江苏2020版高考数学第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第七节对数与对数函数学案（理）（含解析）.docx

第七节 对数与对数函数1对数概念如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：axNxlogaNloga10，logaa1，alogaN运算法则loga(MN)logaMlogaNa0，且a1，M0，N0logalogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)换底公式换底公式：logab(a0，且a1，c0，且c1，b0)2.对数函数的图象与性质ylogaxa10a1图象性质定义域为(0，)值域为R过定点(1,0)，即x时，y当x1时，y0；当0x1时，y0当0x1时，y0当x1时，y0；在区间(0，)上是函数在区间(0，)上是函数3反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称小题体验1已知a0，且a1，函数yax与yloga(x)的图象可能是_(填序号)答案：2函数f(x)loga(x2)2(a0，且a1)的图象必过定点_答案：(1，2)3函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_答案：4(1)2log3log331log32_；(2)4(lg 2lg 5)_.答案：(1)5(2)11在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在没有M0的条件下应为logaMloga|M|(N*，且为偶数)2解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围小题纠偏1函数y的定义域为_答案：2函数f(x)log(x1)(2x1)的单调递增区间是_答案：3已知函数yloga(2ax)(a0，且a1)在0,1上为减函数，则a的取值范围为_解析：因为a0，所以g(x)2ax为减函数，即任取x1，x20,1，且x1x2，有g(x1)g(x2)，又logag(x1)logag(x2)，所以a1.而又因为g(x)2ax在0,1恒大于0，所以2a0，所以a2，综上，1a2.答案：(1,2)题组练透1计算：(1)4log23_.(2)log225log34log59_.解析：(1)4log2322log232log299(2)原式8.答案：(1)9(2)82计算100_.解析：原式(lg 22lg 52)100lg 10lg 1021021020.答案：203.lglglg_.解析：lg lglg(5lg 22lg 7)3lg 2(lg 52lg 7)(lg 2lg 5).答案：谨记通法对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用典例引领1(2018苏北三市三模)如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y13logax，y22logax和y3logax(a1)的图象上，则实数a的值为_解析：设C(x0，logax0)，则2logaxBlogax0，即 xx0，解得xB，故xCxBx02，解得 x04，即B(2,2loga2)，A(2,3loga2)，由AB2，可得3loga22loga22，解得a.答案：2若不等式logax(x1)2恰有三个整数解，则a的取值范围为_解析：由不等式logax(x1)2恰有三个整数解，得a1.在同一直角坐标系中画出ylogax(a1)与y(x1)2的图象，可知不等式的整数解集为2,3,4，则应满足解得a.答案：，)由题悟法研究对数型函数图象的思路(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到特别地，要注意底数a1或0a1这两种不同情况(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解即时应用(2018常州一中模拟)设f(x)|lg x|，a，b为实数，且0ab.(1)若a，b满足f(a)f(b)，求证：ab1；(2)在(1)的条件下，求证：由关系式f(b)2f所得到的关于b的方程g(b)0，存在b0(3,4)，使g(b0)0.证明：(1)结合函数图象，由f(a)f(b)可判断a(0,1)，b(1， )，从而lg alg b，即lg ab0.故ab1.(2)因为0ab，所以1.由已知可得b2，即4ba2b22ab，得b224b0，g(b)b224b，因为g(3)0，g(4)0，根据零点存在性定理可知，函数g(b)在(3,4)内一定存在零点，即存在b0(3,4)，使g(b0)0.锁定考向高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以填空题的形式考查，难度低、中、高档都有常见的命题角度有：(1)比较对数值的大小；(2)简单的对数不等式；(3)对数函数性质的综合问题 题点全练角度一：比较对数值的大小1已知alog29log2，b1log2，clog2，则a，b，c的大小关系为_(用“”表示)解析：alog29log2log23，b1log2log22，clog2log2，因为函数ylog2x是增函数，且23，所以bac.答案：bac角度二：简单的对数不等式2(2018启东联考)已知一元二次不等式f(x)0的解集为(，1)(2，)，则 f(lg x)0的解集为_解析：因为一元二次不等式f(x)0的解集为(，1)(2，)，所以一元二次不等式f(x)0的解集为(1,2)，由f(lg x)0可得1lg x2，从而解得10x100，所以不等式的解集为(10,100)答案：(10,100)角度三：对数函数性质的综合问题3(2019盐城中学第一次检测)已知函数f(x)lg(2x)lg(2x)(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)记函数g(x)10f(x)3x，求函数g(x)的值域；(3)若不等式f(x)m有解，求实数m的取值范围解：(1)函数f(x)lg(2x)lg(2x)，解得2x2.函数f(x)的定义域为(2,2)f(x)lg(2x)lg(2x)f(x)，f(x)是偶函数(2)f(x)lg(2x)lg(2x)lg(4x2)，g(x)10f(x)3xx23x42(2x2)，g(x)maxg，g(x)ming(2)6.函数g(x)的值域是.(3)不等式f(x)m有解，mf(x)max，令t4x2，由于2x2，0t4，mlg 4.实数m的取值范围为(，lg 4)通法在握1解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤2比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较演练冲关1(2019苏州模拟)已知函数f(x)logax2a|x|(a0，且a1)，若f(3)f(4)，则不等式f(x23x)f(4)的解集为_解析：易知函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，f(x)logax2a|x|f(x)，f(x)在定义域上为偶函数，f(3)f(3)f(3)f(4)，f(3)f(4)，a1，f(x)在(0，)上单调递增故不等式f(x23x)f(4)满足解得1x4，且x0，x3.