2020高考数学一轮复习2.8函数与方程讲义理.docx

第八节函数与方程1函数零点的概念对于函数yf(x)，xD，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)，xD的零点.2函数的零点与方程根的联系函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根也就是函数yf(x)的图象与x轴的横坐标，所以方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数f(x)有零点3零点存在性定理4二次函数图象与零点的关系b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无零点个数210(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)0的实根(2)零点一定在定义域内.由函数yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如下图所示所以f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶次零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号零点存在性定理只能判断零点存在，不能确定零点的个数若函数在某区间上是单调函数，则该函数在该区间上至多有一个零点判断二次函数f(x)的零点个数就是判断一元二次方程ax2bxc0的实根个数，一般由判别式0，0，0完成熟记常用结论1若函数f(x)在a，b上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)f(b)0函数f(x)在a，b上只有一个零点2连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号3周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()答案：(1)(2)(3)二、选填题1已知函数yf(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.4357414.556.7123.6则函数yf(x)在区间1,6上的零点至少有()A2个B3个C4个 D5个解析：选B由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以yf(x)在1,6上至少有3个零点故选B.2函数f(x)ln x的零点所在的大致范围是()A(1,2) B(2,3)C.和(3,4) D(4，)解析：选B易知f(x)为增函数，由f(2)ln 210，f(3)ln 30，得f(2)f(3)0.故选B.3函数f(x)ex3x的零点个数为()A0 B1C2 D3解析：选B函数f(x)ex3x在R上是增函数，f(1)30，f(0)10，f(1)f(0)0，函数f(x)有唯一零点，且在(1,0)内，故选B.4函数f(x)(x22)(x23x2)的零点为_答案：， ，1,2考点一函数零点所在区间的判断基础自学过关题组练透1(2019郑州名校联考)已知实数a，b满足2a3,3b2，则函数f(x)axxb的零点所在的区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1) D(1,2)解析：选B2a3,3b2，a1,0b1，又f(x)axxb是单调递增函数，f(1)1b0，f(0)1b0，f(x)在区间(1,0)上存在零点故选B.2若x0是方程xx的解，则x0属于区间()A. B.C. D.解析：选C令g(x)x，f(x)x，则g(0)1f(0)0，gf，gf，结合图象可得x0.3(2019河北武邑中学调研)函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_.解析：因为f(x)在(0，)上单调递增，且f(2)1ln 20，f(3)2ln 30，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n2.答案：2名师微点确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断考点二判断函数零点个数师生共研过关典例精析已知函数f(x)函数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)的零点个数为()A2 B3C4 D5解析由已知条件可得g(x)3f(2x)函数yf(x)g(x)的零点个数即为函数yf(x)与yg(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数yf(x)与yg(x)的图象如图所示由图可知函数yf(x)与yg(x)的图象有2个交点，所以函数yf(x)g(x)的零点个数为2，选A.答案A解题技法函数零点个数的判断方法(1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数f(x)在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数过关训练1(2019郑州质检)已知函数f(x)xcos x，则f(x)在0,2上的零点个数为_解析：如图，作出g(x)x与h(x)cos x的图象，可知其在0,2上的交点个数为3，所以函数f(x)在0,2上的零点个数为3.