高考数学复习指导：集合与常用逻辑用语.doc

海量资料 超值下载集合与常用逻辑用语内容要求ABC集合集合及其表示子集交集、并集、补集常用逻辑用语命题的四种形式充分条件、必要条件、充分必要条件简单的逻辑联结词全称量词与存在量词集合、常用逻辑用语总的要求是A或B级,因为在中学数学课程中它们的定位主要是“数学语言”,是整个高中数学的基础知识和工具,高考不会在这些内容上做太多文章,出难题.从2012年、2013年江苏高考以及首批进入高中数学课程改革的高考试卷看,对集合和常用逻辑用语的考查都是以容易题为主,少数题属于与其他知识点综合的中档题.1. 集合集合作为数学中的一个原始概念,只要能理解集合的概念即可.重在将集合作为一种语言来学习,感受用集合语言简洁、准确地表示数学对象,为以后的学习和运用数学语言表达和交流打下基础.因此在学习集合时,要会将一些常用的数集、点集用集合语言表示,并善于将集合语言、符号语言和图形语言相互转换.(1) 集合及其表示是A级要求,对集合概念的理解要求不高,主要从语言的角度学习集合的表示.集合有三种表示方法,一是列举法,二是描述法,三是图示法,学生往往对描述法不太理解,复习时要抓住描述法的关键对集合元素共性的刻画.例如,2010年的集合题是根据简单数集的交集,求集合中字母表示的数的值.2011年的集合考查内容较多,第1题是求简单数集的交集;第14题考查了两个平面点集的交集非空,求集合中参数的取值范围;在第20题中,还用到集合的符号表达,强化了集合作为一种语言的功能.2012年主要在第1题对集合的并集运算及第23题对集合的概念、组成、元素与集合的关系作了重点考查;2014年的第1题对集合的交集运算作了考查.(2) 关于子集,主要应理解这个概念的意义,并学会能判断一个集合是否是另一集合的子集,但不要证明.要结合日常生活经验、不等式(组)的解集、点集来理解包含关系.例如2008年广东省高考的一道集合方面的题目,就是与生活知识密切相关的.又如不等式组的解集是不等式x|x-30解集的子集,其中反映了逻辑上的“且”关系.2013年的第4题考查了集合的子集个数问题.(3) 集合间的基本运算也是高考经常涉及的问题,现在定为B级要求.重在理解两个集合的并集、交集和补集的含义,并从数学语言的角度分别用符号语言、集合语言和Venn图来表示.(4) 从近年来江苏高考试题看,集合考查的题型主要是填空题.由于集合作为语言的基础性和工具性作用,考查的知识点常与方程(组)、不等式的解集、点集、函数的定义域等知识结合;考查的数学思想主要有数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想,例如运用数形结合的思想,求交集或并集时常要借助于数轴进行,另外处理抽象集合的关系等问题时,常画韦恩图.2. 常用逻辑用语常用逻辑用语的复习要注意把握好尺度与分寸,不要随意加深和拓展,重点是四种命题及其它们的关系和充分条件、必要条件的判断.对于逻辑联结词,不要求掌握对含有逻辑联结词的命题的否定,不研究含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的逆命题、否命题与逆否命题.对真值表不作要求,能对含有一个量词的命题进行否定即可.对于充要条件这一内容,要给予足够的重视,不但能够判断具体命题的充要关系,还要会判断抽象命题的关系,还要能够探求和证明充要条件,这一内容在容易题、中档题和难题中均有可能出现.1. 由于本章内容相对简单,主要体现在数学语言和符号的运算上,它与数学中其他知识可以进行一些综合,但鉴于这一章的内容在考试说明中的能力要求最多是B级,故不宜太难.复习的重点和难点在于集合的表示方法与运算.2. 充要条件的探求,一般是先探求必要条件,再探求充分条件;而充要条件的证明,一定要分充分性和必要性证明,注意书写格式要求,不能忘记下结论,一般是“两步一结论”.3. 集合与简易逻辑结合在一起复习,可以相得益彰,加深对双方的理解.例如,简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义可以分别与集合的运算“并”、“交”、“补”的意义对应起来复习,如AB=x|xA或xB;必要条件、充分条件的意义的理解,可以结合集合之间的包含关系理解,如当AB时,则xA是xB的充分条件.第1课时集合的概念及运算内容要求ABC集合及其表示子集交集、并集、补集1. 理解集合语言的作用,掌握集合的表示方法:列举法、描述法和图示法(韦恩图).理解集合的包含和相等关系(不要求证明包含和相等关系).2. 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.理解给定集合的一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.会用韦恩图表示集合的关系及运算.3. 在近几年的江苏高考中,集合主要以小题形式考查,涉及集合的表示方法、集合之间的关系和运算,常与其他知识交汇,如方程、不等式、函数等,要学会不同数学语言之间的转换.对于两个简单集合的交集、并集,以及求一个集合的子集的补集要适当控制难度.1. 一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合,集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.2. 集合的元素具有确定性、互异性、无序性.3. 