（通用版）2020高考数学一轮复习1.2命题及其关系、充分条件与必要条件讲义文.docx

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识批注理解深一点1命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题. 2四种命题及其相互关系3充分条件、必要条件与充要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件；A是B的充分不必要条件是指：AB且BA；A的充分不必要条件是B是指：BA且AB，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误(2)如果qp，则p是q的必要条件；(3)如果既有pq，又有qp，记作pq，则p是q的充要条件充要关系与集合的子集之间的关系设Ax|p(x)，Bx|q(x)，若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件若AB，则p是q的充要条件二、常用结论汇总规律多一点1四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明2等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件其他情况以此类推三、基础小题强化功底牢一点(1)“x22x8b，则acbc”的否命题是()A若ab，则acbc B若acbc，则abC若acbc，则ab D若ab，则acbc解析：选A命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若ab，则acbc”3(2018唐山一模)若xR，则“x1”是“1时，1成立，而当1或x1”是“1”的充分不必要条件(三)填一填4“若a，b都是偶数，则ab是偶数”的逆否命题为_解析：“a，b都是偶数”的否定为“a，b不都是偶数”，“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”，故其逆否命题为“若ab不是偶数，则a，b不都是偶数”答案：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数5设向量a(x1，x)，b(x2，x4)，则“ab”是“x2”的_条件解析：a(x1，x)，b(x2，x4)，若ab，则ab0，即(x1)(x2)x(x4)0，解得x2或x，x2ab，反之abx2或x，“ab”是“x2”的必要不充分条件答案：必要不充分 典例(2019菏泽模拟)有以下命题：“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；“面积相等的两个三角形全等”的否命题；“若m1，则x22xm0有实数解”的逆否命题；“若ABB，则AB”的逆否命题其中真命题是()ABC D解析原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy1”，是真命题；原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；若m1，44m0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；由ABB，得BA，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故正确答案D解题技法1由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题2判断命题真假的2种方法直接判断判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可间接判断根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假提醒(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提题组训练1(2019长春质监)命题“若x21，则1x1”的逆否命题是()A若x21，则x1或x1B若1x1，则x21或x1D若x1或x1，则x21解析：选D命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x21，则1x1”的逆否命题是“若x1或x1，则x21”2已知集合P，Q，记原命题：“xP，则xQ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A0 B1C2 D4解析：选C因为P，Q，所以PQ，所以原命题“xP，则xQ”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题原命题的逆命题“xQ，则xP”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2. 典例(1)(2019湖北八校联考)若a，b，c，dR，则“adbc”是“a，b，c，d依次成等差数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)(2018天津高考)设xR，则“”是“x31”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(3)已知p：xy2，q：x，y不都是1，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析(1)定义法当a1，b0，c3，d4时，adbc，但此时a，b，c，d不成等差数列；而当a，b，c，d依次成等差数列时，由等差数列的性质知adbc.所以“adbc”是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.(2)集合法由，得0x1，则0x31，即“”“x31”；由x31，得x1，当x0时，即“x31” “”所以“”是“x31”的充分而不必要条件(3)等价转化法因为p：xy2，q：x1或y1，所以綈p：xy2，綈q：x1且y1，因为綈q綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件答案(1)B(2)A(3)A解题技法判断充分、必要条件的3种方法利用定义判断直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假在判断时，确定条件是什么、结论是什么从集合的角度判断利用集合中包含思想判定抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题利用等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假提醒判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别，要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义题组训练1.已知xR，则“x1”是“x21”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B若x21，则1x1，(，1)(1,1)，“x1”是“x21”的必要不充分条件2.(2018南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“mn0”是“m与n的夹角为钝角”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B设m，n的夹角为，若m，n的夹角为钝角，则，则cos 0，则mn0成立；当时，mn|m|n|0成立，但m，n的夹角不为钝角故“mn0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件3.“xy1”是“x1或y1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A设p：xy1，q：x1或y1，则綈p：xy1，綈q：x1且y1.可知綈q綈p，綈p綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件故p是q的充分不必要条件，即“xy1”是“x1或y1”的充分不必要条件 考点三根据充分、必要条件求参数的范围典例已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要条件，则m的取值范围是_解析由x28x200，得2x10，所以Px|2x10，由xP是xS的必要条件，知SP.则所以0m3.所以当0m3时，xP是xS的必要条件，即所求m的取值范围是0,3答案0,3变透练清1.若本例条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件解：若xP是xS的充要条件，则PS，所以解得即不存在实数m，使xP是xS的充要条件2.若本例将条件“若xP是xS的必要条件”变为“若綈P是綈S的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围解：由例题知Px|2x10，綈P是綈S的必要不充分条件，S是P的必要不充分条件，PS且SP.2,101m,1m或m9，即m的取值范围是9，)解题技法根据充分、必要条件求参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象1已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A逆命题B否命题C逆否命题 D否定解析：选B命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题2命题“若x23x40，则x4”的逆否命题及其真假性为()A“若x4，则x23x40”为真命题B“若x4，则x23x40”为真命题C“若x4，则x23x40”为假命题D“若x4，则x23x40”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x23x40，所以x4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题3原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，假，真B假，假，真C真，真，假 D假，假，假解析：选B当z1，z2互为共轭复数时，设z1abi(a，bR)，则z2abi，则|z1|z2|，所以原命题为真，故其逆否命题为真取z11，z2i，满足|z1|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假4(2018北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“adbc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选Ba，b，c，d是非零实数，若a0，d0，c0，且adbc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a2，d3，b2，c3)若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知adbc.所以“adbc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件5已知命题：如果x3，那么x0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()Am B0m0 Dm1解析：选C若不等式x2xm0在R上恒成立，则(1)24m，因此当不等式x2xm0在R上恒成立时，必有m0，但当m0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m0.9在ABC中，“AB”是“tan Atan B”的_条件解析：由AB，得tan Atan B，反之，若tan Atan B，则ABk，kZ.0A，0B3，但22(2)2，但30，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为_解析：因为p(1)是假命题，所以12m0，解得m3.又p(2)是真命题，所以44m0，解得msin C是BC的充要条件”是真命题；“a1”是“直线xay0与直线xay0互相垂直”的充要条件；命题“若x0”的否命题为“若x1，则x22x30”以上说法正确的是_(填序号)解析：对于，“若xy，则sin xcos y”的逆命题是“若sin xcos y，则xy”，当x0，y时，有sin xcos y成立，但xy，故逆命题为假命题，正确；对于，在ABC中，由正弦定理得sin Bsin CbcBC，正确；对于，“a1”是“直线x