A—1不定积分概念与换元.ppt

1,第四章 不定积分,2,本章重点,不定积分的概念与性质,不定积分的计算,第一类换元法（凑微分法）,第二类换元法（变量代换法）,分部积分法,有理函数的积分,3,1 . 不定积分的概念与性质,4,互为逆运算,例已知物体运动的位置函数s=s(t)，求时刻t的瞬时速度v=s(t)。微分学解决的问题,已知物体运动的速度函数v=v(t)，求运动的位置函数s=s(t)。积分学解决的问题,一般，已知函数f(x),要找另一个函数F(x),使F(x)=f(x)。 积分学的任务,5,一、原函数与不定积分的概念,定义1：,已知 f (x) 是一个定义在区间 I 内的函数，,则称 F (x) 为 f (x) 在 I 上的原函数。,如：, x 2 是 2 x 的原函数;,d sin x = cos x d x, sin x 是 cos x 的原函数;, s (t) 是 v (t) 的原函数。,如果存在函数 F (x) , 使在 I 内的任一点都有,6,问题,F (x) + C 包含了 f (x) 的所有原函数。,1.,是否所有的函数都具有原函数？,在什么条件下，f (x) 一定存在原函数？,原函数存在定理：,若 f (x) 在区间 I 上连续，,则在 I 上必存在原函数。,2.,连续函数 f (x) 的原函数是否只有一个？,设F (x) 为 f (x) 的原函数，,它们之间有何关系？,7,定义2：,函数 f (x) 的全体原函数,就称为 不定积分。记作,其中, 积分号,f (x), 被积函数,f (x) d x, 被积表达式,x, 积分变量,例：,若F (x) 为 f (x) 的一个原函数，则,8,不定积分的几何意义:,F (x) 的图形称为 f (x) 的一条积分曲线，,方程为 y = F (x) .,就表示了一族积分曲线 y = F (x) + C .,它们在相同点处有相同的切线斜率。,x,9,积分号与微分号的作用相互抵消。,由不定积分的定义，,则有,又,或,积分号与微分号的作用抵消后加任意常数C。,10,例：,求通过点 ( 1, 2 )，且其上任一点处的切线斜率均为 6 x 的一条曲线。,解：,设所求曲线方程为 y = f (x) .,由题意，曲线上点(x,y)的切线斜率,两边取不定积分：,为一簇积分曲线。,11,二、 基本积分表,( P. 186 ),注意：,依基本导数公式与不定积分的定义，,既可得基本积分各式（15个）：,（代数5个、三角6个、指数4个）。,12,例题讨论,求下列不定积分：,例1.,例2.,13,三、 不定积分的性质,（P. 187 188）,14,利用基本积分表和不定积分性质，可计算一些简单函数的不定积分。注意3点：,1、在分项积分后，对每个不定积分的任意常数不必一一写出。可在积分号全部不出现后，简写为一个常数。,2、检验积分结果是否正确，只要将其结果求导，看它的导数是否等于被积函数即可。,3、由于微分形式不变性，积分表中的每个公式中的x可用其它变量u替代，公式仍正确。,技巧：先将被积函数变形，化为表中所列的类型，然后再积分。,15,例3.,例4.,掌握被积函数的恒等变形。,16,例5.,同理，,例6.,例7.,17,例8.,例9.,(假分式,= 多项式+真分式),18,从理论上来讲，只需把积分结果求导，就可检验积分是否正确。但由于函数变形及原函数间可相差一个常数等因素，一般不检验。,注重积分过程的正确是至关重要的。,即每一步运算都要看能否还原到上一步。,19,课外作业,习题 4 1（A）,1（2, 4, 6, 9, 10), 2, 3, 5,习题 4 1（B）,1（1, 3, 4, 6, 7, 9), 2, 4,20,2. 换元积分法,21,一、第一类换元法,( 凑微分法 ),1.,凑常数,例1：,2,(2x = u),22,例2：,例3：,( +1),(x + 1 = u),23,例4：,/a,a,-1,同理：,24,例5：,同理：,25,例6：,例7：,/2,2,26,2.,凑函数（变量）,定理 1.,设 F(u) 是 f (u) 的一个原函数，,原函数，且有换元公式：,且 u = (x) 可导,证明：,27,换元公式：, (x) = u,前例：,(u = sin x),28,例2：,例3：,29,例4：,同理：,例5：,(sec x + tan x),(sec x + tan x),30,同理：,注意：书P196例16、17关于上述公式的推导,技巧：,31,例6：,32,例7：,33,例8：,2,34,例9：,35,一般：,36,例10：,例11：,37,一般对：,38,课外作业,习题 4 2（A）,1, 2, 3(2, 4, 6, 7, 9, 11), 4(1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12),习题 4 2（B）,1(偶数), 2(1, 3, 5, 7, 8, 10)3(1, 3, 4, 6), 4,39,二、 第二类换元法,（ 变量代换法）,定理 2.,设 x = (t) 是单调的可导函数，,换元公式：,令 x = (t)，,回代：,40,1. 三角代换,例1：,分析：,目的：消去根式。,利用三角恒等式：,若令 x = a sin t ,被积函数,41,例1：,解：,令 x = a sin t ,d x = a cos t d t ,Sin 2t =?,t,x,a,42,例2：,分析：,若令 x = a tan t ,解：,令 x = a tan t ,d x = a sec 2 t d t .,t,x,a,43,也可令 x = a sh t ( t 0 ),解：,令 x = a sh t ，,d x = a ch t d t ,44,例3：,分析：,若令 x = a sec t ,解：,令 x = a sec t ,d x = a sec t tan t d t ,t,x,a,45,或令 x = a ch t ( t 0 ),如：,46,小结：,当被积函数含有因子：,目的： 去根号。,47,例题讨论,例1：,解：,t,x,48,例2：,解：,令 x = tan t ,d x = sec 2 t d t .,x,1,t,49,2. 根式代换,例1：,分析：,目的：化分数幂为整数幂。(去根号),解：,-1+1,50,回代,51,例2：,解：,52,例3：,令 x = sec t ,d x = a s