n，当n10时，600n(80020n)n，当10n18时，(80020n)n18时，440n600n.即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少层级二应试能力达标1已知等差数列an：1,0，1，2，；等差数列bn：0,20,40,60，则数列anbn是()A公差为1的等差数列 B公差为20的等差数列C公差为20的等差数列 D公差为19的等差数列解析：选D(a2b2)(a1b1)(a2a1)(b2b1)12019.2已知数列an为等差数列且a1a7a134，则tan(a2a12)的值为()A. BC D解析：选D由等差数列的性质得a1a7a133a74，a7.tan(a2a12)tan(2a7)tan tan .3若方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|mn|()A1 B.C. D.解析：选C设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1a4a2a32，再设此等差数列的公差为d，则2a13d2，a1，d，a2，a31，a4，|mn|a1a4a2a3|.4九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A1升 B.升C.升 D.升解析：选B设所构成的等差数列an的首项为a1，公差为d，则有即解得则a5a14d，故第5节的容积