冲刺2019高考数学二轮复习核心突破专题11基本不等式及其应用（含解析）.docx

专题11 基本不等式及其应用【自主热身，归纳总结】1、已知a0, b0，且，则ab的最小值是_【答案】：2【解析】 利用基本不等式，化和的形式为积的形式因为2，所以ab2，当且仅当时，取等号2、已知正数满足，则的最小值为 【答案】9【解析】： =93、已知正实数x，y满足，则x + y 的最小值为 【答案】： 4、已知a，b为正数，且直线 axby60与直线 2x(b3)y50互相平行，则2a3b的最小值为_ 【答案】25【解析】：由于直线axby60与直线2x(b3)y50互相平行，所以a(b3)2b，即1(a，b均为正数)，所以2a3b(2a3b)136136225(当且仅当即ab5时取等号)5、已知正实数满足，则的最小值为 【答案】8【解析】：因为，所以又因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立易错警示 在应用基本不等式时，要注意它使用的三个条件“一正二定三相等”另外，在应用基本不等式时，要注意整体思想的应用 6、设实数x，y满足x22xy10，则x2y2的最小值是_【答案】思路分析1 注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值注意中消去y较易，所以消去y.解法1 由x22xy10得y，从而x2y2x222，当且仅当x时等号成立思路分析2 由所求的结论x2y2想到将条件应用基本不等式，构造出x2y2，然后将x2y2求解出来解法2 由x22xy10得1x22xymx2ny2，其中mn1(m，n0)，所以(m1)x2ny21，令m1n，与mn1联立解得m，n，从而x2y2.7、若正实数满足，则的最小值是 【答案】、8 【解析】： 因为正实数满足，所以，当且仅当，即，又，即，等号成立，即取得最小值.8、若实数x，y满足xy3x3，则的最小值为_【答案】： 8解法1 因为实数x，y满足xy3x3，所以y3(y3)，所以y3y36268，当且仅当y3，即y4时取等号，此时x，所以的最小值为8.解法2 因为实数x，y满足xy3x3，所以y3(y3)，y360，所以66268，当且仅当6，即x时取等号，此时y4，所以的最小值为8.解后反思 从消元的角度看，可以利用等式xy3x3消“实数x”或消“实数y”，无论用哪种消元方式，消元后的式子结构特征明显，利用基本不等式的条件成熟9、 已知正数a，b满足5，则ab的最小值为_【答案】. 36【解析】：因为正数a，b满足5，所以52，当且仅当9ab时等号成立，即ab560，解得6或1(舍去)，因此ab36，从而(ab)min36.10、已知，均为锐角，且cos()，则tan的最大值是_【答案】11、 已知正数x，y满足1，则的最小值为_【答案】25【解析】：因为1，所以9x49(x1)9139(x1)139(x1)又因为10，所以x1，同理y1，所以139(x1)13225，当且仅当x时取等号，所以的最小值为25.12、 已知ab2，b0，当取最小值时，实数a的值是_【答案】： 2解法1 2，当且仅当a0，且，即a2，b4时取等号解法2 因为ab2，b0，所以(a2)设f(a)(a2)，则f(a)当a0时，f(a)，从而f(a)，故当a2时，f(a)0；当2a0时，f(a)0，故f(a)在(，2)上是减函数，在(2，0)上是增函数，故当a2时，f(a)取得极小值；同理，当0a2时，函数f(a)在a处取得极小值.综上，当a2时，f(a)min.【问题探究，变式训练】 :例1、 已知正数x，y满足xy1，则的最小值为_【答案】： 解法1 令x2a，y1b，则ab4(a2，b1)，(ab)(54)，当且仅当a，b，即x，y时取等号解法2 (幂平均不等式)设ax2，by1，则.解法3 (常数代换)设ax2，by1，则，当且仅当a2b时取等号【变式1】、已知实数x，y满足xy0，且xy2，则的最小值为_ 【答案】设解得所以xy2，即mn4.设t，所以4t(mn)332.