故不等式f(x23x)f(4)的解集为(1,0)(0,3)(3,4)答案：(1,0)(0,3)(3,4)2已知函数f(x)log4(ax22x3)(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解：(1)因为f(1)1，所以log4(a5)1，因此a54，a1，这时f(x)log4(x22x3)由x22x30，得1x3，函数f(x)的定义域为(1,3)令g(x)x22x3，则g(x)在(1,1)上递增，在(1,3)上递减又ylog4x在(0，)上递增，所以f(x)的单调递增区间是(1,1)，递减区间是(1,3)(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，则h(x)ax22x3应有最小值1，因此应有解得a.故存在实数a，使f(x)的最小值为0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018淮安调研)函数f(x)log2(3x1)的定义域为_解析：由3x10，解得x，所以函数f(x)的定义域为.答案：2函数f(x)log3(x22x10)的值域为_解析：令tx22x10(x1)299，故函数f(x)可化为ylog3t，t9，此函数是一个增函数，其最小值为log392，故f(x)的值域为2，)答案：2，)3计算log23log34()log34_.解析：log23 log34()323log32224.答案：44(2019长沙调研)已知函数yloga(x3)1(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)3xb的图象上，则f(log32)_.解析：函数yloga(x3)1(a0，a1)的图象恒过定点A(2，1)，将x2，y1代入f(x)3xb，得32b1，b，f(x)3x，则f(log32)3log322.答案：5若函数f(x)(a0，且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_解析：当x2时，yx64.因为f(x)的值域为4，)，所以当a1时，3logax3loga24，所以loga21，所以1a2；当0a1时，3logax3loga2，不合题意故a(1,2答案：(1,26(2018镇江期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)1log2x，则不等式f(x)0的解集是_解析：当x0时，f(x)f(x)log2(x)1，f(x)0，即log2(x)10，解得2x0；当x0时，f(x)1log2x，f(x)0，即1log2x0，解得x2，综上，不等式f(x)0的解集是(2,0)(2，)答案：(2,0)(2，)二保高考，全练题型做到高考达标1(2019镇江中学调研)函数ylog2xlog2(4x)的值域为_解析：由题意知，x0且4x0，f(x)的定义域是(0,4)函数f(x)log2xlog2(4x)log2x(4x)，0x(4x)24，当且仅当x2时等号成立log2x(4x)2，函数ylog2xlog2(4x)的值域为(，2答案：(，22(2018镇江中学学情调研)已知函数f(x)lg的定义域是，则实数a的值为_解析：因为函数f(x)lg的定义域是，所以当x时，10，即1，所以a2x，所以xlog2a.令log2a，得a2，所以实数a的值为.答案：3若函数f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则a的取值范围为_解析：令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在 (，1上递减，则有即解得1a2，即a1,2)答案：1,2)4(2019连云港模拟)已知函数f(x)lg，若f(a)，则f(a)_.解析：因为f(x)lg的定义域为1x1，所以f(x)lglgf(x)，所以f(x)为奇函数，所以f(a)f(a).答案：5函数f(x)lg的定义域为_解析：由得故函数定义域为(2,3)(3,4答案：(2,3)(3,46(2018苏州调研)若函数f(x)(a0，且a1)的值域为6，)，则实数a的取值范围是_解析：当x2时，f(x)6，)，所以当x2时，f(x)的取值集合A6，)当0a1时，A，不符合题意；当a1时，A(loga25，)，若A6，)，则有loga256，解得1a2.答案：(1,27函数f(x)log2log(2x)的最小值为_解析：依题意得f(x)log2x(22log2x)(log2x)2log2x2，当且仅当log2x，即x时等号成立，因此函数f(x)的最小值为.答案：8设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是_解析：由f(a)f(a)得或即或解得a1或1a0.答案：(1,0)(1，)9已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0，当x0时，f(x)logx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.解：(1)当x0时，x0，则f(x)log (x)因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)所以函数f(x)的解析式为f(x)(2)因为f(4)log42，f(x)是偶函数，所以不等式f(x21)2可化为f(|x21|)f(4)又因为函数f(x)在(0，)上是减函数，所以|x21|4，解得x，即不等式的解集为(，)10(2019如东上学期第一次阶段检测)已知函数f(x)loga(x1)loga(3x)(a0且a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)若不等式f(x)c恒成立，求实数c的取值范围解：(1)因为f(1)2，所以2loga22，故a2，所以f(x)log2(1x)log2(3x)，要使函数f(x)有意义，需有解得1x3，所以f(x)的定义域为(1,3)(2)由(1)知，f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x22x3)log2(x1)24，故当x1时，f(x)有最大值2，所以c的取值范围是2，)三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019南京五校联考)已知函数f(x)x2ex(x0)与g(x)x2ln(xa)，若函数f(x)图象上存在点P与函数g(x)图象上的点Q关于y轴对称，则a的取值范围是_解析：设点P(x0，y0)(x00)，则点P关于y轴的对称点Q(x0，y0)在函数g(x)的图象上，所以消去y0，可得xe x0(x0)2ln(x0a)，所以e x0ln(x0a)(x00)令m(x)ex(x0)，n(x)ln(ax)(x0)，问题转化为函数m(x)与函数n(x)的图象在x0时