答案：32函数f(x)的零点个数是_解析：当x0时，令f(x)0，即x22x0，解得x2或x0(舍去)，所以当x0时，只有一个零点；当x0时，f(x)exx2，而f(x)ex1，显然f(x)0，所以f(x)在0，)上单调递增，又f(0)e00210，f(2)e240，所以当x0时，函数f(x)有且只有一个零点综上，函数f(x)只有2个零点答案：23(2018全国卷)函数f(x)cos在0，的零点个数为_解析：由题意可知，当3xk(kZ)时，f(x)0.x0，3x，当3x取值为，时，f(x)0，即函数f(x)cos在0，的零点个数为3.答案：3考点三函数零点的应用全析考法过关考法全析考法(一)根据函数零点个数或存在情况求参数范围例1(1)(2019郑州模拟)已知函数f(x)(aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是()A(0,1B1，)C(0,1) D(，1(2)(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1,0) B0，)C1，) D1，)解析(1)画出函数f(x)的大致图象如图所示因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(，0和(0，)上各有一个零点当x0时，f(x)有一个零点，需0a1；当x0时，f(x)有一个零点，需a0，即a0.综上，0a1，故选A.(2)令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象，可知当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时10a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时，仅有1个交点，不符合题意当yxa在yx1下方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，)故选C.答案(1)A(2)C考法(二)根据函数零点的范围求参数范围例2若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_解析依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足即解得m.答案考法(三)求函数多个零点(方程根)的和例3(2019石家庄质量检测)已知M是函数f(x)|2x3|8sin x(xR)的所有零点之和，则M的值为_解析将函数f(x)|2x3|8sin x的零点转化为函数h(x)|2x3|与g(x)8sin x图象交点的横坐标在同一平面直角坐标系中，画出函数h(x)与g(x)的图象，如图，因为函数h(x)与g(x)的图象都关于直线x对称，两个函数的图象共有8个交点，所以函数f(x)的所有零点之和M812.答案12规律探求看个性考法(一)是根据函数零点的个数及零点存在情况求参数范围，解决此类问题通常先对解析式变形，然后在同一坐标系内画出函数的图象，数形结合求解考法(二)是根据函数零点所在区间求参数，解决此类问题应先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围考法(三)是求函数零点的和，求函数的多个零点(或方程的根以及直线ym与函数图象的多个交点横坐标)的和时，应考虑函数的性质，尤其是对称性特征(这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称，直线的对称等)找共性根据函数零点求参数范围的一般步骤为：(1)转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况(2)列式：根据零点存在性定理或结合函数图象列式(3)结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围.过关训练1函数f(x)x2ax1在区间上有零点，则实数a的取值范围是()A(2，)B2，)C. D.解析：选D由题意知方程axx21在上有解，即ax在上有解，设tx，x，则t的取值范围是，实数a的取值范围是.2设函数f(x)g(x)f(x)4mxm，其中m0.若函数g(x)在区间(1,1)上有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是()A1 B.C1 D.解析：选C作出函数yf(x)的大致图象，如图所示函数g(x)的零点个数函数yf(x)的图象与直线y4mxm的交点个数直线y4mxm过点，当直线y4mxm过点(1,1)时，m；当直线y4mxm与曲线y1(1x0)相切时，设切点为，由y得切线的斜率为，则，解得x0，所以4m4，得m1.结合图象可知当m或m1时，函数g(x)在区间(1,1)上有且仅有一个零点 一、题点全面练1设f(x)是区间1,1上的增函数，且f f 0，则方程f(x)0在区间1,1内()A可能有3个实数根B可能有2个实数根C有唯一的实数根 D没有实数根解析：选Cf(x)在区间1,1上是增函数，且f f 0，f(x)在区间上有唯一的零点方程f(x)0在区间1,1内有唯一的实数根2(2018濮阳一模)函数f(x)ln(2x)1的零点位于区间()A(2,3) B(3,4)C(0,1) D(1,2)解析：选Df(x)ln(2x)1是增函数，且是连续函数，f(1)ln 210，f(2)ln 410，根据函数零点的存在性定理可得，函数f(x)的零点位于区间(1,2)上3(2019南宁模拟)设函数f(x)ln x2x6，则f(x)零点的个数为()A3 B2C1 D0解析：选B令f(x)0，则ln x2x6，令g(x)ln x(x0)，h(x)2x6(x0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f(x)零点的个数，容易看出函数f(x)零点的个数为2，故选B.4已知函数f(x)xlog3x，若x0是函数yf(x)的零点，且0x1x0，则f(x1)的值()A恒为正值 B等于0C恒为负值 D不大于0解析：选A因为函数f(x)xlog3x在(0，)上是减函数，所以当0x1x0时，有f(x1)f(x0)又x0是函数f(x)的零点，因此f(x0)0，所以f(x1)0，即f(x1)的值恒为正值，故选A.5(2018黄山一模)已知函数f(x)e|x|x|.