集合的表示方法有列举法、描述法、图示法.4. 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若aA,则aB),那么称集合A为集合B的子集,记为AB或BA,读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.5. 如果AB,并且AB,这时集合A称为集合B的真子集,记为AB或BA,读作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”.6. 一个集合有n个元素,则它的子集的个数为2n,真子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.7. 交集:由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合,叫做集合A与B的交集,记作AB,即AB=x|xA,且xB.8. 并集:由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合,叫做集合A与B的并集,记作AB,即AB=x|xA,或xB.9. 补集:设AS,由S中不属于A所有元素组成的集合称为S的子集A的补集,记作SA,即SA=x|xS,且xA.10. ABA(B), AB=BA, AA=A, A=.11. A (B)AB, AB=BA, AA=A, A=A.12. S (SA)=A, SS=, S=S, ASA=, ASA=S.13. A(BC)=(AB)(AC), A(BC)=(AB)(AC); S(AB)=SASB, S(AB)=SASB.14. AB=AABAB=B.15. 记有限集合A, B, C中的元素个数分别为card (A), card (B), card (C),则有:(1) card (AB)=card (A)+card (B)-card (AB);(2) card (ABC)=card (A)+card (B)+card (C)-card(AB)-card (AC)-card (BC)+card (ABC).1. 已知集合A=1, 2, 4, B=2, 4, 6,则AB=1, 2, 4, 6.2. 集合A=3, log2a, B=a, b,若AB=2,则AB=2, 3, 4.3. 若全集U=R,集合M=x|-2x2, N=x|x2-3x0,则M(UN)=x|-2x0.4. 设集合A=1, 2,则满足AB=1, 2, 3的集合B的个数是4.5. 设M, N是两个非空集合,定义M与N的差集为M-N=x|xM,且xN,则M-(M-N)=MN.1. 集合的概念集合是由元素构成的,集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.当集合的元素满足一定的条件时,就可以用描述法表示.要研究集合中元素的情况,就需要注意条件的意义和实质,或必要时对条件进行恰当的分类.例1已知集合A=a+2, (a+1)2, a2+3a+3,若1A,求实数a的值.点拨集合中元素的性质是高考考查的问题之一,主要根据元素的互异性来确定集合,解决此类问题关键在于找准问题的切入点,对各种情况进行排查和验证,从而得出正确的结果.解若a+2=1,则a=-1,此时(a+1)2=0, a2+3a+3=1,不合题意,舍去.若(a+1)2=1,则a=0或-2.当a=0时,a+2=2, a2+3a+3=3,符合题意;当a=-2时,a+2=0, a2+3a+3=1,不合题意,舍去.若a2+3a+3=1,则a=-1或a=-2,舍去.综上,a=0.反思解答一个与元素有关的命题,必须先弄清楚研究的是什么样的集合,它是用什么方法表示的,是列举法,还是描述法;其次要准确把握集合中元素的属性,是数集还是点集等;要与常见的用集合描述的相关知识联系起来,如函数的定义域、值域,不等式的解集等.拓展设集合A=(x, y)|(x-a)2+(y-a)25, aZ,若(1, 2)A,求a的值.略解因为(1, 2)A,所以(1-a)2+(2-a)25,解得0a3.又因为aZ,故a=1或2.2. 集合的运算例2已知集合A=x|x2+x-20, B=, C=x|ax2+2x+c0.若集合A, B, C满足(AB)C=, (AB)C=R,求a, c.点拨由(AB)C=及(AB)C=R可得C=R(AB),求出AB,即可求出C,再由C求出a, c.解根据题意,得A=x|-2x1, B=x|1x3,故AB=x|-2x3.由(AB)C=, (AB)C=R,而全集为R,故C=R(AB),所以C=x|x3.又因为C=x|ax2+2x+c0,所以a0,且-2和3是方程ax2+2x+c=0的两根.由韦达定理,得解得反思这是一道由集合的运算与解不等式相结合的综合题.主要考查集合的概念及运算和解不等式的基本方法.例3已知集合A=(x, y)|x2+mx-y+2=0, B=(x, y)|x-y+1=0, 0x2.如果AB,求实数m的取值范围.点拨本题的实际背景是“抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0(0x2)有公共点,求实数m的取值范围”.能够将数学符号与数学语言互译,是考生必须具备的一种数学素质.解由得x2+(m-1)x+1=0. AB, 方程在区间0, 2上至少有一个实数解.首先,由=(m-1)2-40,得m3或m-1.