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第一章3.2 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义A级基础巩固一、选择题1若复数z满足z(34i)1,则z的虚部是(B)A2B4C3D4解析z1(34i)24i,故选B2若z12i,z23ai(aR),且z1z2所对应的点在实轴上,则a的值为(D)A3 B2 C1 D1解析z1z22i3ai(23)(1a)i5(1a)iz1z2所对应的点在实轴上,1a0,a13复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,52i,则由A,B,C所构成的三角形是(A)A直角三角形 B等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形解析|AB|2i1|,|AC|42i|,|BC|5,|BC|2|AB|2|AC|2故选A 4ABCD中,点A、B、C分别对应复数4i、34i、35i,则点D对应的复数是(C)A23i B48iC48i D14i解析对应的复数为(34i)(4i)(34)(41)i13i,设点D对应的复数为z,则对应的复数为(35i)z由平行四边形法则知,13i(35i)z,z(35i)(13i)(31)(53)i48i故应选C二、填空题5已知关于x的方程x2(k2i)x2ki0有实根,则这个实根以及实数k的值分别为或解析方程的实根必然适合方程,设xx0为方程的实根,代入整理后得abi0的形式,由复数相等的充要条件,可得关于x0和k的方程组,通过解方程组可得x及k的值6已知z1cosisin,z2cosisin且z1z2i,则cos()的值为解析z1cosisin,z2cosisin,z1z2(coscos)i(sinsin)i,22得22cos()1,即cos()三、解答题7已知平行四边形ABCD中,A与A对应的复数分别是32i与14i,两对角线AC与BD相交于P点(1)求A对应的复数;(2)求D对应的复数;(3)求APB的面积解析(1)由于ABCD是平行四边形,所以AAA,于是AAA,而(14i)(32i)22i,即A对应的复数是22i(2)由于DAA,而(32i)(22i)5,即D对应的复数是5(3)由于PCA,PD,于是PP,而|,|,所以cosAPB,因此cosAPB,故sinAPB,故SAPB|sinAPB即APB的面积为B级素养提升一、选择题1(2018福州高二检测)已知复数z1(a22)3ai,z2a(a22)i,若z1z2是纯虚数,那么实数a的值为(C)A1B2C2 D2或1解析由z1z2a22a(a23a2)i是纯虚数,得a22设复数z满足|z34i|1,则|z|的最大值是(D)A3 B4C5 D6解析因为|z34i|1,所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心,半径为1的圆上,由几何性质得|z|的最大值是16二、填空题3(2018大连高二检测)在平行四边形OABC中,各顶点对应的复数分别为z00,zA2i,zB2a3i,zCbai,则实数ab为4解析因为,所以2i(bai)2a3i,所以得ab44已知z1,z2C,|z1z2|2,|z1|2,|z2|2,则|z1z2|为2解析由复数加法、减法的几何意义知,以复平面上对应z1,z2的向量为邻边的平行四边形为正方形,所以|z1z2|2三、解答题5已知复平面内平行四边形ABCD,A点对应的复数为2i,向量对应的复数为12i,向量对应的复数为3i,求:(1)点C,D对应的复数;(2)平行四边形ABCD的面积解析(1)因为向量对应的复数为12i,向量对应的复数为3i,所以向量对应的复数为(3i)(12i)23i又,所以点C对应的复数为(2i)(23i)42i因为,所以向量对应的复数为3i,即(3,1)设D(x,y),则(x2,y1)(3,1),所以,解得所以点D对应的复数为5(2)因为|cosB,所以cosB所以sinB所以S|sinB7,所以平行四边形ABCD的面积为76已知|z|2,求|z1i|的最大值和最小值解析设zxyi,则由|z|2知x2y24,故z对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上
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