微分方程的基本概念(42).ppt

一、问题的引入,二、微分方程的定义与分类,三、微分方程的解与初值问题,第一节 微分方程的基本概念,华南理工大学数学科学学院 杨立洪 博士,一、问题的引入,引例1 已知一条曲线通过原点，且在该曲线上任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，求该曲线方程。,（特点：方程中含有未知函数的一阶导数）,下面求未知函数：,将初始条件 代入上式，得：,由此得 ，,故所求曲线方程为 .,（特点：方程中含有未知函数的二阶导数）,引例2 列车在一段笔直的铁路上以20米秒的速度行驶，当制动时列车获得加速度0.4米秒2，问开始制动后经多少时间列车才能完全停住？并求列车在这段时间内行驶的路程？,解 设列车开始制动 秒后行驶 米，即 ，根据题设，应有关系式：,将初始条件代入，得,令 ，得到列车从开始制动到完全停住，共需,将 （秒）代入 中，求得列车在这段时间行驶的路程,二、微分方程的定义与分类,实质：联系自变量，未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式。,定义1：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程。,例 ，都是微分方程。,共性：两个引例得出的式子均含有未知函数的导数。,注：本章我们只讨论常微分方程的求解。,定义2：未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程叫做偏微分方程；,分类I：常微分方程、偏微分方程,例 是常微分方程；,是偏微分方程。,分类：一阶微分方程、高阶（n阶）微分方程,定义3：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶。,一阶微分方程：,高阶（n阶）微分方程：,例 是一阶微分方程；,是二阶微分方程。,分类：线性与非线性微分方程,是一阶线性微分方程；,是二阶线性微分方程；,（特点：除 外，其他各项关于 均 为 一次。）,是非线性微分方程。,三、微分方程的解与初值问题,确切地说，对于给定的微分方程,定义4：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为微分方程的解。,1微分方程的解,如果函数 在区间I上有n阶连续导数，且满足微分方程,那么称函数 是微分方程在区间I上的解。,特解的图象：微分方程的积分曲线。,（2）特解：确定了通解中任意常数以后的微分方程的解。,（1）通解：包含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同的微分方程的解。,微分方程的解分为：,例 微分方程 其通解为,例 微分方程 其通解为,通解的图象：微分方程的积分曲线族。,即：求过定点且在定点的切线斜率为定值的 积分曲线。,即：求过定点的积分曲线；,初始条件：用来确定通解中任意常数的特定条件。,2初值问题,一阶：,二阶：,初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题。,四、例题,解,将 和 的表达式代入原方程，有：,故 是原方程的解。,故所求特解为 。,补充:,微分方程的初等解法: 初等积分法.,求解微分方程,求积分,证明,例2 验证 所确定的函数 是微分方程 的解。,再对 求导，得,因此， 是所给微分方程的解。,故所求方程为,消去C，得,解 ：,例3 求积分曲线族 （C是任意常数）所满足的微分方程。,积分曲线族两边求导数，得,五、小结,（1）微分方程；微分方程的阶；,1、本节学习内容,（2）微分方程的解：通解；特解；初始条件； 初值问题；积分曲线。,已知微分方程的通解，求通解所满足的微分方程，解决此类问题的关键是消去任意常数，求得自变量、函数以及函数的各阶导数之间的关系式。,求微分方程涉及到积分运算，所以通解中包括一组任意常数，这说明微分方程有无穷多解。在一般情况下，在附加一组初始条件之后，从微分方程的通解中可求得一个确定的解，即特解，也即初值问题的解。,2、重点,3、难点,六、练习题,练习题1、设曲线上点 处的法线与X轴交点为Q，且线段PQ被Y轴平分，试写出该曲线所满足的微分方程。,练习题2、已知函数 ，其中， 为任意常数，试求函数所满足的微分方程。,因Y轴平分PQ，故P、Q两点的横坐标为相反值。于是得,课堂练习题解答：,1.解 设所求曲线方程为 ，则该曲线在点 处的法线方程为：,为所求方程。,