当m3时,由x1+x2=-(m-1)0及x1x2=10知,方程有两个互为倒数的正根,故必有一根在区间(0, 1内,从而方程至少有一个根在区间0, 2内.综上所述,m的取值范围是(-, -1.反思上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0(0x2)的公共点在线段上,本题也可以利用公共点内分线段的比的取值范围建立关于m的不等式来解.3. 关于有限集合的交集、并集的元素个数问题例4求1到200这200个数中既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的自然数共有多少个?点拨若设集合A=1到200的2的倍数,B=1到200的3的倍数,C=1到200的5的倍数,本题实际上是求ABC的补集的元素个数.(例4)解如图,先画出Venn图,不难看出不符合条件的数共有(2002)+2003+(2005)-(20010)-2006-20015+20030=146, x为不大于x的最大整数,所以符合条件的数共有200-146=54(个).反思分析200个数分为两类,即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类,而不满足条件的这一类标准明确而简单,因此可考虑用排除法.1. 在研究集合的交、并、补集时,要注意数轴和韦恩图的运用.2. 在处理含参数的集合的交、并、补集时,要特别关注端点的问题.3. 要善于将集合语言与其他数学语言的互译.1. (根据必修1P7练习第4题改编)集合A=(x, y)|0x2, -1y1, x, yR所表示的点集构成图形的面积为4.2. (根据必修1P13练习第4题改编)若集合A=(x, y)|x+y=0, B=(x, y)|x-y=2,则AB=(1, -1).3. (根据必修1P13练习第1题改编)设集合A=5, log2(a+3),集合B=a, b.若AB=2,则AB=1, 2, 5.4. (根据必修1P17复习题第6题改编)设集合A=x|1xa.若AB=B,则a的取值范围是(-, 1.5. (根据必修1P17复习题第6题改编)设集合A=x|x2-3x+2=0, B=x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0.(1) 若AB=2,求实数a的值;(2) 若AB=A,求实数a的取值范围.(答案:(1)-1或3; (2)(-, -3)第2课时命题内容要求ABC命题的四种形式简单的逻辑联结词全称量词与存在量词1. 命题及其关系了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义;会分析四种命题的相互关系.重点关注四种命题的相互关系.不需研究含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的逆命题、否命题与逆否命题.2. 简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容(对真值表不作要求).对含有逻辑联结词的命题的否定不作要求.3. 全称量词与存在量词理解全称量词与存在量词的意义;能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容.理解对含有一个量词的命题的否定的意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1. 能够判断真假的语句叫命题.2. 一般地,设“若p则q”为命题,那么“若q则p”就叫做原命题的逆命题;“若非p则非q”就叫做原命题的否命题;“若非q则非p”就叫做原命题的逆否命题.原命题与逆命题、否命题与逆否命题互为逆命题;原命题与否命题、逆命题与逆否命题互为否命题;原命题与逆否命题、逆命题与否命题互为逆否命题.3. “或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词.4. “所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词,通常用符号“x”表示“对任意x”.含有全称量词的命题称全称命题,其一般形式为xM, p(x),其中M为给定集合,p(x)是一个关于x的命题.“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词,通常用符号“x”表示“存在x”.含有存在量词的命题称为存在性命题,其一般形式为xM, p(x),其中M为给定集合,p(x)是一个关于x的命题.5. 含有一个量词的命题的否定:“xM, p(x)”的否定为xM,p(x).“ xM, p(x)”的否定为xM,p(x).1. “xR, x2+1-3,则a-6”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数是2.3. 已知命题p:关于x的不等式x2+2ax+40对任意实数x恒成立;命题q:y=log(2-a)x在(0, +)上单调递减.若p且非q为真,则a的取值范围是(-2, 1).4. 已知f(x)=x2, g(x)=-m,x1-1, 3, x20, 2, 使f(x1)g(x2),则m的取值范围是.1. 判断语句是否是命题及命题的真假例1判断下列语句是否是命题.若不是,请说明理由;若是,请判断命题的真假.