多自由度系统的动力学特性.ppt

第四章 多自由度系统(MDOF)的动力学特性,用一个独立坐标描述的单自由度系统，是实际振动系统的最简单模型； 用两个或更多有限个独立坐标描述的振动系统称作多自由度系统； 工程上各种机械的结构物，总是由杆、梁、板、壳等元件组成的弹性体，它们的质量与刚度都具有分布的性质，理论上是无限自由度系统，然而在多数情况下，无限自由度问题可以简化为有限多个自由度系统进行研究；,多自由度系统运动方程的建立,采用拉格朗日方程建立多自由度系统运动微分方程 动能： 势能： 耗散能： 代入拉格朗日方程： 得,多自由度系统的运动是由一组二阶常微分方程描述的，多采用数值法求解。 如：直接积分法、有限元法和无限元法。,无阻尼两自由度振动系统的运动微分方程式,以静平衡位置为坐标原点，设质量M1和M2的广义坐标为x1和x2，并假设它们足够小，以保证系统在线性范围内运动；得到以下二阶常系数线性齐次常微分方程组,一、两自由度系统的自由振动,一、两自由度系统的自由振动,更一般形式：,求解步骤：,（1）假设简谐形式的解：,设振动时两质量块按相同频率和相位作简谐振动：,一、两自由度系统的自由振动,（2）将上述假设解代入运动方程，得代数特征值问题：,（3）该线性齐次代数方程组，非零解的条件是系数行列式为零 ：, 的特征方程，是 的二次多项式，又称频率方程。,一、两自由度系统的自由振动,（4）求解得到特征方程的两个根：,数学上称固有频率的平方值 和 为特征值。,一、两自由度系统的自由振动,（5）将 代入下式，对应于 和 ，分别得到振幅A1和A2之间的两个确定的比值：,一、两自由度系统的自由振动,当系统按某一固有频率振动时，振幅比只取决于系统本身的物理性质，而与初始条件无关 在振动过程中，系统各广义坐标的位移之相对比值可以由该振幅比确定 该比值确定了整个振动系统的振动形态，称为主振型或固有振型,固有振型示意图,两质量-弹簧系统 三质量-弹簧系统,一、两自由度系统的自由振动,（6）主振动的确定：,系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称为系统的主振动。故第一和第二阶主振动分别为,系统作主振动时，各广义坐标同时经过静平衡位置和达到最大偏离位置，是一种有确定的频率和振型的简谐振动,一、两自由度系统的自由振动,上述两种主振动的叠加，即,（7）一般情况下，自由振动的通解为:,A1、A2和 、 是由初始条件决定的待定常数；,一、两自由度系统的自由振动,（7）通解正规化处理:将其中一个振幅取为单位1,是模态矩阵，P是主坐标。,一、两自由度系统的自由振动,只有在特定的初始条件下，其自由振动才表现为单一振型的主振动，才是一种简谐振动，如： ，系统作第一主振动； ，系统作第二主振动； 其他；,一般情况下，系统的自由振动是由两种不同频率的主振动的线性组合，其结果不一定是简谐振动，这是和单自由度系统自由振动有很大区别的地方。,二、多自由度系统的自由振动,多自由度系统，无阻尼自由振动方程式的一般形式：,展开式为：,设有以下解：,二、多自由度系统的自由振动,矩阵形式：,代入动力学方程得：,方程有非零解的条件：,其中 为振型向量,上式为广义特征值问题,二、多自由度系统的自由振动,该特征方程存在 的n个正实根，即系统的特征值，也叫系统的固有频率。固有频率对应的特征向量Xi叫固有振型或主振型。,即：,展开得到系统的特征方程：,二、多自由度系统的自由振动,每个特征值 由小到大按序排列为：,多自由度系统的固有频率也是由系统本身的物理参数决定，与起始运动状态无关；多自由度系统有多个固有频率，其中的最低固有频率称为系统的基频；,振型矩阵 （模态矩阵） n自由度系统 ，有n个主振型 X i ( i = 1, 2, , n )，振型矩阵为,节点：第i个主振型有i-1个节点,特征向量的正交性,对于第i个、第j个特征值和特征向量 ，有,两边分别左乘XjT 和XiT得,特征值矩阵 （频率矩阵） n个特征值组成的对角矩阵，称为特征值矩阵或谱矩阵。,两式相减 得,第i阶主刚度,第i阶主质量,主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交,振型矩阵,模态质量矩阵,模态刚度矩阵,模态质量、广义质量或主质量,正则化的振型矩阵,正则化振型矩阵的正交性,模态刚度、广义刚度或主刚度,第i阶特征值,正则化振型矩阵的正交性,展开定理,系统任一位形能用系统主振型的线性组合表示。,方程,主振型,设位形 u 可用下式表示,如果 X i 线性相关，必有,其中c i 为非零常数。,两边同时左乘 X rTM 得：,由矩阵的正交性：,展开定理,系统任一位形能用系统主振型的线性组合表示。,因此只有当c r =0 时，等式才成立。取r 1, 2, , n，重复n次，可得结论，只有当c 1 =c 2 = c n =0 时，等式才成立，与前面的假设矛盾，因此系统的振型矢量是线性独立的。,c i 的计算可对展开式两边左乘 X rTM 得到,三、广义特征值的数值计算方法,计算多自由度系统低阶固有频率和振型可以归结为求如下特征值问题：1）MK型 2）MCK型： 常见解法分为直接解和变换为标准型后求解。先求特征值时，解MK型的广义雅可比法、子空间迭代法、STURM法；解MCK型的Lanczos法和伯努利法；先求特征向量时，解MCK型的幂法、 Householder法、子空间迭代法、逆迭代法和同时迭代法。,自学这些数学方法，并会用MATLAB编程调用求解广义特征值问题。,瑞雷商：若X是A的特征向量，则R是相应于x的特征值。 定义MK型特征值问题的瑞雷商为 定义MCK型特征值问题的瑞雷商为,例题1,求二层楼房的自振频率与振型 已知m1=m2=1000kg，k1=1000N/m， k2=1500N/m。 解：1）写出动力学方程，设其解的简谐形式 2）写出频率方程式 3）解方程得特征值，回代得特征向量。,例题2 瞬态响应分