定义、命题与证明.doc

知识点一：定义与命题在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义（definition）如：1、“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国的公民”是“中华人民共和国公民”的定义.2、“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义.3、“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义.4、“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是“平行四边形”的定义.5、“角是由两条具有公共端点的射线组成的图形”是“角”的定义.综上：定义就是对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定做一做：如图，某地区境内有一条大河，大河的水流入许多小河中，图中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K处均有一个化工厂，如果它们向河中排放污水，下游河流便会受到污染.图66如果B处工厂排放污水，那么_处便会受到污染；如果C处受到污染，那么_处便受到污染；如果E处受到污染，那么_处便受到污染；如果环保人员在h处测得水质受到污染，那么你认为哪个工厂排放了污水？你是怎么想的？与同伴交流.在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断。像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题。即：命题是判断一件事情的句子。如：熊猫没有翅膀。对顶角相等。类比举例：1、两直线平行，内错角相等.2、无论n为任意的自然数，式子n2n+11的值都是质数.3、内错角相等.4、任意一个三角形都有一个直角.5、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.综上：命题一般由条件和结论两部分组成，一般可以写成：“如果,那么”的形式，如果开始的部分是条件，那么后面的部分是结论；命题就是肯定一个事物是什么或者不是什么，不能同时既否定又肯定，如：你喜欢数学吗？ 作线段AB=a. 平行用符号“”表示.这些句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它们就不是命题.一般情况下：疑问句不是命题.图形的作法不是命题.知识点2：证明一、证明的必要性1、已知；如下图，ab，bc直线a，b平行吗?(1)请你先通过观察作出判断.你能肯定自己的判断正确吗?(2)在图243(1)中，再作一条直线l，使直线l与直线a，b，c都相交，如图243(2).用量角器测量1和2，根据1和2的大小关系，你能判定“a与b平行”这一结论正确吗?2、当n=1时，(n25n5)2=1；当n=2时，(n25n5)2=1；当n3时，(n25n5)2=1.由此归纳得出：当n取任意正整数时，(n25n5)2的值都是1.你认为这个命题正确吗?为什么?3、如果ab，那么a2=b2.由此类比猜想得出：当ab时，a2b2，你认为这个命题正确吗?为什么?1.(1)ab，不能， (2)由1=2，能判断ab2.不正确.当n5时，(n25n5)225.3.不正确，因为01，但02(1)2，以上事例说明，我们经常采用观察、测量、归纳、类比的方法来探索结论，发现命题.但是，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题.一个命题的真假，常常需要进行有理有据的推理才能作出正确的判断.这个推理的过程叫做命题的证明(proof).我们把经过证明的真命题叫做定理(theorem).经过实践检验公认是真命题的，我们把它叫做公理(axiom).如“过平面上两点，有且只有一条直线”就是一个公理.等式和不等式的性质也可以看做公理.证明命题时，仅有已知条件作为证明的基础是不够的，还需要一些公理、定义和定理作为推理论证的依据.典型例题例1、已知：如图，点C，D在线段AB上，点C是AD的中点，点D是CB的中点.求证：AD=CB.分析：由“点C是AD的中点，点D是CB的中点”，可以得到AC=CD=DB，进而可以得到AD=CB.证明：因为 点C是线段AD的中点(已知)，所以 AC=CD(线段中点的定义).因为点D是线段CB的中点(已知)，所以CD=DB(线段中点的定义).所以AC=DB(等量代换).所以AC+CD=DB+CD(等式的性质).即AD=CB.注：在等式或不等式中，一个量可以用与它相等的量来代替，这叫做“等量代换”.在上面的证明过程中，我们根据的都是定义、性质和已知条件.在叙述中经常用到“因为”和“所以”这两个词，为了方便，今后，我们在证明时用符号“”表示“因为”，用符号“”表示“所以”.二、命题证明的格式和步骤. （明是推理论证命题的过程，要步步有据。）