(1)实数的平方是正数;(2)奇数的平方仍是奇数;(3)所有的质数都是奇数;(4)6x+38;(5)若x+y和xy都是有理数,则x,y都是有理数;(6)设A, B为两个集合,若AB=B,则AB.点拨能够判断真假的语句就是命题,否则不是命题.解(1) 是命题,但是假命题,当x=0时,它的平方不是正数;(2) 是命题,为真命题,设x=2k+1(kZ),则x2=4k2+4k+1=4(k2+k)+1也是奇数;(3) 是命题,但是假命题,因为2也是质数;(4) 不是命题,这种含有未知数的语句,其真假与未知数的取值有关,当x的取值不定时,其真假也不定;(5) 是命题,但是假命题,如x=1-,y=1+,x+y=2,xy=-1;(6) 是命题,但是假命题,应为BA.反思判定一个语句是不是命题,关键是能否判断其真假;在说明一个命题是假命题时,能举出反例即可.2. 四种命题及其关系例2判断下列命题的真假:(1) 命题“若axb,则x”;(2) 命题“若b=-2,则b2=4”的逆命题;(3) 命题“若x=3,则x2-2x-3=0”的否命题;(4) 命题“全等三角形的对应边相等”的逆否命题.点拨先写出相应的命题,再判断真假;或者利用等价命题的原理和规律判断真假.解(1) 若a0,则x60.(2) 是“p且q”形式的复合命题,其中p:一个内角为90,另一个内角为45的三角形是等腰三角形,q:一个内角为90,另一个内角为45的三角形是直角三角形.(3) 是“p或q”形式的复合命题,其中p:有一个内角为60的三角形是正三角形,q:有一个内角为60的三角形是直角三角形.提醒对于逻辑联结词的问题,只要求根据两个命题会写出“p且q”、“p或q”和“非p”形式的命题即可,或是根据命题能分析其构成即可(如本例),对于含有逻辑联结词的命题的真假的判断不要求掌握.4. 含有量词的命题的否定例4(1) 命题“xR, x2+ax+10”为真命题,求实数a的取值范围;(2) 命题“xR, x2+ax+10,即a(-, -2)(2, +),所以a的取值范围为(-, -2)(2, +);(2) 由题意可知命题“xR, x2+ax+10”为真命题,所以=a2-40,即a-2, 2.反思构造命题的否定形式时,一是分清命题的否定与否命题的区别,二是掌握一些常用词语的否定形式,如:都是不都是,至少有一个一个也没有,至多有一个至少有两个;常见命题的否定形式,如:xM, p(x)xM,p(x);p或qp且q.5. 用命题的真假求参数的取值范围例5已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在3, +)上是单调增函数.若p或q是真命题,p且q是假命题,则实数a的取值范围是.点拨解决此类问题的思路如下:先化简整理题设条件中所给的简单命题,然后依据复合命题的真假去判断简单命题必须满足的条件.解命题p等价于=a2-160, a-4或a4.命题q等价于- 3, a-12. p或q是真命题,p且q是假命题, 命题p和q一真一假, 实数a的取值范围为(-4, 4)(-, -12).反思分别求出p, q为真命题时参数的取值范围,是正确解题的基础和关键.1. 命题的否定是命题的“非命题”,一般是“否定全称得特称,否定特称得全称,否定肯定得否定,否定否定得肯定”,但否命题是既否定原命题的条件作为条件,又否定原命题的结论作为结论的命题.2. 判断一个命题为真,一般要给出严格的证明,而说明一个命题为假,则只需举出反例即可,这一方法在下一讲有关充要条件的判断中也常常用到.1. (根据选修1-1P6例1改编)在命题“若ab,则ac2bc2 (a, bR)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为2.提示若ab, c2=0,则ac2=bc2. 原命题为假命题.若ac2bc2,则c20且c20,则ab.逆命题为真命题.又逆命题与否命题等价,否命题也为真命题.又逆否命题与原命题等价,逆否命题为假命题.2. (根据选修1-1P19复习题第5题改编)命题“若ab=0,则a, b中至少有一个为零”的逆否命题是若a, b都不为零,则ab0.3. (根据选修1-1P19复习题第8题改编)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.(1) 当cbc,则ab;(2) 若ab=0,则a=0或b=0.解(1) 逆命题:当c0时,若abc;真命题.否命题:当c0时,若acbc,则ab;真命题.逆否命题:当c0时,若ab,则acbc;真命题.(2) 逆命题:若a=0或b=0,则ab=0;真命题.否命题:若ab0,则a0且b0;真命题.逆否命题:若a0且b0,则ab0;真命题.4. (根据选修1-1 P15例1改编)写出下列命题的否定:(1) 所有能被2整除的整数都是偶数;(2) 存在一个无理数,它的平方是有理数.解(1) 存在能被2整除的整数不都是偶数;(2) 任意一个无理数,它的平方都是无理数.第3课时充要条件内容要求ABC充分条件、必要条件、充分必要条件1. 本节内容充要条件高考作为B级要求,在江苏高考中几乎是每年必考.考查的形式可能是填空题,也可能是解答题,2008年江苏高考在大题中出现,要求考生求充要条件.2. 充要条件这一内容可能出现的形式主要有:(1)判断两个命题的充要关系,或选填使得一个结论成立的充分条件,或选填使得一个结论成立的必要条件等;(2)在大题中求一个命题成立的充要条件;(3)已知两个