张恭庆-泛函分析上册答案.pdf

张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 1 - 课后习题解答与辅导课后习题解答与辅导 张张 秀秀 洲洲 二二 0 0 0 0 九九 年年 三三 月月 一一 十十 日日 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 2 - 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 3 - 1.1.5 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 4 - 1.1.6 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 5 - 1.1.7 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 6 - 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 7 - 1.2.2 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 8 - 1.2.3 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 9 - 1.2.4 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 10 - 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 11 - 1.3.3 1.3.4 1.3.5 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 12 - 1.3.7 1.3.8 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 13 - 1.3.9 1.4.1 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 14 - 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 15 - 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 16 - 1.4.5-6 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 17 - 1.4.9 1.4.11 1.4.12 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 18 - 1.4.13 1.4.14 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 19 - 1.4.15 1.4.17 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 20 - 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 21 - 1.5.1证明：证明：(1) () 若若 x int(E)，存在，存在 0，使得，使得 B (x) E 注意到注意到 x + x/n x ( n )，故存在，故存在 N +，使得，使得 x + x/N B (x) E 即即 x/( N/( 1 + N ) ) E因此因此 P(x) N/( 1 + N ) 1， 使得， 使得 y = a x E 因 因 int(E)， 故存在， 故存在 0， 使得， 使得 B ( ) E令令 = (a 1)/a， z B (x)，令，令 w = (a z y )/(a 1)， 则则| w | = | (a z y )/(a 1) | = | a z y |/(a 1) = | a z a x |/(a 1) = a | z x |/(a 1) 0，存在，存在 y E，使得，使得| x y | 0，故，故 Ax 的各分量也非负但不全为零的各分量也非负但不全为零 x C，设，设 f (x) = (Ax)/( 1 i n (Ax)i )，则，则 f (x) C 容易验证容易验证 f : C C 还是连续的还是连续的 由由 Brouwer 不动点定理，存在不动点定理，存在 f 的不动点的不动点 x0 C 即即 f (x0) = x0，也就是，也就是(Ax0)/( 1 i n (Ax0)i ) = x0 令令 = 1 i n (Ax0)i，则有，则有 Ax0 = x0 1.5.6证明：设证明：设 B = u C0, 1 | 0, 1 u(x) dx = 1，u(x) 0 ， 则则 B 是是 C0, 1中闭凸集中闭凸集 设设 max (x, y) 0, 1 0, 1 K(x, y) = M，min (x, y) 0, 1 0, 1 K(x, y) = m， 0, 1 ( 0, 1 K(x, y) dy) dx = N，max x 0, 1 | 0, 1 K(x, y) dy |= P 令令(S u)(x) = ( 0, 1 K(x, y) u(y) dy)/( 0, 1 ( 0, 1 K(x, y) u(y) dy) dx ) 则则 0, 1 (S u)(x) dx = 1，u(x) 0； 即即 S u B因此因此 S 是从是从 B 到到 