2019版高考数学复习平面向量数系的扩充与复数的引入第24讲平面向量的概念及其线性运算学案.docx

第24讲平面向量的概念及其线性运算考纲要求考情分析命题趋势1了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义2017天津卷，132017浙江卷，152015全国卷，72015全国卷，132015北京卷，13平面向量的线性运算及其几何意义是高考的重点主要以三角形或四边形为载体，考查向量的有关概念及简单运算分值：5分1向量的有关概念名称定义备注向量既有_大小_又有_方向_的量；向量的大小叫做向量的_长度_(或称_模_)平面向量是自由向量零向量长度为_零_的向量，其方向是任意的记作！0#单位向量长度等于_1个单位_的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向_相同_或_相反_的非零向量共线向量_方向相同或相反_的非零向量，又叫做共线向量0与任一向量_平行_或共线相等向量长度_相等_且方向_相同_的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度_相等_且方向_相反_的向量0的相反向量为02向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量的和运算_三角形_法则_平行四边形_法则(1)交换律：abba(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向_相同_；当0时，a的方向与a的方向_相反_；当0时，a0(a)()a；()a！aa#；(ab)！ab#3共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得！ba#.4必会结论(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即An1An.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量(2)若点P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则()(3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则0点P为ABC的重心1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)单位向量只与模有关，与方向无关()(2)零向量的模等于0，没有方向()(3)若两个向量共线，则其方向必定相同()(4)0.()解析(1)正确由定义知模为1的向量叫单位向量，与方向无关(2)错误零向量的方向是任意的(3)错误可能相同，也可能相反，若有零向量，则两向量方向不定(4)正确.0.2若mn，nk，则向量m与向量k(D)A共线B不共线C共线且同向D不一定共线解析可举特例，当n0时，满足mn，nk，故A，B，C选项都不正确，故D项正确3点D是ABC的边AB上的中点，则向量(A)ABCD解析如图，由于D是AB的中点，所以.4化简的结果为！#.解析()().5已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则的值为！#.解析ab与(b3a)共线，存在实数，使ab(3ab)，即一平面向量的概念平面向量概念中的几点注意(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈(4)非零向量a的单位向量是.【例1】 (1)给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是(A)ABCD(2)给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0(为实数)，则必为零；，为实数，若ab，则a与b共线其中错误的命题的个数为(C)A1B2C3D4解析(1)不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且.又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，因此.正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是，故选A(2)错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误，当a0时，不论为何值，a0.错误，当0时，ab0，此时，a与b可以是任意向量二平面向量的线性运算平面向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解【例2】 (1)如图，正六边形ABCDEF中，(D)A0BCD(2)(2017天津卷)在ABC中，A60，AB3，AC2.若2，(R)，且4，则的值为！#.解析(1)因六边形ABCDEF是正六边形，故.(2)().又323，所以()2233454，则.三平面向量共线定理的应用(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立；若1 a2b0，当且仅当120时成立，则向量a，b不共线【例3】 设两个非零向量a和b不共线(1)如果ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线解析(1)证明：因为ab，2a8b，3(ab)，所以2a8b3(ab)5(ab)5，所以，共线又与有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)因为kab与akb共线，所以存在实数，使kab(akb)，即解得k1即k1时，kab与akb共线1下列命题中正确的是(C)Aa与b共线，b与c共线，则a与c也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行解析由于零向量与任一向量都共线，所以A项不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B项不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D项不正确；对于C项，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，符合已知条件，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故选C2在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若a，b，则(B)AabBabCabDab解析如图，由题意知，DEBE13DFAB，故，则abab.3(2017浙江卷)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，则|ab|ab|的最小值是_4_，最大值是！2#.解析由向量三角不等式得，|ab|ab|(ab)(ab)|2b|4.又，|ab|ab|的最大值为2.4设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果e1e2，2e13e2，3e1ke2，且A，C，F三点共线，求k的值解析(1)证明：e1e2，3e12e2，4e1e2，又8e12e2，2，与共线又与有公共点C，A，C，D三点共线(2)e1e2，2e13e2，3e12e2.A，C，F三点共线，从而存在实数，使得.3e12e23e1ke2.又e1，e2是不共线的非零向量，解得k2.易错点向量线性运算法则、几何意义不明错因分析：对向量线性运算法则，几何意义的理解准确，从而不能熟练运用运算法则和几何意义来解题【例1】 已知P，Q为ABC内的两点，且，则_.解析如图，无论多少倍的，因为底不变，恒为AB，所以SABPSABC，SABQSABC，所以.答案【跟踪训练1】 已知O是面积为4的ABC内部一点，且有20，求AOC的面积解析如图，设AC中点为M，BC中点为N.0，220，0，O为中位线MN的中点，SAOCSANCSABC41课时达标第24讲解密考纲本考点重点考查向量的概念、线性运算，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等偏下一、选择题1在ABC中，已知M是BC的中点，设a，b，则(A)AabBabCabDab解析ba，故选A2(2018河北石家庄模拟)已知a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则下列说法正确的是(D)Aab0BabCa与b共线反向D存在正实数，使ab解析因为a，b，是两个非零向量，且|ab|a|b|，则a与b共线同向，故D正确3已知O，A，M，B为平面上四点，且(1)，实数(1,2)，则(B)A点M在线段AB上B点B在线段AM上C点A在线段BM上DO，A，M，B一定共线解析(1)，()，.(1,2)，点B在线段AM上4如图所示，在ABC中，若3，则(C)ABCD解析()，故选C5(2018甘肃兰州模拟)已知D为ABC的边AB的中点，M在边DC上且满足53，则ABM与ABC的面积比为(C)ABCD解析由53得2233，则2()3()，即23，故，故ABM与ABC同底且高的比为35，故SABMSABC35.6(2018云南大理模拟)已知O是ABC所在平面外一点且满足，为实数，则动点P的轨迹必须经过ABC的(B)A重心B内心C外心D垂心解析如图，设，已知，均为单位向量故AEDF为菱形，所以AD平分BAC，由得，又与有公共点A，故A，D，P三点共线，所以P点在BAC的平分线上，故P的轨迹经过ABC的内心二、填空题7已知m，n满足|m|2，|n|3，|mn|，则|mn|_3_.解析由平行四边形的对角线与边的关系及|mn|与|mn|为以m，n为邻边的平行四边形的两条对角线的长，得|mn|2|mn|22|m|22|n|226，又|mn|，故|mn|226179，故|mn|3.8已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m_3_.解析由题目条件可知，M为ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则，因为AD为中线，则23，所以m3.9设a，b是两个不共线向量，2apb，ab，a2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为_1_.解析2ab，又A，B，D三点共线，存在实数，使，即p1三、解答题10在ABC中，已知D是AB边上一点，求实数的值解析如图，D是AB边上一点，过点D作DEBC，交AC于点