平面向量应用(戴林元).ppt

平面向量,在解析几何中的应用,授课 戴林元,向量本身是一个几何概念，但它有代数形式和几何形式两种表示方法。高考对向量的考查主要是两个方面：基本概念、基本运算、基本性质的考查；作为工具来考查。向量问题易于数形结合，因此它可以称为高中数学知识的一个交汇点。不管哪一类都要在熟悉向量的代数运算的基础上，进一步读懂向量的几何意义。,要点考点,（1）向量共线的充要条件:,与 共线,（2）向量垂直的充要条件：,（3）两向量相等充要条件：,且方向相同。,要点考点,(4),1.直线 x2y20 的一个方向向量是-( ) A. (1,2) B . (1,-2) C.(2,1) D.(2,-1),2.2001年高考题 设坐标原点为O,抛物线 与过焦点的直线交于A,B两点,则 等于-( ) A. B. C.3 D.-3,D,B,课前热身,（三种思路）,3.2002年高考题 已知两点 ，若 点满足 ，其中 且有 ， 则点C的轨迹方程为-( ),D,课前热身,思路一：利用向量的坐标运算,思路二：利用向量的几何意义,例1.点到直线距离公式的推导。 已知点P坐标( x0 ,y0 )，直线l的方程 Ax+By+C=0，P到直线l的距离是d，则,典例分析,例2.椭圆 的焦点为 ，点P为 其上的动点，当 为钝角时，求点P横坐标 的取值范围。,解：,例3.已知:过点C(0,-1)的直线L与抛物线y= 交于A、B两点，点D(0,1)，若ADB为钝角 求直线L的斜率取值范围。,解：设A(x1,y1),B(x2,y2),又,因为ADB为钝角所以,即x1x2+(y1-1)(y2-1)0,则x1x2=4, x1+x2=4k (1),由此得 : y1y2=1 y1+y2=4k2-2 (2),将（1），（2）代入解得：,（注意要满足判别式大于0）,例4.（99年高考题）如图，给出定点A(a,0)(a0) 和直线l:x=-1,B是直线l上的动点，BOA的角平分线交AB于点C,求点C的轨迹方程。,解：设B(-1,t),C(x,y)则0xa,由cos =cos,得,由A、C、B三点共线知 ,又, (x-a)(t-y) - (-1-x)y=0,整理得：,将（2）代入（1）得：,当y0时，得： (a-1)x2-(a+1)y2+2ax=0,当y=0时，t=0,C点坐标为（0，0）也满足以上方程。,故所求的轨迹方程为 (a-1)x2-(a+1)y2+2ax=0(0xa).,例5.2003年新课程卷,【解题分析】根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程， 据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为 定值.,整理得,消去参数，得点的坐标满足方程,再就a进行讨论.,解: =（1，0）， =（0，a）, + =（，a）， 2 =（1，2a）.,课本上的一个习题：,点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利 用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何 的基本思想和综合解题能力。去掉平面向量的背景，我 们不难看到，本题即为下题：,本题还打破了常规的解题思路：先求点（找点），再找定值（或证明定值），而要先求轨迹，由轨迹判断点的存在性。 本题还涉及用向量语言给出的直线方程如何表达。 一般地若直线L过点,【课堂小结】,1.应用向量处理解析几何问题， 可以转移难点，优化 解题过程，特别在处理有关角度、距离、共线和轨迹等问题时，尤为简捷直观。,2. 利用向量知识解决解析几何问题的基本思路是：根 据题意巧构向量或把题中有关线段看作向量，利用向 量的有关概念、公式列出方程求解，思路清晰，方法 简洁规范。,3. 由于向量具有代数、几何综合性，使之成为中学数 学的一个“交汇点”，是高考综合型试题设计的良好素 材，且有逐年增加的趋势，应引起我们的高度重视。,可选用或学生课外研究的问题,于是,故,所以,证明：焦点 ，设A、B两点的纵坐标分别为,例2.如图,过原点O作互相垂直的两条直线,分别交抛物线 y=x2于A、B两点，求线段AB中点的轨迹方程。,解：设A(x1, x12)、B(x2,x22)、AB中点C(x,y),由OAOB得,所以,又C是AB的中点，有,由（1）2-（2），化简得 y=2x2+1,例3.01全国高考19设抛物线 =2px(p0)的焦点为F， 经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物 线的准线上，且BCx轴。 证明:直线AC经过原点O,证明： ，设A（ ），B（ ）则C（ ）,即 亦即,又 （ ）， =（ ）,故A、O、C三点共线，即直线AC经过原点O。,因A、B、F三点共线，则有 （ ）,又如1995年理工类第26题： 已知椭圓,x,y,L,p,R,Q,例4,o,解：由题意可设：,均代入,把、,、可得,因为点P、R分别在已知直线和椭圆上，分别代入可得 由、即得 整理得 这就是点Q的轨迹方程，其轨迹是以（1，1）为 中心，长、短半轴分别为 且长轴与x轴平行 的椭圆，但要去掉坐标原点。,这是1995年理工农医类全国高考数学试题，是一道有难度的多动点轨迹问题。当年高考提供了两种参考答案，其过程曲折冗长，运算相当复杂。而如今用向量法求解，不仅大大减少运算量，而且过程也变得平坦、自然。更为有趣的是，通过这种解法还可以看到，所求的轨迹方程竟是两已知方程相减消去常数项后的结果，事实上，这一结论还可以推广到一般椭圆或双曲线。 向量证法一气呵成，对称、和谐、统一给人以美的享受，它是解决数学问题的一把利剑，是数学美的使者。,例5 2004年全国卷2（理科)（四川、吉林、黑龙江、云南） 给定抛物线C：y24x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点 ()设l的斜率为1，求 夹角的大小； ()设 4，9，求l在y轴上截距的变化范围,解：（I）C的焦点为F(1,0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为y=x-1. 将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有x1+x2=6,x1x2=1， =(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3 . = 所以 夹角的大小为,(II)解法1：由题设知得： (x2-1,y2)=(1-x1,-y1)， 即 由（2）得y22=2y12, y12=4x1,y22=4x2,x2=2x1。(3) 联立(1)(3)解得x2=.依题意有0. B(,2 )或B(,-2 )，又F(1,0), 得直线l的方程为(-1)y=2 (x-1)或(-1)y=-2 (x-1)。 当4,9时，l在y轴上的截距为,由 在4，9上是递减的， 直线l在y轴上截距的变化范围是 解法2：由定比分点公式求解。,例6、2004江苏（21）. 已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数). ()求椭圆的方程； ()设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若 求直线的斜率.,（1）设所求椭圆方程是由已知得，所以，故所求椭圆方程是 （2）设，直线，则点，当时，由于，由定比分点坐标公式