2019届高考数学专题二数列课后综合提升练1.2.2数列求和及综合应用文.docx

第二讲数列求和及综合应用(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在数列an中,an+1=2an-1,a3=2,设其前n项和为Sn,则S6=()A.B.C.15D.27【解析】选A.因为an+1=2an-1,所以an+1-1=2(an-1),所以an-1是以2为公比的等比数列,所以an-1=(a1-1)2n-1,因为a3=2,所以a1=,所以an=1+2n-3,所以S6=6+=.2.(2018广东省化州市二模)已知有穷数列an中,n=1,2,3,729,且an=(2n-1)(-1)n+1,从数列an中依次取出a2,a5,a14,构成新数列bn,容易发现数列bn是以-3为首项,-3为公比的等比数列,记数列an的所有项的和为S,数列bn的所有项的和为T,则()A.STB.S=TC.ST.3.已知数列an的前n项和为Sn,若a1为函数f(x)=sin x+cos x(xR)的最大值,且满足an-anSn+1=-anSn,则数列an的前2 018项之积A2 018=()A.1B.C.-1D.2【解析】选A.因为a1为函数f(x)=sin x+cos x(xR)的最大值,所以a1=2,因为an-anSn+1=-anSn,所以(Sn+1-Sn)an=an-1,所以an+1=,所以a2=,a3=-1,a4=2所以数列an是周期数列,周期为3,所以an的前2018项之积A2018=a1a2a3a2 018=(-1)6721=1.4.(2018 河南省六市联考)已知数列an满足: an+1+(-1)n+1an=2,则其前100项的和为 ()A.250B.200C.150D.100【解析】选D.因为an+1+(-1)n+1an=2,所以a1+a2=2,a3+a4=2,a5+a6=2,a99+a100=2,所以其前100项和为250=100.5.已知数列an满足a1=1, an+1-an=4n-2(nN*),则使an163的正整数n的最小值为()A.8B.10C.12D.14【解析】选B.由题意得an+1-an=4n-2,则当n2时,a2-a1=2,a3-a2=6,an-an-1=4n-6,这n-1个式子相加,就有an-a1=2(n-1)2,即an=2(n-1)2+1=2n2-4n+3,当n=1时,a1=1也满足上式,所以an=2n2-4n+3,由an163得2n2-4n+3163,即n2-2n-800,解得n10或n-8,所以n10,即使an163的正整数n的最小值为10.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知数列an的通项公式为an=(nN*),记数列an的前n项和Sn,则在S1,S2,S2 017中,有_个有理数.【解析】依题意,an=-,故Sn=a1+a2+an=1-,因为4445,故n+1=22,32,442,故有43个有理数.答案:437.(2018湖北省联考试题)“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现,因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称该数列为“兔子数列”.斐波那契数列an满足:a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n3,nN*),记其前n项和为Sn,设a2 018=t(t为常数),则S2 016+S2 015-S2 014-S2 013=_(用t表示).【解析】S2 016+S2 015-S2 014-S2 013=a2 016+a2 015+a2 015+a2 014=a2 017+a2 016=a2 018=t.答案:t8.有下列命题:等比数列an中,前n项和为Sn,公比为q,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍然是等比数列,其公比为qn;若数列an是等差数列,前n项和为Sn,则数列是等差数列;若数列an是正项数列,且+=n2+3n(nN*),则+=2n2+6n;若数列an的前n项和为Sn,Sn=20n-19,则数列an是等比数列.其中正确命题的序号是_(填序号).【解析】错,q=-1,n=2,S4-S2=0,不符合等比数列. 因为数列an是等差数列,前n项和为Sn,所以Sn=na1+d,所以=a1+(n-1),所以数列是以a1为首项,以为公差的等差数列.+=n2+3n中n用n-1代替得+=(n-1)2+3(n-1),两式作差得=2n+2(n2),an=4(n+1)2,a1=16,符合.=4(n+1),所以+=2n2+6n.当n=1时, a1=S1=201-19=20-18,当n2时,an=Sn-Sn-1=20n-19-20n-20=1920n-20,所以an=,所以数列an不是等比数列答案:三、解答题(每小题10分,共30分)9.(2018亳州市一模)已知数列an的前n项和Sn满足2Sn=3an-,其中是不为零的常数,nN*.(1)求an的通项公式.(2)若=3,记bn=,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)由已知2Sn=3an-可得:2Sn+1=3an+1-两式相减得:2an+1=3an+1-3an,即an+1=3an因为2S1=3a1-,所以a1=0,所以an0,所以=3,所以an是首项为,公比为3的等比数列,从而an=3n-1.(2)因为=3,所以an=3n,从而bn=,所以bnbn+2=2,所以Tn=2=2=3-.10.设数列an的前n项和为Sn,a1=1,且对任意正整数n,点(an+1,Sn)都在直线2x+y-2=0上.(1)求数列an的通项公式.(2)若bn=n,数列bn的前n项和为Tn,求证:Tn1时,2an+Sn-1-2=0,两式相减得2an+1-2an+Sn-Sn-1=0,即2an+1-2an+an=0,an+1=an,又当n=1时,2a2+S1-2=2a2+a1-2=0,a2=a1,所以an是首项a1=1,公比q=的等比数列,数列an的通项公式为an=.(2)由(1)知,bn=n=,则Tn=1+,Tn=+,两式相减得Tn=1+-=-=-,所以Tn=-.11.设等差数列an的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(nN*).(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列an的前n项和Sn.(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列的前n项和Tn.【解析】(1)点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上,所以bn=,又等差数列an的公差为d,所以=2d,因为点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,所以4b7=b8,所以2d=4d=2.又a1=-2,所以 Sn=na1+d=-2n+n2-n=n2-3n.(2)由f(x)=2xf(x)=2xln 2,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为y-b2=(ln 2)(x-a2),所以切线在x轴上的截距为a2-,从而a2-=2-,故a2=2,从而an=n,bn=2n,=,Tn=+,Tn=+,所以Tn=+-=1-=1-,故Tn=2-.(20分钟20分)1.(10分)设数列an满足a1=0且-=1.(1)求an的通项公式.(2)设bn=,记Sn=bk,证明:Sn1.【解析】(1)由题设-=1,即是公差为1的等差数列.又=1,故=n.所以an=1-.(2)由(1)得bn=-,Sn=bk=1-1.2.(10分)已知数列an的前n项和是Sn,且Sn+an=1(nN*).(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=log4(1-Sn+1)(nN*),Tn=+,求使Tn成立的最小的正整数n的值.【解析】(1)当n=1时,a1=S1,由S1+a1=1a1=,当n2时,Sn