B 内的映射内的映射 u, v B， | 0, 1 K(x, y) u(y) dy 0, 1 K(x, y) v(y) dy | = | 0, 1 K(x, y) (u(y) v(y) dy | = max x 0, 1 | 0, 1 K(x, y) (u(y) v(y) dy | M | u v |； 因此映射因此映射 u 0, 1 K(x, y) u(y) dy 在在 B 上连续上连续 类似地，映射类似地，映射 u 0, 1 ( 0, 1 K(x, y) u(y) dy) dx 也在也在 B 上连续上连续 所以，所以，S 在在 B 上连续上连续 下面证明下面证明 S(B)列紧列紧 首先，证明首先，证明 S(B)是一致有界集是一致有界集 u B， | S u | = | ( 0, 1 K(x, y) u(y) dy )/( 0, 1 ( 0, 1 K(x, y) u(y) dy) dx )| = max x 0, 1 | 0, 1 K(x, y) u(y) dy |/( 0, 1 ( 0, 1 K(x, y) u(y) dy) dx ) (M 0, 1 u(y) dy |/(m 0, 1 ( 0, 1 u(y) dy) dx ) = M/m， 故故 S(B)是一致有界集是一致有界集 其次，证明其次，证明 S(B)等度连续等度连续 u B， t1, t2 0, 1， | (S u)(t1) (S u)(t2) | = | 0, 1 K(t1, y) u(y) dy 0, 1 K(t2, y) u(y) dy |/( 0, 1 ( 0, 1 K(x, y) u(y) dy) dx ) 0, 1 | K(t1, y) K(t2, y) | u(y) dy /(m 0, 1 ( 0, 1 u(y) dy) dx ) (1/m) max y 0, 1 | K(t1, y) K(t2, y) | 由由 K(x, y)在在0, 1 0, 1上的上的一致连续性，一致连续性， 0，存在，存在 0，使得，使得 (x1, y1), (x2, y2) 0, 1，只要，只要| (x1, y1) (x2, y2) | m，则，则 n m 1 0，从，从 zn m 1而解析而解析 ( zn/(2 )1/2, zm/(2 )1/2 ) = (1/i) | z | = 1 ( zn/(2 )1/2 (z*)m/(2 )1/2 )/z dz = (1/(2 i) | z | = 1 zn (z*)m/z dz = (1/(2 i) | z | = 1 zn m 1 dz = 0 因此，因此， zn/(2 )1/2 n 0是正交规范集是正交规范集 1.6.9 1.6.10证明：容易验证证明：容易验证en fn是正交规范集，下面只证明是正交规范集，下面只证明en fn是是 X 的基的基 x X，由正交分解定理，存在，由正交分解定理，存在 x 关于关于 X0的正交分解的正交分解 x = y + z，其中，其中 y X0，z X0 因因en, fn分别是分别是 X0和和 X0 的正交规范基，的正交规范基， 故故 y = n ( y, en ) en， ，z = n ( z, fn ) fn 因因 z X0 ，故，故(x, en) = ( y + z, en) = ( y, en) + ( z, en) = ( y, en) 因因 y X0，故，故(x, fn) = ( y + z, fn) = ( y, fn) + ( z, fn) = ( z, fn) 故故 x = y + z = n ( y, en ) en + n ( z, fn ) fn = n ( x, en ) en + n ( x, fn ) fn因此 因此en fn是是 X 的正交规范基的正交规范基 1.6.11证明：首先，令证明：首先，令 k (z) = ( k +1 )/ )1/2 z k ( k 0 )， 则则 k k 0是是 H 2(D)中的正交规范基中的正交规范基 那么，那么， u(z) H 2(D)，设，设 u(z) = k 0 a k z k，则，则 k ，有，有 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 27 - (u, k) = D u(z) k(z)* dxdy = D ( j 0 a j z j) k(z)* dxdy = j 0 a j ( /( j +1 )1/2 D ( j +1 )/ )1/2 z j k(z)* dxdy = j 0 a j ( /( j +1 )1/2 D j(z) k(z)* dxdy = j 0 a j ( /( j +1 )1/2 ( j, k) = a k ( /( k +1 )1/2 即即 u(z)的关于正交规范基的关于正交规范基 k k 0的的 Fourier 系数为系数为 a k ( /( k +1 )1/2 ( k 0 ) (1) 如果如果 u(z)的的 Taylor 展开式是展开式是 u(z) = k 0 b k z k， 则则 u(z)的的 Fourier 系数为系数为 b k ( /( k +1 )1/2 ( k 0 ) 由由 Bessel 不等式，不等式， k 0| b k ( /( k +1 )1/2 |2 | u | 0，存在，存在 N +，使得，使得 m, n N，都有，都有| un um | 即即 f 在在 X 上有下界，因而上有下界，因而 f 在在 C 有下确界有下确界 = inf x C f (x) 注意到注意到 a(x, y)实际上是实际上是 X 上的一个内积，上的一个内积， 