例1：如图，直线AB和CD相交于点O.求证：12.分析：观察图，我们发现1，2都是AOD(或COB)的补角，由此便可得到1=2.证明：1AOD=l80(平角的定义)，2+AOD=180(平角的定义)，1+AOD2+AOD(等量代换)，1=2(等式的性质).一般地，证明一个几何命题有如下步骤，做一做1、是证明“同角(或等角)的余角相等”的过程，请你在括号内填写各步推理的依据.已知：1+=90，2+90.求证：12.证明：1+=90( )，1= 90( ). 2+90( )，2= 90( ).12 ( ). 依次为：已知，等式的性质，已知，等式的性质，等量代换.2、括号内填上推理的依据.已知：如图，ABC=ABC，1=2.求证：3=4.证明，ABC=ABC，1=2 ( )，ABC1=ABC2（ ）.又3=ABC1，4=ABC2，3=4（ ）.答案已知，等式的性质，等量代换.2.已知：如图，直线EF和AB交于点D，BADE=180.求证EFBC.小亮在证明这个问题时是这样思考的，要证EFBC，只需证B=ADF，而ADEADF=180，BADE=180，所以B=ADF，此题可证.请按小亮的思路，写出证明过程. 答案BADE=180 (已知)，B =180ADE (等式的性质).ADEADF=180 (平角的定义)，ADF =180ADE （等式的性质).B =ADF (等量代换).EFBC(同位角相等，两直线平行).反证法：已知：如图，直线AB，CD，EF在同一平面内，且AB EF，CD EF，求证：AB CD。证明：假设ABCD,那么AB与CD一定相交于一点PAB EF，CD EF（已知）过点P有两条直线AB， CD都与直线EF平行。这与“经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行”矛盾。AB CD不能成立。AB CD反证法的一般步骤：1.反设（否定结论）；2.归谬（利用已知条件和反设，进行推理，得出与已学过的公理、定理、定义或与已知条件矛盾）；3.写出结论（肯定原命题成立）。课堂作业：一、把下列命题写成“如果，那么”的形式，并指出条件和结论（1）全等三角形的对应角相等；（2）等角的补角相等；（3）同圆或等圆的半径相等；（4）自然数必为有理数；（5）同角的余角相等；二、试描述下列概念的定义，指出定义中所包含的充要条件：（1）偶数；（2）方程；（3）集合；（4）锐角；（5）直角；（6）钝角；（7）角平分线；（8）平行线三、判断下列命题是真命题还是假命题（1）若|a|=|b|，则a=b;（2）若a=b，则a3=b3;（3）若x=a，则x2(a+b)x+ab=0;（4）如果a2=ab,则a=b;（5）若在ABC和ABC中，A=A，B=B，C=C，则ABCABC（6）若x3，则x2四、写出下列命题的条件及结论（1）等角的余角相等；（2）等角的补角相等；（3）两直线平行，同位角相等；（4）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点课后作业一、选择题(每小题3分，共24分) 1下列说法错误的是 ( ) A同位角不一定相等 B内错角都相等 C同旁内角可能相等 D同旁内角互补，则两直线平行 2下列语句中，不是命题的是 ( ) A若两角之和为90，则这两个角互余；B同角的余角相等 C画线段的中垂线 D相等的角是对顶角 3以下可以用来证明命题“任何奇数都是3的倍数”是假命题的反例是 ( ) A9 B15 C5 D15在ABC中，A=36，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，交AC于点E则下列结论错误的是 ( ) AADEBCE BDBE=36 CBE=BC DAE=BE6如果三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是 ( ) A锐角三角形；B直角三角形；C钝角三角形；D直角或锐角三角形7如图，MAN=15，AB=BC=CD=DE=EF，则FEM等于 ( )A60。 B70。C75。 D90。8有长分别为3 cm和4 cm的两根木条，现要找一根木条，使三根木条能作一个钝角三角形，那么第三根木条应选( )A6 cm B5 cm C4 cm D3 cm二、填空题(每小题3分，共24分) 9若ABC的内角之比为2：3：4，则最小角是 10等腰三角形一边长为4，另一边长为9，则它的周长是 11把“同角的补角相等”写成“如果那么”形式： 12命题“a 这与三角形 相矛盾 假 设不成立20(6分)证明“全等三角形对应角平分线相等”是真命题21(6分)如图，ABC是正三角形，D，E，F分别是各边延长线上的点，且AD=BE=CF 求证：DEF是正三角形22(6分)如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90，DAC=30，且AD=AE求EDB的度数23(8分)当等腰三角形被一条直线分割成两个较小的三角彤电是等腰三角形时，原等腰三角形的顶角度数是多少?这条直线怎样画?(讨论所有可能的解，并