若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是()A(0,1) B(1，)C(1,0) D(，1)解析：选B方程f(x)k化为方程e|x|k|x|.令ye|x|，yk|x|，yk|x|表示过点(0，k)，斜率为1或1的平行折线系，折线与曲线ye|x|恰好有一个公共点时，有k1，如图若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，)6若方程ln xx40在区间(a，b)(a，bZ，且ba1)上有一根，则a的值为()A1 B2C3 D4解析：选B方程ln xx40的根为函数f(x)ln xx4的零点f(x)的定义域为(0，)，f(x)在定义域上单调递增因为f(2)ln 220，f(3)ln 310，所以f(x)在区间(2,3)有一个零点，则方程ln xx40在区间(2,3)有一根，所以a2，b3.故选B.7(2019哈尔滨检测)若函数f(x)x2axb的两个零点是1和2，则不等式af(2x)0的解集是_解析：函数f(x)x2axb的两个零点是1和2，即1,2是方程x2axb0的两根，可得12a，12b，解得a1，b2.f(x)x2x2，af(2x)0，即4x22x20，解得1x.答案：8已知函数f(x)g(x)则函数f(g(x)的所有零点之和是_解析：由f(x)0，得x2或x2，由g(x)2，得x1，由g(x)2，得x，所以函数f(g(x)的所有零点之和是1.答案：9已知yf(x)是定义域为R的奇函数，当x0，)时，f(x)x22x.(1)写出函数yf(x)的解析式；(2)若方程f(x)a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围解：(1)设x0，则x0，所以f(x)x22x.又因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)x22x.所以f(x)(2)方程f(x)a恰有3个不同的解，即yf(x)与ya的图象有3个不同的交点作出yf(x)与ya的图象如图所示，故若方程f(x)a恰有3个不同的解，只需1a1，故实数a的取值范围为(1,1)10(2019济南月考)已知二次函数f(x)的最小值为4，且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3，xR(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)4ln x的零点个数解：(1)因为f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3，xR，所以f(x)a(x1)(x3)ax22ax3a，且a0.所以f(x)minf(1)4a4，a1.故函数f(x)的解析式为f(x)x22x3.(2)因为g(x)4ln xx4ln x2(x0)，所以g(x)1.令g(x)0，得x11，x23.当x变化时，g(x)，g(x)的取值变化情况如下.x(0,1)1(1,3)3(3，)g(x)00g(x)极大值极小值当0x3时，g(x)g(1)40.又因为g(x)在(3，)上单调递增，因而g(x)在(3，)上只有1个零点故g(x)在(0，)上只有1个零点二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1(2018德州期末)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)exx3，则f(x)的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：选C因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)0，即0是函数f(x)的一个零点，当x0时，f(x)exx3为增函数因为f(1)e113e20，fe3e0，所以当x0时，f(x)有一个零点根据对称性知，当x0时，函数f(x)也有一个零点综上所述，f(x)的零点的个数为3.2(2019六安模拟)已知函数f(x)2mx2x1在区间(2,2)上恰有一个零点，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D当m0时，函数f(x)x1有一个零点x1，满足条件当m0时，函数f(x)2mx2x1在区间(2,2)上恰有一个零点，需满足f(2)f(2)0或或解得m0或0m；无解；解得m.综上可知m，故选D.3(2019沧州质检)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(2x)0；f(x2)f(x)；当x1,1时，f(x)则函数yf(x)|x|在区间3,3上的零点个数为()A5 B6C7 D8解析：选A由f(x)f(2x)0可得f(x)的图象关于点(1,0)对称；由f(x2)f(x)可得f(x)的图象关于直线