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 29 - 记它所诱导的范数为记它所诱导的范数为| x |a = a(x, x)1/2，则，则| |a与与| |是等价范数是等价范数 因此因此 f (x) = a(x, x) Re(u0, x) = | x |a2 Re(u0, x) 设设 C 中的点列中的点列 xn 是一个极小化序列，满足是一个极小化序列，满足 f (xn ) + 1/n ( n + ) 则由平行四边形等式，则由平行四边形等式， | xn xm |a2 = 2(| xn |a2 + | xm |a2 ) 4| (xn + xm)/2 |a2 = 2( f (xn) + Re(u0, xn) + f (xm) + Re(u0, xm) ) 4( f (xn + xm)/2) + Re(u0, (xn + xm)/2) = 2( f (xn) + f (xm) 4 f (xn + xm)/2) + 2 Re( (u0, xn) + (u0, xm) (u0, xn + xm) ) = 2( f (xn) + f (xm) 4 f (xn + xm)/2) 2( + 1/n + + 1/m ) 4 = 2(1/n + 1/m) 0 ( m, n ) 因此因此| xn xm |2 (1/ ) | xn xm |a2 0 ( m, n ) 即即 xn 为为 X 中的基本列中的基本列 由于由于 X 完备，故完备，故 xn 收敛设收敛设 xn x0 ( n ) 则则| xn x0 |a2 M | xn x0 |2 0 ( m, n ) 而由内积而由内积 a( , )， ，( , )的连续性，有 的连续性，有 a( xn , xn ) a( x0 , x0 )，且，且(u0, xn) (u0, x0)，( n ) 因此因此 f (xn) = a(xn, xn) Re(u0, xn) a(x0, x0) Re(u0, x0) = f (x0)，( n ) 由极限的唯一性，由极限的唯一性，f (x0) = = inf x C f (x) 至此，我们证明了至此，我们证明了 f 在在 C 上有最小值下面说明最小值点是唯一的上有最小值下面说明最小值点是唯一的 若若 x0, y0都是最小值点，则交错的点列都是最小值点，则交错的点列 x0, y0, x0, y0, x0, . 是极小化序列是极小化序列 根据前面的证明，这个极小化序列必须是基本列，根据前面的证明，这个极小化序列必须是基本列， 因此，必然有因此，必然有 x0 = y0所以最小值点是唯一的所以最小值点是唯一的 最后我们要证明最小点最后我们要证明最小点 x0 C 满足给出的不等式满足给出的不等式 x C， t 0, 1，有，有 x0 + t ( x x0) C，因此有，因此有 f (x0 + t ( x x0) f (x0) 即即| x0 + t ( x x0) |a2 Re(u0, x0 + t ( x x0) | x0 |a2 Re(u0, x0) 展开并整理得到展开并整理得到 t Re ( 2a(x0, x x0) (u0, x x0) ) t2 | x x0 |a2 故当故当 t (0, 1，有，有 Re ( 2a(x0, x x0) (u0, x x0) ) t | x x0 |a2 令令 t 0 就得到就得到 Re ( 2a(x0, x x0) (u0, x x0) ) 0 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 30 - 2.1.2 2.1.3 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 31 - 2.1.4 2.1.5 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 32 - 2.1.6 2.1.7 2.1.8 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 33 - 2.1.9 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 34 - 2.2.2 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 35 - 2.2.5 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 36 - 2.3.1 2.3.3-2 2.3.4 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 37 - 2.3.5 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 38 - 2.3.7 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 39 - 2.3.8 2.3.9 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 40 - 2.3.11 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 41 - 2.3.12 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 - 42 - 2.3.13 2.3.14 张恭庆张恭庆泛函分析题泛函分析题数数 计计 院院张张 秀秀 洲洲 -