即t，当且仅当，即mn时取等号【变式2】、已知x，y为正实数，则的最大值为 .【答案】： 【解析1】：令，从而得，故，当且仅当，即时等号成立。 解法2 设BDCDm，ADn，则由已知得7(2m)22(m2n2)4，所以15m2n222mn，所以mn，当且仅当15m2n2时取等号，此时m2，所以面积的最大值为.例3、 若实数x，y满足2x2xyy21，则的最大值为_【答案】. 【解析】： 在2x2xyy21中，独立变量有两个，因为用x表示y或用y表示x均不方便，可引入第三个变量来表示x，y.由2x2xyy21，得(2xy)(xy)1，设2xyt，xy，其中t0.则xt，yt，从而x2yt，5x22xy2y2t2，记ut，则，当且仅当u，即u时取等号，即最大值为.【变式1】、 已知正实数x，y满足5x24xyy21，则12x28xyy2的最小值为_【答案】： 解法1(双变量换元) 因为x0，y0，且满足5x24xyy21，由此可得(5xy)(xy)1，令u5xy，vxy，则有u0，v0，uv1，并且x，y，代入12x28xyy212282，当且仅当u3v，uv1，即u，v，亦即x，y时，12x28xyy2取得最小值.解法2(常数1的代换) 因为x0，y0，且满足5x24xyy21，由此可得(5xy)(xy)1，因为x0，y0，xy0，所以5xy0，即有05，令t，则0t5，所以12x28xyy2111.再令f(t)1(0t5)令f(t)0，因为0t5，所以t.当t时，f(t)0，f(t)单调递增，所以当t时，f(t)取极小值，也是最小值f.此时x2y，结合5x24xyy21，解得x，y，即当x，y时，12x28xyy2取得最小值.解法3(基本不等式) 因为x0，y0，设u0，v0，则ux2vy22xy.12x28xyy212x28xyy2(2xyux2vy2)，即12x28xyy2(12u)x2(82)xy(v1)y2.令(12u)x2(82)xy(v1)y2t(5x24xyy2)t，则12u5t，824t，v1t，解得t，u，v，所以12x28xyy22x2xyy2(5x24xyy2)，当且仅当x2y，结合5x24xyy21，解得x，y，即当x，y时，12x28xyy2取得最小值.【变式2】、若正实数x，y满足(2xy1)2(5y2)(y2)，则x的最大值为_【答案】：. 1解法1 令xz，则2xy2yz1，代入(2xy1)2(5y2)(y2)整理得(4z25)y28(z1)y80(*)，由题意得y20，该方程在2，)应有解，故0，即64(z1)232(4z25)0，化简得2z24z70, 故00，y1y24，故方程必有大于2的实根，所以x的最大值为1.解法2 (2xy1)2(5y2)(y2)，即2，则x，所以x 1 1 1，当且仅当 1，即y2时等号成立，所以x的最大值为1.解法3 由(2xy1)2(5y2)(y2)得2，即292，即229，所以9222x22，所以x1.【变式3】、若实数x，y满足x24xy4y24x2y24，则当x2y取得最大值时，的值为_【答案】：2思路分析 设xa,2yb，则问题变简单了设xa,2yb，则实数a，b满足(ab)2(ab)24.因为(ab)2(ab)24ab4(ab)24ab8(ab2)28，当且仅当ab时，ab取最大值2，此时x2y，所以2.【关联1】、 已知对满足xy42xy的任意正实数x，y，都有x22xyy2axay10，则实数a的取值范围是_【答案】： 【解析】：对于正实数x，y，由xy42xy得xy42xy，解得xy4，不等式x22xyy2axay10可化为(xy)2a(xy)10，令txy(t4)，则该不等式可化为t2at10，即at对于任意的t4恒成立，令u(t)t(t4)，则u(t)10对于任意的t4恒成立，从而函数u(t)t(t4)为单调递增函数，所以u(t)minu(4)4，于是a. 【关联2】、 设实数x，y满足y21，则3x22xy的最小值是_【答案】. 64解法1 因为y21，所以3x22xy，令k，则3x22xy，再令t3