定积分的应用2.ppt

我们知道：,3.8.1 定积分的微元法,3.8 定积分的应用,其面积为：,以a,b为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式, 以a,b为积分区间的定积分:,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,曲边梯形的面积,3.8.2.1. 平面图形的面积,3.8.2 定积分在几何上的应用,1）求由上下两条曲线 y = f上(x)与 y = f下(x)及左右两条直线 x = a 、x = b所围成平面图形的面积A .,取横坐标x为积分变量，在区间a,b上任取一子区间x,x+dx，在其上的小曲边梯形可近似看成高为y，底为dx的小矩形，则面积元素为,曲边梯形的面积,取纵坐标y为积分变量，在区间c,d上任取一子区间y,y+dy，在其上的小曲边梯形可近似看成宽为x，高为dy的小矩形，则面积元素为,2） 求由左右两条曲线 与 及上下两条直线 y = c 、y = d所围成平面图形的面积A .,解 (1)画图取x为积分变量,(3) 求面积元素：,例3.67 计算曲线 和直线 x = 1及x轴所围成平面图形的面积A,(2) 确定积分区间: 0,1,(4) 计算积分：,(4) 求面积元素：,得积分区间,解方程组,解 (1)画图取x为积分变量,(2) 确定积分区间:,(3) 确定上下曲线:,(5) 计算积分：,解 (1) 画图，取y为积分变量.,解方程组,得积分区间,(2) 确定积分区间:,(3) 确定左右曲线:,(4) 求面积元素：,(5) 计算积分：,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,3.8.2.2 旋转体的体积,旋转体的体积为,解 (1) 画图，确定积分区间:,例3.70 计算由直线 、直线x = h及x轴围成的直角三角形绕x轴旋转而成的圆锥体体积,(2) 求体积元素：,(3) 计算积分：所求圆锥体的体积为,解 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.,(1) 画图，确定积分区间:,(2) 求体积元素：,(3) 计算积分：所求椭球体的体积为,特殊地，当 时，得球体的体积公式：,解,体积元素,选 y 为积分变量,两曲线的交点,3.8.3.1 变力作功,3.8.3 定积分在物理上的应用,例3.73 已知弹簧每拉长0.02m要用9.8N的力，求把弹簧拉长0.1m所作的功.,解 由胡克定律，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F和弹簧的伸长量（或压缩量）成正比，即,其中k为比例系数,由题设x = 0.02m时，F = 9.8N，所以k = 490，则F = 490x.,(1) 建立坐标系如图. 取伸长量x为积分变量,(2) 确定积分区间:,(3)求功元素 :,(4) 计算积分： 所求的功为,= 2.45(J),解,(1) 建立坐标系如图,(2) 确定积分区间:,(3) 求功元素：,这一薄层水的重力为,功元素为,(J),(4) 计算积分：所求的功为,3.8.3.2 液体的压力,解 挡板的一个端面是圆，与水接触的是下半圆.,(1) 建立坐标系如图,(2) 确定积分区间：,(3) 求压力元素：,(4) 计算积分： 所求压力为,(N),例3.76 一水库闸门呈倒置的等腰梯形垂直地位于水中，两底的长度分别为4m和6m，高为6m，当闸门上底正好位于水面时，求闸门一侧受到的水压力（水